[讲义答案]第8讲几何变换-aea1661a5354_学而思高二全套_2019年秋季高二_2019秋高二秋季数学邹林强（实验班）二试_A129.学而思2019秋CMO代数班16讲邹林强等多个文件_[讲义答案]

答 案
见解析
解析
作平移变换
，则
． 
设
，则
在直线
上，
．由
，
有
， 
所以
， 
于是，
在
的外接圆上． 
同样，做平移变换
，设
， 
则
在直线
上， 
则
在
的外接圆上． 
设直线
与直线
交于
．注意
，  
所以
， 
从而
，
， 
另一方面，我们有 
 
 
 
 
于是
 
因此，点
在
与
的根轴上，即直线
是
与
的根轴． 
故
．
答 案
见解析
解析
模块1：合同
：合同变换
变换
1
1
例题1
T (FB)
F →B
D →D′
D′
CD
∠BD C =
′
∠FDC
DF = CF
AB//CD
∠FDC = ∠DCF = ∠BFC
∠BD C =
′
∠BFC
D′
△FBC
T (FA)
C →C′
C′
CD
C′
△ADF
EF
CD
K
DC//AB
 =
AF
KC
 =
AB
DC
 
FB
KD
KC =
 
AB
DC ⋅AF
KD =
 
AB
BF ⋅DC
KD =
′
DD −DK =
∣
′
∣
BF −DK
∣
∣
= BF ⋅
 1 −
 =
∣∣∣∣
BF
DK
∣∣∣∣
BF ⋅
 1 −
 
 =
∣∣∣∣
AB
DC
∣∣∣∣
 ⋅
AB
BF
AB −DC
∣
∣
KC =
′
C C −KC =
∣
′
∣
AF −KC
∣
∣
= AF ⋅
 1 −
 
 =
∣∣∣∣
AF
KC
∣∣∣∣
AF ⋅
 1 −
 
 =
∣∣∣∣
AB
DC
∣∣∣∣
 ⋅
AB
AF
AB −DC
∣
∣
KC ⋅KD =
′
 ⋅
AB2
DC ⋅AF ⋅FB
AB −DC =
∣
∣
KD ⋅KC′
K
⊙O
 1
⊙O
 2
EF
⊙O
 1
⊙O
 2
O
 O
 ⊥EF
1
2
例题2
证明：如图所示，做轴反射变换
，设
，则
在直线
上，
，
， 
熟知
，而
为
的中点， 
所以，
， 
因此
，从而
， 
另一方面，由
，
知，
、
、
、
四点共圆， 
所以
，
，因此
， 
而
、
分别为
、
的中点， 
所以
．又
，
， 
所以
， 
从而
、
、
、
四点共圆， 
于是
． 
答 案
见解析
解析
由
，知
． 
将
、
旋转
到
，则由
及已知
知
 
．又
(因
)，知
∽
，从而
 
，
，则
，于是又有
，即有
，而
，则
，故
．
答 案
见解析
1
2
S BI
(
)
A →A′
A′
BC
AA ⊥BI
′
∠MAA =
′
∠AA M
′
EB = BI
M
BI
ME⊥BI
ME//AA′
∠AEM = ∠EAA′
EF⊥BC
ME⊥BI
M
B
E
F
∠EMF = ∠EBF = ∠EAC = ∠BAI
∠FEM = ∠FBI = ∠IBA
△MEF∽△ABI
M
N
BI
EF
∠NMF = ∠MAI
∠MFB = ∠MEB = ∠AEM = ∠FAA′
∠NMF = ∠MAI
∠MDB = ∠MFB + NMF = ∠FAA +
′
∠MAI = ∠MAA′
A
M
D
A′
∠MDB = ∠MAA =
′
∠AA M =
′
∠ADM
例题3
∠ADB = ∠ACB + ∠CAD + ∠CBD
∠CAD + ∠CBD = 90∘
D
B
90∘
E
∠ADB = ∠CAD + ∠CBD + ∠ACB
∠ADB = ∠ACB + 90∘
∠CBE =
90 −
∘
∠CBD = ∠CAD
 =
BE
BC
 =
BD
BC
 
AD
AC
AC ⋅BD = AD ⋅BC
△BCE △ACD
 =
BC
AC
 
CE
CD
∠ACD = ∠BCE
∠ACB = ∠DCE
△ABC ∼△DEC
 =
DE
AB
 
CD
AC
BE =
 BD
2
AB ⋅CD = AC ⋅
 BD
2
 =
AC ⋅BD
AB ⋅CD
 2
解析
的外接圆在
点的切线与
夹角等于
(弦切角与圆周角)，
的外接圆在
点的切线与
夹角等于
，且两切线在
不同侧，故它们的夹角等于
，即两切线互相垂直．
答 案
见解析
解析
将
绕点
旋转，使
与
重合，得到
．连结
． 
因为 
 
， 
所以
 
． 
因此
 
. 
从而
≌
， 
≌
， 
所以
．
答 案
见解析
解析
由（1）可知 
 
， 
所以
． 
同理可证：
，
． 
评注 本题通过旋转，把
、
、
拼成一个与
全等的新三
角形
.也可以采取向
内部旋转的方法，把
、
、
放在
的内部，使之恰好“拼成”
．
1
2
模块2：位似
：位似变换
变换
1
△ACD
C
CD
∠CAD
△BCD
C
CD
∠CBD
CD
∠CAD + ∠CBD = 90∘
例题4
△A A A
2
3
4
A2
A A
2
3
A A
2
1
△A A A
2
1
′
4
A A
′
4
6
(∠A
 +
1
∠A
 +
3
∠A
 ) +
5
(∠A
 +
2
∠A
 +
4
∠A
 )
6
= 720∘
∠A
 +
1
∠A
 +
3
∠A
 5
= ∠A
 +
2
∠A
 +
4
∠A
 =
6
360∘
∠A
 A
 A
 =
′
4
1
6
360 −
∘
∠A
 −
1
∠A
 A
 A
 
′
4
1
2
= 360 −
∘
∠A
 −
1
∠A
 =
3
∠A
 5
△A A A
1
4
′
6 △A A A
5
4
6
△A A A
2
4
6 △A A A
2
′
4
6
S
 =
△A
 A
 A
 
2
4
6
 S
 =
2
1
A
 A
 A
 A
 
2
4
6
′4
 S
 
2
1
A
 A
 A
 A
 A
 A
 
1
2
3
4
5
6
∠A
 A
 A
 =
6
2
4
∠A
 A
 A
 =
6
2
4
′
∠A
 A
 A
 +
1
2
6
∠A
 A
 A
 
3
2
4
= ∠A
 −
2
∠A
 A
 A
 
6
2
4
∠A
 A
 A
 =
6
2
4
 ∠A
 
2
1
2
∠A
 A
 A
 =
2
4
6
 ∠A
 
2
1
4
∠A
 A
 A
 =
2
6
4
 ∠A
2
1
6
△A
 A
 A
 
2
3
4
△A
 A
 A
 
4
5
6
△A
 A
 A
 
6
1
2
△A
 A
 A
 
2
4
6
A A A
2
′
4
6
△A
 A
 A
 
2
4
6
△A
 A
 A
 
2
3
4
△A
 A
 A
 
4
5
6
△A A A
6
1
2
△A A A
2
4
6
△A
 A
 A
 
2
4
6
例题5
答 案
见解析
解析
由
，有
，
，从而
，
即有
．又
，
，因此四边形
和
四边形
关于
点为中心位似，所以点
，
，
在一直线上．结论证毕．
答 案
见解析
解析
设直线
交
于
，交
于
，作位似变换：
；
，
；
，则
，
，
． 
由
，故
．
答 案
见解析
解析
由
，希望有
．由题设，
与
，
与
都关于
对称，则
．又
与
，
与
关于
对称，则
，于是
，
故
． 
同理，
，
． 
又
，
，
．于是
和
的
对应边两两平行，故这两三角形或全等或位似．由于
内接于内切圆，而
内接于九点圆，且
为不规则三角形，故内切圆与九点圆不重合．从而
与
位似．这就证明
，
，
共点于位似中心．
答 案
见解析
解析
1
1
1
MN//KL
∠MNO = ∠OLK
∠NMO = ∠LKO
△ONM ∼△OLK
 =
OK
MO
 
OL
NO
∵∠OMD = ∠OKB
∠OND = ∠OLB
OMDN
OKBL
O
D
O
B
例题6
QGO
AD
R
EB
P
A, B, F
 
H(E,
 )
EA
ER
R, P, Q
A, B, F
 
H(C,
 )
CA
CO
O
P, G
A, B, F
 
H(D,
 )
DA
DB
R, O, G
 =
AF
RQ
 
AB
RP
 =
AB
RO
 
AF
RG
 =
AB
OP
 
AF
OG
 =
AF
GO
 =
AF
RQ −RG
 −
AF
RQ
 =
AF
RG
 −
AB
RP
 =
AB
RO
 =
AB
OP
 
AF
OG
OG = GQ
例题7
M
 M
 //A
 A
 
1
2
2
1
S
 S
 //A
 A
 
1
2
1
2
T
 1
S
 1
T
 2
T
 3
A
 B
 
1
1
 =
T
 T
 
1
2
⌢
 
T
 S
 
3
1
⌢
T
 2
S
 2
T
 3
T
 1
A
 B
 
2
2
 =
T
 T
 
1
2
⌢
 
T
 S
 
3
2
⌢
T
 I⊥S
 S
 
3
1
2
S
 S
 //A
 A
 
1
2
2
1
S
 S
 //A
 A
 
2
3
3
2
S
 S
 //A
 A
 
3
1
1
3
M
 M
 //A
 A
 
1
2
2
1
M
 M
 //A
 A
 
2
3
3
2
M
 M
 //A
 A
 
3
1
1
3
△M
 M
 M
 
1
2
3
△S
 S
 S
 
1
2
3
△S
 S
 S
 
1
2
3
I
△M
 M
 M
 
1
2
3
△A A A
1
2
3
△S
 S
 S
 
1
2
3
△M
 M
 M
 
1
2
3
M
 S
 
1
1
M
 S
 
2
2
M S
 
3
2
例题8
证法1：(相似证法)连线
，
，
，
，
．注意到
，
，
三点共线，由
有
，从而
．由角
平分线性质定理的逆定理，知
． 
又
，有
，从而
，则
，即
． 
而
，故
． 
证法2：(位似证法)考虑以
为位似中心的变换，把
变到
，
变到
，则
切
于
．由
，知
． 
延长
与
的延长线相交于点
，如图18-7，由
，知
为等腰三角形． 
连
并延长交
于
，则
，故
平分
，则
．由此知
．  
答 案
见解析
解析
先证明一个引理． 
引理设
为锐角
的垂心，
在边
、
、
上的投影分别为
、
、
．则
为
的内心． 
证明
． 
类似地，
． 
又因为
，所以
． 
从而，
． 
即
为
的角平分线． 
同理，
为
的角平分线． 
所以，
为
的内心． 
回到原题． 
如右图，设
、
、
分别为边
、
、
的中点． 
 
因为
，
，所以，
． 
1
BO
 1
PO
 1
PO
 2
EO
 2
CO
 2
O
 1
A
O
 2
PB : PC = r
 :
1
r
 2
Rt△PBO
 ∼
1
Rt△PCO
 2
PO
 :
1
PO
 =
2
O
 A :
1
O
 A
2
∠BPO
 =
1
∠O
 PA
2
∠O
 AP =
2
∠O
 EA
2
∠O
 AP =
1
∠O
 EP
2
△O
 AP ∼
1
△O
 EP
2
PA : PE = r
 :
1
r
 2
PA : PE = PB : PC
∠BPA = ∠CPE
△PAB ∼△PEC
A
⊙O
 1
⊙O
 2
△PAB
△P AC
′
′
P C
′
′
⊙O
 2
C
′
PB : P C =
′
′
r
 :
1
r
 =
2
PB : PC
P C =
′
′
PC
P C
′
′
PC
Q
QC =
′
QC
△PQP
′
QO
 2
AE
F
QF⊥AE
QF
AE
AP =
′
PE
△PEC ≅△P AC ∼
′
△PAB
例题9
H
△XY Z
H
Y Z
ZX
XY
X′
Y ′
Z′
H
△X Y Z
′
′
′
∠HZ Y =
′
′
∠HXZ
∠HZ X =
′
′
∠HY Z
△X XZ∽△Y Y Z
′
′
∠HXZ = ∠HY Z
∠HZ Y =
′
′
∠HZ X
′
′
HZ′
∠X Z Y
′
′
′
HY ′
∠X Z Y
′
′
′
H
△X Z Y
′
′
′
A′
B′
C′
BC
CA
AB
OA ⊥BC
′
B C //BC
′
′
OA ⊥B C
′
′
′
类似地，
． 
所以，
为
的垂心． 
又因为
为
的中垂线，所以，
的中点
为点
在
上的投影． 
设
、
的中点分别为
、
，由引理，知
为
的内心． 
由
与
位似，位似中心为
，位似比为，知
为
的内心．
答 案
见解析
解析
设直线
、
、
分别与
的内切圆交于另一点
、
、
，则
的三边分别
垂直平分
、
、
，所以
，由此可知
，同样，
，
，因此
与
是位似的，而
、分别为
与
的外心，、
分别为
与
的内心，故
、、
三点共线，且
．
答 案
见解析
解析
，所以
、
、
、
四点共圆，于是有
．同理，
．再由
为
的垂心，有
，所以
，因此，
．同理，
．所以
为
的外心．设
、
、
分别是
、
、
的中点，则
也是
的垂心．又
，由条件有
，所以
．而
既是
的垂心，又是
的垂心，于是，设
，
，作位似旋转变换
则
．设
，则
为
的，且
．但
的中点三角形的外
心是
的九点圆圆心，而
的九点圆的圆心是
的外心与垂心的连线段的中
点，即
为
的中点．故
．
答 案
见解析
解析
显然，
、
、
在一直线上．设
、
和
的外心分别为
、
、
，直
线
与
的外接圆交
、
两点．因
．
1
1
1
OB ⊥A C
′
′
′
O
△A B C
′
′
′
B C
′
′
KO
KO
K′
O
B C
′
′
LO
MO
L′
M′
O
△K L M
′
′
′
△KLM
△K L M
′
′
′
O
2
O
△KLM
例题10
DH
EH
FH
△ABC
P
Q
R
△DEF
HP
HQ
HR
DQ = DH = DR
QR//BC
RP//CA
PQ//AB
△ABC
△PQR
O
I
△ABC
△PQR
I
H
△ABC
△PQR
O
I
H
 =
IO
HI
 
R
r
例题11
∠Y H Z =
′
180 −
∘
∠Y XZ = 180 −
∘
∠BAC
A
Z
H′
Y
∠BAH =
′
∠ZY H′
∠ABH =
′
∠ZXH′
H′
△XY Z
∠ZY H =
′
∠ZXH′
∠BAH =
′
∠H BA
′
H A =
′
H B
′
H B =
′
H C
′
H′
△ABC
L
M
N
BC
CA
AB
H′
△LMN
△LMN∽△ABC
△XY Z∽△ABC
△XY Z∽△LMN
H′
△XY Z
△LMN
< XH L =
′
θ
H L =
′
k ⋅H X
′
S H , k, θ
(
′
)
△XY Z →△LMN
O →O′
O′
△LMN
∠H O O =
′
′
∠H LX =
′
90∘
△ABC
△ABC
△ABC
△ABC
O′
H H
′
OH =
′
OH
例题12
I
 b
A
I
 c
△I
 AP
b
△I
 AP
c
△ABC
O
 1
O
 2
O
I
 I
 
b c
△ABC
A
M
 < PO
 I
 =
1 b
2
 < PAI
 =
b
 < PO
 I
 
2 c
，
，由此可知，
．于是，设
作位似旋转变换
，则
，
．又
，
，所以
．这样，我们只要证明
为线段
的中点即可．而这是很容易证明的． 
事实上，以
、
、
表示
相应的顶角，则不难知道
，而
，所以
，于是
．同理，
．又
，所以
，从而
，即
为线段
的中点．故
为线段
的中点．
O
 P =
1
O
 I
 
1 b
O
 P =
2
O
 I
 
2 c
△PI
 I
 ∽△PO
 O
 
b c
1
2
PO
 =
1
k ⋅PO
 2
S P, k, I
 PO
 
(
b
1)
I
 →
b
O
 1
I
 →
c
O
 2
< POM = 2
 < PAM =
 < PO
 I
 
1 b
OP = OM
M →O
M
I
 I
 
b c
∠A
∠B
∠C
△ABC
∠AI
 C =
b
90 −
∘
 ∠B
2
1
∠CMI
 =
b
∠B
∠I CM =
b
90 −
∘
 ∠B =
2
1
∠AI
 C
b
MC = MI
 b
MB = MI
 c
∠CBM = ∠CAI
 =
b
∠I
 AB =
c
∠MCB
MB = MC
MI
 =
b
MI
 c
M
I
 I
 
b c
O
O
 O
 
1
2