[讲义答案]第9讲调和点列与调和线束-67eaa85fc3c3_学而思高二全套_2019年秋季高二_2019秋高二秋季数学邹林强（实验班）二试_A129.学而思2019秋CMO代数班16讲邹林强等多个文件

答 案
见解析
解析
证明：如图，连接
交
于
， 
 
过点
作
的平行线交
的延长线于，过点
作
的平行线交
的延长线于． 
对
用塞瓦定理，可得
① 
因为
是
的角平分线， 
由角平分线定理知
． 
代入①式得
② 
因为
，
，则
，
． 
代入②式得
． 
从而
．又由于 
， 
所以
，故
，即
 
答 案
见解析
解析
设直线
交
于
，交
于
．在完全四边形
中应用推论2，知
，
调和分割
， 
即知
，
；
，
为调和线束，注意到性质2(2)，知
，
；
，
为调和点列，亦知
模块1：
1
1
例题1
BD
AC
H
C
AB
AG
I
C
AD
AE
J
△BCD
 ⋅
GB
CG
 ⋅
HD
BH
 =
EC
DE
1
AH
∠BAD
 =
HD
BH
 
AD
AB
 ⋅
GB
CG
 ⋅
AD
AB
 =
EC
DE
1
CI//AB
CJ//AD
 =
GB
CG
 
AB
CI
 =
EC
DE
 
CJ
AD
 ⋅
AB
CI
 ⋅
AD
AB
 =
CJ
AD
1
CI = CJ
∠ACI = 180 −
∘
∠BAC = 180 −
∘
∠DAC = ∠ACJ
△ACI ≅△ACJ
∠IAC = ∠JAC
∠GAC = ∠EAC
例题2
EG
BC
P
AD
Q
ECDGAB
P
Q
EG
AE
AG
AP
AQ
B
C
P
F
，
；
，
为调和线束． 
因
于
，即知
．于是，由性质3，知
平分
． 
所以
．
答 案
见解析
解析
解：由旁切圆半径公式，有 
，故只须证明 
即
可．  
连
并延长交
于
，连
交
于
，则
、
分别为弧
及弦
的中点，且
．于是
，又
，故  
，  
故只须证
．  
作
，交
于
，则
，  
而由
，可证
成立，故证．  
答 案
见解析
解析
由性质4，知
、
调和分割
，又
为
中点，则有
． 同理
． 设
、分别为
的外接圆和内切圆半径，则
，
． 由圆幂定理，有
，
． 结合①、②两式，有
，故
1
1
GB
GC
GP
GF
AC⊥BD
G
GB⊥GC
GC
∠PGF
∠EGC = ∠FGC
例题3
r
 =
a
 =
b + c −a
2S
 
b + c −a
ah
 a
 =
h
 a
R
b + c −a
a
AI
⊙O
K
OK
BC
M
K
M
BC
BC
OK⊥BC
OK//AD
OK = R
 =
h
 a
R
 =
AD
OK
 =
IA
IK
 
IA
KB
 =
IA
KB
 =
b + c −a
ah
 a
 
 b + c −a
2
1 (
)
BM
IN⊥AB
AB
N
AN =
 b + c −a
2
1 (
)
△AIN ∼△BKM
 =
IA
KB
 
AN
BM
例题4
P
E
AC
M
PE
ME =
2
MA ⋅MC
NF
=
2
NA ⋅NB
R
r
△ABC
IM =
2
ME +
2
r2
IN
=
2
NF +
2
r2
OM =
2
MA ⋅MC + R2
ON
=
2
NA ⋅NB + R2
IM −
2
IN
=
2
OM −
2
ON 2
． 
答 案
见解析
解析
设内切圆切
边于
，切
边于
，直线
与直线
交于点
，则由推论15知，过点
的
切线经过
点． 
 
又由
．知
． 联结
，则由性质4知，
、
、
、
为调和线束，从而，由性质2即知
．
答 案
见解析
解析
联结
，则
，从而
，即有
，亦即
． 
 
于是，以
为圆心，以
为半径作
，则
与
相切于点． 
1
1
OI⊥MN
例题5
AB
P
AC
Q
PQ
BC
K
D
K
∠KDE = ∠AEK = ∠EFC
⊙X
DC
DB
DC
DE
DK
CF = FG
例题6
OM
OM⊥AB
EX ∥OM
∠XES = ∠OMS = ∠XSE
XE = XS
X
XE
⊙X
⊙X
⊙O
S
联结
、
、
、
，则知
平分
，
平分
．联结
，则由推论10
知，有
① 
又由切割线定理，有
． ② 
①、②表明点
和点
关于
和
的幂都相等，于是直线
就是这两个圆的根轴．因此
． 
同理，
．故知
、
、
三点共线．
答 案
见解析
解析
联结
，
，则
为等腰直角三角形，于是
，注意到
，则知
． 
  
又
，则
， 
有
． ① 
联结
，由
，
，知
，
，于是
． 
由①即有
． ② 
注意到
及②式，知
，由此知
为等腰三角．从而 
，于是
． 
联结
，延长
交
于点
，即知
．设直线
交
于
，则由推论15知．点
在直线
上，又由性质5知，点
、
调和分割弦
， 
则
、
、
、
为调和线束，注意到
，则由性质2知
为
的中点，故
为
的中点．
答 案
见解析
解析
设
与
交于点
．由于
，
，
，
四点共圆，则
，即知
平分
． 
又
为直径，则
． 
即知
平分
的外角．因此，
，
；
为调和点列．进而
，
，
，
为调和
线束． 
1
1
AS
SB
AP
PB
SM
∠ASB
PM
∠APB
AM
ME ⋅MS = MA =
2
MR ⋅MP
CS =
2
CQ ⋅CP
M
C
⊙X
⊙Z
MC
XZ⊥MC
ZY ⊥MC
X
Y
Z
例题7
DE
DF
△BDF
∠FPD = ∠FDB = 45∘
PC⊥PF
∠DPC = 45∘
∠PDC = ∠PFD
△PDC ∽△PFD
 =
DC
PD
 
FD
PF
PE
∠ADF = AFP
∠ADE = ∠AEP
△ADF ∽△AFD
△ADE ∽△AEP
 =
FD
PF
 =
AF
AP
 =
AE
AP
 
ED
PE
 =
ED
PE
 
DC
PD
∠EPD = ∠EDC
△EPD ∽△EDC
△EPD
∠PED = ∠EPD = ∠EDC
PE//BC
AQ
EP
AQ
G
GE//QC
FE
AD
H
Q
FE
A
H
PD
QD
QP
QH
QA
GE//QC
P
GE
D
QC
例题8
AC
BD
R
A
B
A′
C
∠BAR = ∠BAC = ∠BA P =
′
BAP
AB
∠CAP
BD
∠DAB = 90∘
AD
∠CAP
P
R
D
QP
QR
QB
QD
 
由于
，则
，故
．
答 案
见解析
解析
设直线与
交于点
，
与
的第二个交点为
，则
． 
 
于是，
，
分别是
的角平分线，外角平分线，所以，
，
，
，
是调和点列． 
类似地，与
的交点若为
，则
，
．
，
也是调和点列．因此
． 
由于
是
延长线上的动点，故
的轨迹为线段
内部的点．
答 案
见解析
解析
设直线
与直线
交于点
，与直线
交于点
． 
 对
及截线
应用梅涅劳斯定理， 
有
． 
于是，
． （*） 
注意到
，
；
，
为调和点列，知
，
；
，
调和线束，由调和线束的性质知
，
；
，
为调和点列，即有
． 再结合(*)式，可得原问题等价于
为
的中
1
1
∠BQR = ∠B QR =
′
∠DQR
∠RQP = 90∘
PQ⊥AC
例题9
l
OA
R
OA
⊙O
D
∠ABD = 90∘
AB
BD
∠PBR
P
A
R
D
h
OA
R′
P
A
R′
D
R = R
 =
1
Q
P
OA
Q
OA
例题10
EF
CG
X
BC
T
△BCG
DNF
 ⋅
FG
BF
 ⋅
NC
GN
 =
DB
CD
1
CD = 3FG ⇔CN = 3NG
T
D
C
B
FT
FD
FC
FB
X
N
G
C
 =
NG
NC
 
XG
XC
N
XC
点． 
由
，知
，
，
，
四点共圆， 
从而
，
． 
又
，则
． 
对
、
应用正弦定理，有
． （**） 
再注意到四边形
为调和四边形，则
， 亦即
，将其代入（**）式知
，即
为
的中点． 
故原问题获证．
答 案
见解析
解析
设直线
交
于点
，在完全四边形
中应用推论2，知
，
调和分割线段
，
即知
，
；
，
为调和线束． 
设直线
与直线
交于点（可为无穷远点），则
，
；
，为调和点列(性质2(2))．亦
即
，
；
，
为调和线束． 
因
，则由性质3，知
平分
． 
所以
．
1
∠MEX = ∠MDF = ∠MCX
M
E
C
X
∠MXC = ∠MEA = ∠ADE
∠MCX = ∠MEX = ∠ADF
∠CMN = ∠DBDF
∠XMN = ∠CDE
△MXN
△CMN
 =
NC
XN
 −
sin∠CMN
sin∠XMN
 
sin∠MXC
sin∠MCX
DEMF
 =
sin∠ADE
sin∠ADF
 =
ME
MF
 =
DE
DF
 =
sin∠DFE
sin∠DEF
 
sin∠CDE
sin∠BDF
 =
sin∠MXC
sin∠MCX
 
sin∠XMN
sin∠CMN
 =
NC
XN
1
N
XC
例题11
AC
QR
L
ABQCRD
P
L
AC
RA
RC
RP
RL
NM
RL
S
S
N
M
P
S
HN
HM
HP
HS
HP⊥HS
HP
∠MHN
∠PHM = ∠PHN