文档文本内容
3
复数
16
高中/ 数学/ CMO 代数班
精讲精炼
【例1】
已知实数r ⩾2，复数z1，z2，z3，z4 都是模长⩾r 的复数．求复数2−(z1 +z2)(z3 +z4)+z1z2z3z4 的模长的最小值．
【例2】
x1，x2 和z 是三个复数，求证：z 满足||x1|−|x2|| ⩽|z| ⩽|x1|+|x2|
当且仅当z = c1x1 +c2x2，这里c1、c2 是模长为1 的复数．
【例3】
f (z) 是次数大于等于2 的复系数多项式，系数不全为实数．求证：方程f (z) f (−z) = f (z) 在上、下复开半平面都
有根，即有根z，使得z 的虚部大于零，和有根z，使得z 的虚部小于零．
17
第3 讲
复数
【例4】
正整数m ⩾2，求下列的值：
（1）sin π
2m sin 2π
2m sin 3π
2m ···sin (m−1)π
2m
．
（2）sin
π
2m+1 sin
2π
2m+1 sin
3π
2m+1 ···sin
mπ
2m+1．
（3）csc2 π
2m +csc2 2π
2m +csc2 3π
2m +···+csc2 mπ
2m ．
（4）tan
π
2m+1 tan
2π
2m+1 tan
3π
2m+1 ···tan
mπ
2m+1．
（5）tan2
π
2m+1 +tan2
2π
2m+1 +tan2
3π
2m+1 +···+tan2
mπ
2m+1．
（6）
(
1+acos π
m
)(
1+acos 2π
m
)(
1+acos 3π
m
)
···
(
1+acos (m−1)π
m
)
，这里a 是大于等于2 的正整数．
（7）整数x 满足−m < x < m，且x 与m 具相同的奇偶性，计算
m
∑
j=1
(
cos jπ
m
)m
cos jπx
m ．
18
高中/ 数学/ CMO 代数班
【例5】
对于−1 ⩽x ⩽1，令Tn (x) = 1
2n
[(
x+
√
1−x2i
)n
+
(
x−
√
1−x2i
)n]
，(n ∈N)．
（1）求证：对于−1 ⩽x ⩽1，Tn (x) 是x 的首项系数为1 的n 次多项式，且Tn (x) 的最大值是
1
2n−1 ．
（2）假设p(x) = xn + an−1xn−1 + ··· + a1x + a0 是首项系数为1 的实系数多项式，使得对在−1 ⩽x ⩽1 内的所有
x，p(x) > −
1
2n−1 ．
求证：存在[−1,1] 内x∗，使得p(x∗) ⩾
1
2n−1 ．
19
第3 讲
复数
【例6】
复数z = x+iy(x，y 为实数)，P(z) 表示平面上的点(x,y)，若z1，z2，z3，z4，z5，α 都是非零复数，且
(1)P(z1)，P(z2)，P(z3)，P(z4)，P(z5) 是凸五边形Q 的顶点，原点在Q 内部；
(2)P(αz1)，P(αz2)，P(αz3)，P(αz4)，P(αz5) 都在Q 内；α = p+iq，其中p 和q 都是实数．
求证：p+qtan π
5 ⩽1．
20
高中/ 数学/ CMO 代数班
【例7】
设n ⩾3 的正整数，求证
∑
1⩽i<j⩽n
cos
((i−j)π
n
) ⩽1
2n(n−2)
【例8】
设实数λ ∈(0,1)，n 是正整数．
证明：多项式f (x) =
n
∑
k=0
Ck
nλ k(n−k)xk 每个根的模都为1．
