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多项式
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高中/ 数学/ CMO 代数班
精讲精炼
【例1】
求所有的正实数对(a,b)，使得函数f (x) = ax2 +b 满足：对任意实数x，y，有f (xy)+ f (x+y) ⩾f (x) f (y)．
【例2】
已知正实数a ⩾3，f (x) 是具实系数的n 次多项式(n 为非负整数)，求证：max
j=0,1,2,···,n+1
aj −f (j)
⩾1．
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第4 讲
多项式
【例3】
如果a0，a1，···，an−1，an ∈{0,1,2,...,9}，an ⩾1，则f (x) = anxn +an−1xn−1 +···+a1x+a0 的根z 的实部小于零，
或者z 的模长|z| < 1
2
(
1+
√
37
)
．
【例4】
p = anan−1 ···a1a0 (0 ⩽a j ⩽9, j = 0,1,··· ,n,an ⩾1) 是一个素数的十进位表示，则多项式f (x) = anxn +an−1xn−1 +
···+a1x+a0 不可能分解为两个次数都大于等于1 的整系数多项式的乘积．
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例5】
求所有正整数k ⩾2，使得多项式x2k+1 +x+1 能分解为多项式xk +x+1 与一个整系数多项式的乘积．对每个这
样的k，求所有正整数n，使得xn +x+1 能分解为多项式xk +x+1 与另一个整系数多项式的乘积．
【例6】
正整数n ⩾3，f (x) 是一个次数大于等于1 的整系数多项式，已知存在n 个整数x1，x2，···，xn，使得f (xi) = xi+1，
这里i = 1，2，···，n−1，和f (xn) = x1，求证：x3 = x1．
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第4 讲
多项式
【例7】
设实系数多项式f (x) 的次数最多是2n 次，且对每个整数k，这里k ∈[−n.n]，都有整数A，使得|f (k)| ⩽A．求证：
对于[−n,n] 内任意实数x，f (x) ⩽22nA．
【例8】
如果实系数多项式f (x) 对所有实数x 只取非负的实数值，则存在n(n 是一个正整数) 个实系数多项式Q1 (x),Q2 (x),
··· ,Qn (x)，使得f (x) = (Q1 (x))2 +(Q2 (x))2 +···+(Qn (x))2．
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例9】
n 是一个正整数，已知
f (x) = anxn +an−1xn−1 +···+a1x+a0，g(x) = k
an
xn +
k
an−1
xn−1 +···+ k
a1
x+ k
a0
，
这里k 与ai (0 ⩽i ⩽n) 都是正实数．求证：
（1）当k ⩾1
4 时，f (g(1))g(f (1)) ⩾4k．
（2）当0 < k < 1
4 时，能适当选取n 及a0，a1，···，an，使得f (g(1))g(f (1)) < 4k．
