[讲义答案]第5讲三角形特殊点1-f5f6040ddc17_学而思高二全套_2019年秋季高二_2019秋高二秋季数学邹林强（实验班）二试_A129.学而思2019秋CMO代数班16讲邹林强等多个文件_[讲义答案]

答 案
见解析
解析
因为 
 
， 
所以，
、
、
、
四点共圆． 
设
为
的外心，
、
分别为圆
、
的圆心．则 
． 
同理，
． 
所以，
． 
因此，
的外心总在一个过黄河口
、
和
的定圆上．
答 案
见解析
解析
如图，设
的内心为，外心为
．联结
、
、
、
、
、
、
、
、
． 
 
因为
的三边与
、
、
相切，所以，点
在
上，点
在
上，点
在
上． 
设圆半径为． 
因为
为
和
的公切线，且
和
是等圆，所以，点
、
到
的距离均为
模块1：
1
1
例题1
∠A
 CA
 +
1
2
∠A
 QA
 =
1
2
∠A
 CA
 +
1
2
∠A
 QP +
1
∠PQA
 2
= ∠B
 CB
 +
1
2
∠CB
 B
 +
1
2
∠C
 B
 =
2
1
180∘
A1
C
A
 2
Q
O
△A
 A
 C
1
2
O
 1
O
 2
Γ
 1
Γ
 2
∠OO
 Q =
1
 ∠A
 O
 Q =
2
1
1
1
180 −
∘
∠A
 PQ
1
∠OO
 Q =
2
180 −
∘
∠A
 PQ
2
∠OO
 Q +
1
∠OO
 Q =
2
180∘
△A A C
1
2
O
 1
O
 2
Q
例题2
△ABC
I
O
AI
BI
CI
K
 K
 
1
2
K
 K
 
2
3
K
 K
 
3
1
K
 K
 
4
1
K
 K
 
4
2
K
 K
 
4
3
△ABC
⊙K
 1
⊙K
 2
⊙K
 3
K
 1
AI
K
 2
BI
K
 3
CI
r
AB
⊙K
 1
⊙K
 2
⊙K
 1
⊙K
 2
K
 1
K
 2
AB
． 
故
． 
同理，
，
． 
所以
． 
故
和
关于位似． 
因为
，所以，
为
的外心． 
又
为
的外心，故、
、
三点共线．
答 案
见解析
解析
先证明一个引理． 
引理设
为锐角
的垂心，
在边
、
、
上的投影分别为
、
、
．则
为
的内心． 
证明
． 
类似地，
． 
又因为
，所以
． 
从而，
． 
即
为
的角平分线． 
同理，
为
的角平分线． 
所以，
为
的内心． 
回到原题． 
如右图，设
、
、
分别为边
、
、
的中点． 
 
因为
，
，所以，
． 
类似地，
． 
所以，
为
的垂心． 
又因为
为
的中垂线，所以，
的中点
为点
在
上的投影． 
设
、
的中点分别为
、
，由引理，知
为
的内心． 
由
与
位似，位似中心为
，位似比为，知
为
的内心．
1
1
r
K
 K
 //AB
1
2
K
 K
 //AC
1
3
K
 K
 //BC
2
3
 =
IA
IK
 1
 =
IB
IK
 2
 
IC
IK
 3
△ABC
△K
 K
 K
 
1
2
3
I
K
 K
 =
4
1
K
 K
 =
4
2
K
 K
 =
4
3
2r
K
 4
△K
 K
 K
 
1
2
3
O
△ABC
I
K
 4
O
例题3
H
△XY Z
H
Y Z
ZX
XY
X′
Y ′
Z′
H
△X Y Z
′
′
′
∠HZ Y =
′
′
∠HXZ
∠HZ X =
′
′
∠HY Z
△X XZ∽△Y Y Z
′
′
∠HXZ = ∠HY Z
∠HZ Y =
′
′
∠HZ X
′
′
HZ′
∠X Z Y
′
′
′
HY ′
∠X Z Y
′
′
′
H
△X Z Y
′
′
′
A′
B′
C′
BC
CA
AB
OA ⊥BC
′
B C //BC
′
′
OA ⊥B C
′
′
′
OB ⊥A C
′
′
′
O
△A B C
′
′
′
B C
′
′
KO
KO
K′
O
B C
′
′
LO
MO
L′
M′
O
△K L M
′
′
′
△KLM
△K L M
′
′
′
O
2
O
△KLM
例题4
答 案
见解析
解析
如图，设
与
交于点
，过点作
的平行线与
交于点
．则
为
的中点等价于
． 
 
设
．则 
，
， 
， 
． 
所以，
． 
设
的内切圆与边
切于点
．则
．于是，
是等腰
的底边
上
的高，从而，
．因此，
．
答 案
见解析
解析
如图，过
的顶点
、
、
及其内切圆圆心
的直线分别为、、的角平分线，其中，
，
，
．设
为
的外接圆的圆心． 
 
因为三角形的外接圆的圆心位于每条边的垂直平分线上，点
和
位于边
的垂直平分线上，
所以，
为边
的垂直平分线． 
类似地，
、
分别为边
、
的垂直平分线． 
因为
与
的边互相垂直，所以  
，
． 
同理，
． 
故
． 
因此，
为等腰三角形，即
． 
1
AJ
KL
P
J
KL
AC
M
P
AJ
AM = 2AL
∠BAC = 2α
∠ADB = 2α
∠ALK = 90 −
∘
α
∠CDJ =
 180 + ∠ADB =
2
1 (
∘
)
90 −
∘
α
∠DMJ = ∠ALK = 90 −
∘
α
JD = JM
△BCD
CD
T
JT⊥CD
JT
△JMD
MD
DT = MT
AM = AD + BD + CD −BC =
(
)
AD + AB + DC −BC = AC + AB −BC = 2
例题5
△ABC
A
B
C
O
α
β
γ
∠CAB = α
∠ABC = β
∠BCA = γ
O′
△ABC
O′
O
 1
BC
O O
 
′
1
BC
O O
 
′
3
O
 O
 
1
3
AB
OB
∠OBC
∠O
 O
 O
3
1
′
∠OBC = ∠O
 O
 O
3
1
′
∠O
 O
 O =
3
1
′
 2
β
∠O O
 O
 =
′
3
1
 2
β
∠O
 O
 O =
3
1
′
∠O O
 O
 
′
3
1
△O
 O O
 
1
′
3
O O
 =
′
1
O O
 
′
3
同理，
．故
． 
所以
为
外接圆圆心．
答 案
见解析
解析
首先证明：
． 
如图，联结
、
、
、
，取
的中点
，联结
．则 
． 
 
由
，得 
． 
． 
同理，
． 
从而，
． 
注意到，
．则
． 
如图，作点
关于直线
的对称点，联结
、
． 
 
则
． 
从而，
、
、、
四点共圆． 
于是，
． 
故
，即
． 
因此，
为
的垂心．
答 案
见解析
解析
1
1
O O
 =
′
1
O O
 
′
2
O O
 =
′
1
O O
 =
′
2
O O
′
3
O′
△O
 O
 O
 
1
2
3
例题6
∠FBH = ∠ECH
1
DE
DF
BH
CH
DF
G
BG
BG⊥DF
∠BFD = ∠FED
Rt△BFG∽Rt△DEH ⇒
 =
DE
BF
 
EH
FG
⇒BF ⋅EH = DE ⋅FG =
 DE ⋅
2
1
DF
CE ⋅FH =
 DE ⋅
2
1
DF
CE ⋅FH = BF ⋅EH ⇒
 =
CE
BF
 
EH
FH
∠BFH = ∠CEH
△BFH∽△CEH ⇒∠FBH = ∠ECH
2
C
AH
J
AJ
HJ
∠AJH = ∠ACH = ∠ABH
A
B
J
H
∠BAH = ∠HJC = ∠HCJ
∠HCJ + ∠CBA = ∠BAH + ∠CBA = 90∘
CH⊥AB
H
△ABC
例题7
如图，设边
、
的中点分别为
、
． 
 
由于
为
的对称轴，则点
在
的外接圆上． 
因为
，所以 
，即点在
的角平分线上． 
又
 
， 
则
． 
故
为等腰三角形，且
． 
对于直线
和
，由梅涅苏斯定理及在
中应用角平分线定理得 
． 
从而，
，有
． 
又
， 
则点在
的平分线上．于是，为
的内心．
答 案
见解析
解析
设为
与
的公共内心，为
内切圆的半径，它等于点到
的距离．
故
． 
设
为点在
上的投影．则
． 
因为
， 
所以，
． 
因此，
． 
同理，
、
均不超过
． 
又
，故 
． 
所以，
为正三角形． 
由等号成立的条件知
． 
于是，
． 
同理，
、
也分别为点在
、
上的投影． 
因为
， 
所以，
． 
同理，
． 
故
． 
1
AB
BC
D′
M
AM
△ABC
D′
△BCD
=
D E
′
⌢
DE
⌢
∠ABI = ∠D BE =
′
∠EBD = ∠IBK
I
∠ABK
∠DFA = 180 −
∘
∠BFA = 180 −
∘
∠BEA
= ∠MEB =
 ∠CEB =
2
1
 ∠CDB
2
1
∠DFA = ∠DAF
△AFD
AD = DF
CKI
△ADF
△ABF
1 =
 ⋅
CD
AC
 ⋅
KF
DK
 =
IA
FI
2 ⋅
 ⋅
KF
DK
 =
BA
BF
2 ⋅
 ⋅
KF
DK
 =
2AD
BF
 ⋅
KF
DK
AD
BF
△AKD∽△BAD
∠DAK = ∠ABD
∠IAB = ∠AFD −∠ABD = ∠DAF −∠DAK = ∠KAI
I
∠BAK
I
△KAB
例题8
I
△ABC
△A B C
′
′
′
r
△ABC
I
BC
IA ⩾
′
r
M
I
A B
′
′
IM =
 ⇒
2
r
IA ⩾
′
2IM
∠IMA =
′
90∘
∠IA M ⩽
′
arcsin
 =
2
1
30∘
∠B A C =
′
′
′
2∠IA M ⩽
′
60∘
∠C B A
′
′
′
∠A C B
′
′
′
60∘
∠B A C +
′
′
′
∠C B A +
′
′
′
∠A C B =
′
′
′
180∘
∠B A C =
′
′
′
∠C B A =
′
′
′
∠A C B =
′
′
′
60∘
△A B C
′
′
′
IA =
′
2IM = r
IA ⊥BC
′
B′
C′
I
AC
AB
BA =
′
BC′
∠C A B =
′
′
90 −
∘
 ∠ABC
2
1
∠B A C =
′
′
90 −
∘
 ∠ACB
2
1
∠B A C =
′
′
′
 ∠B + ∠C =
2
1 (
)
60 ⇒
∘
∠B + ∠C = 120∘
同理，
，
． 
于是，
． 
因此，
为正三角形．
答 案
见解析
解析
如下图，设
的外心为
，外接圆半径为
，点
在
上的投影为
，
与
交于点
，
与
交于点，
与
交于点
，
分别与
、
交于点
、
． 
 
因为
，且
，所以
的中垂线为
．从而，
为边
的中点． 
又
，
，则四边形
为等腰梯形．于是，
为
的中垂线．因此 
． 
因为
，
，所以
．于是，
． 
易知，
． 
又因为
，所以
． 
由
，得
． 
特别地，点
与重合等价于点
与重合． 
又因为
等价于点
与重合，
等价于点
与重合，所以，
的充分必条件是
．
答 案
见解析
解析
1
1
∠A + ∠B = 120∘
∠A + ∠C = 120∘
∠A = ∠B = ∠C = 60∘
△ABC
例题9
△ABC
O
R
H
CL
Q
HQ
LO
K
LO
⊙O
S
CL
DS
P
AB
LO
CD
M
N
∠AHD = ∠ABC = ∠ADH
DH⊥AB
DH
AB
N
DH
DC//SL
HK//CS
DLKH
AB
LK
 =
LC
LQ
 =
LS
LK
 ⇒
R
LM
LQ =
 
R
LC ⋅LM
PO⊥LS
LC⊥SC
△LOP∽△LCS
LP =
 =
LC
LO ⋅LS
 
LC
2R2
LB =
2
LS ⋅LM = 2R ⋅LM
LQ ⋅LP = 2R ⋅LM
LP ⋅LQ = LB2
LB = LI
LP ⋅LQ = LI2
Q
I
P
I
∠CIH = 90∘
Q
I
∠IDL = 90∘
P
I
∠CIH = 90∘
∠IDL = 90∘
例题10
如图，
为
的垂心． 
 
因为
，所以， 
． 
故
 
． 
因此，
、
、
、
四点共圆，有 
． 
同理，
． 
又因为
、
、
、
四点共圆，所以，点
不在
的内部． 
同理，点
也不在
与
的内部． 
故点
必在
的内部，因此， 
 
． 
故
． 
同理，
． 
从而，
为
的外心．
H
△A
 B
 C
 
1
1
1
△A B
 C
 ∽△ABC
1
1
1
∠A
 B
 C
 =
1
1
1
∠ABC
∠A
 HC
 =
1
1
180 −
∘
∠A
 B
 C
 
1
1
1
= 180 −
∘
∠ABC = ∠A
 BC
 
1
1
A1
B
H
C
 1
∠HBA = ∠HA
 C
 
1
1
∠HAC = ∠HC
 B
 
1
1
A1
B
H
C
 1
H
△A
 C B
1
1
H
△B
 A
 C
1
1
△C
 B
 A
1
1
H
△ABC
∠HAB = ∠CAB −∠CAH = ∠C
 A
 B
 −
1
1
1
∠HC
 B
 
1
1
= ∠C
 A
 B
 −
1
1
1
∠HA
 B
 =
1
1
∠HA
 C
 =
1
1
∠HBA
HA = HB
HA = HC
H
△ABC