[讲义答案]第7讲根轴-7605403be44f_学而思高二全套_2019年秋季高二_2019秋高二秋季数学邹林强（实验班）二试_A129.学而思2019秋CMO代数班16讲邹林强等多个文件_[讲义答案]

答 案
见解析
解析
记
中点为
，为证
在
和
的根轴上，只须证
向
和
引的切线长相等，只须 
证对任一与
内切而与
外切的圆而言，自
向所引的切线长为定值(仅与
半径
及
有关，而与的位置和半径无关)． 
连
，
，
，则
，
，
，故由斯特瓦尔特定理的推
论(或三角形中线长定理)，有
．于是自
点向
所作切线长为
为定值(与
的位置与半径无
关)，从而自
点向
和
引的切线长相等，即
在两圆根轴上，故直线．
平分线段
．
答 案
见解析
解析
设
内切圆半径为，其与
，
，
的切点分别为
，
，
．又设
，
，
分别
是线段
，
，
的中点． 
由
和
均为直角三角形，有
． 
同理，
，于是
，
，
，
四点共圆．  
由于点
，
分别在
，
上，则在
的外部，关于
的幂为
，从而该圆与
直交．  
同理，
，
也与
直交， 
故
，
，
，就是
，
，
，且
的外接圆半径为
． 
即证．
模块1：
1
1
例题1
AB
M
M
⊙C
⊙D
M
⊙C
⊙D
⊙A
⊙B
Γ
M
Γ
⊙A
R
AB = 2a
Γ
r
AC
BC
MC
AC = R −r
BC = R + r
AB = 2a
MC =
2
 
AC + BC −
 AB
=
2
1 (
2
2
2
1
2)
 
R + r
+ R −r
−
 4a
=
2
1 [(
)2
(
)2
2
1
2]
R +
2
r −
2
M
⊙C
 =
MC −r
2
2
 
R −a
2
2
⊙C
M
⊙C
⊙D
M
PQ
AB
例题2
△ABC
r
BC
CA
AB
D
E
F
P
Q
R
EF
FD
DE
△IBD
△IDQ
IQ ⋅IB = ID =
2
r2
IR ⋅IC = r2
B
C
R
Q
Q
R
IB
IC
I
⊙BQRC
I
⊙BQRC
IB ⋅IQ = r2
⊙I
⊙CRPA
⊙APQB
⊙I
A
′
B
′
C
′
P
Q
R
△PQR
 2
r
例题3
答 案
见解析
解析
证明：如图，设直线
交
于，直线
交
于．因为
，故
． 
同理，
．从而、
、三点共线． 
又
， 
故
，
，，四点共圆． 
因此，由根轴定理可知，四边形
的外接圆、圆
、圆
两两的公共弦
、
、
(所
在的直线)或者共点或者互相平行，即直线
、
、
或者共点或者互相平行． 
答 案
见解析
解析
设凸六边形
切圆于点
，
，
，，
，
(
在
上，
在
上，等等)．选择
任意实数
，在直线
和
上作点
和
，使
，而向量
和
同向
量
和
同方向，类似地作点
，
，
，
(有
)，再作
切直线
和
分别于点
，
，类似地作
，
． 
下证点
和
在
和
的根轴上．
若
，则
和
．类似地可证，直线
和
分别是
和
，
和
的根轴．而三个圆的根轴交于一点，因此
，
，
共点．
答 案
见解析
1
1
1
EC
⊙O
 1
I
FD
⊙O
 2
J
∠PJE = ∠PAF = ∠CAF = ∠CDF
PJ//CD
IP//CD
I
P
J
∠EFD = 180 −
∘
∠ECD = 180 −
∘
∠EIJ
E
F
J
I
IEFJ
O
 1
O
 2
IE
PQ
JF
PQ
CE
DF
例题4
ABCDEF
R
Q
T
S
P
U R
AB
Q
BC
a > 0
BC
EF
Q
′
P
′
QQ =
′
PP =
′
a
 
QQ
PP
CB
EF
R
′
S
′
T
′
U
′
RR =
′
SS =
′
TT =
′
UU =
′
a
⊙O
 1
BC
EF
P
′
Q
′
⊙O
 2
⊙O
 3
B
E
⊙O
 1
⊙O
 2
BQ =
′
QQ −BQ = RR −
′
BR = BR
′
QQ <
′
BQ
BQ =
′
BQ −QQ =
′
BR −RR =
′
BR
′
EP =
′
E P +
′
PP =
′
ES + SS =
′
ES
′
FC
AD
⊙O
 1
⊙O
 3
⊙O
 2
⊙O
 3
AD
BE
CF
例题5
解析
证明：若
，则结论是平凡的． 
不失一般性，假设
． 
如图，设边
的中点为
，
为圆
的圆心，
的外接圆为圆
． 
 
因为
，所以，圆
与
切于点
． 
设圆
与
、圆
与的根轴分别为、． 
由于圆
与的根轴为
，则直线、、
交于点
，且直线、分别为圆
与
、圆
与的公切线． 
设点
在
上的投影为
． 
由
，知
、
、
、
、
五点共圆． 
由于点
关于
、
的对称点分别为
、
，则 
． 
于是，
、
、
三点共线(记为)． 
因为
为
、
的位似中心，
和
为对应高线，
和
为对应点，所以，
、
、
三点共线． 
从而，点
在直线上．
答 案
见解析
解析
证明：如图，记四边形
的外接圆为圆
，
的外接圆为圆
，
的外接圆为
圆
． 
易知，圆
和
的根轴是直线
，圆
和
的根轴是直线
． 
由于
是圆
和
的公共点，因此，
在圆
和
的根轴上． 
又
是
与
的交点，则
是圆
、
、
的根心．从而，直线
是圆
和
的根轴． 
为证明
、
、
三点共线，只需证明
对圆
和
的幂相等，即
也在这两个圆的根轴上． 
由外角的性质知 
． 
而
 
这表明，
与
切于点
． 
同理，
与圆
切于点
． 
由
知，点
对圆
和
的幂相等．从而，
、
、
三点共线． 
1
AB = AC
AB < AC
BC
A
 0
O
Γ′
△AB
 C
 
0
0
Γ
 1
′
B
 C
 //BC
0
0
Γ′
Γ
 1
′
A
Γ′
Γ1
′
Γ′
Γ
a
x
Γ1
′
Γ
B
 C
 
0
0
a
x
B
 C
 
0
0
W
a
x
Γ′
Γ
 1
′
Γ′
Γ
A0
B
 C
 
0
0
Q
∠WAO = ∠WQO = ∠WXO = 90∘
A
W
X
O
Q
A
B
 C
 
0
0
OW
D
X
∠WQD = ∠AQW = ∠AXW = ∠WAX = ∠WQX
Q
D
X
l
G
△ABC
△A
 B
 C
 
0
0
0
AD
A
 Q
0
D
Q
D
G
Q
G
l
例题6
ABCD
T
△APC
T
 1
△BPD
T
 2
T
T
 1
AC
T
T
 2
BD
P
T
 1
T
 2
P
T
 1
T
 2
E
AC
BD
E
T
T
 1
T
 2
PE
T
 1
T
 2
O
P
E
O
T
 1
T
 2
O
∠APC = ∠PAB + ∠ABC + ∠PCB = 90 +
∘
 ∠AOC
2
1
∠ACO =
 (180 −
2
1
∘
∠AOC) = 180 −
∘
(90 +
∘
 ∠AOC) =
2
1
180 −
∘
∠APC
OC
T
 1
C
OB
T
 2
B
OC = OB
O
T
 1
T
 2
O
P
E
例题7
答 案
见解析
解析
如图，设
的内切圆和
内的旁切圆分别为圆和圆
，圆和圆
与边
分别切于点
，
，圆
与直线
，
分别切于点
，
． 
由
，得
，
． 
因此，对于点
，
，它们到点的距离等于它们向圆
所引的切线段的长．从而，
是点圆
和圆
的根轴． 
 
同理，
是点圆
和圆
的根轴． 
于是，
与
的交点
为圆，圆
，圆
的根心．所以
．
答 案
见解析
解析
如图，记
关于
对称的点为
． 
 
下面证明：
、
、
三点共线，也就是直线
通过顶点
． 
注意到直线
是
和以
为直径的圆（记为圆
）的根轴，由于
，因此直
线
是
和以
为直径的圆（记为圆
）的根轴． 
记
与直线
交于点
，由
，得
，而
，于
是，知点
在圆
上，从而，直线
是圆
和
的根轴． 
由根轴定理，知三个圆
，
，
的根轴
，
，
交于根心
．因此，
、
、
三点共线．
1
1
△ABC
∠A
Γ
Γ
 a
Γ
Γ
 a
BC
X
T
Γ
 a
AB
AC
P
Q
BX = CT
ZP = ZB + BP = XB + BT = BX + CX = ZS
CQ = CT = BX = BZ = CZ
Z
C
S
Γ
 a
ZC
S
Γa
BY
R
Γ
 a
ZC
BY
G
S
R
Γ
 a
GR = GS
例题8
A
O
A′
N
M
A′
MN
A′
DE
⊙O
PD
Γ
 1
∠PNA =
′
90∘
NA′
⊙O
PA′
Γ
 2
DA′
BC
F
∠ADA =
′
90∘
∠PFA =
′
90∘
∠PNA =
′
90∘
F
Γ
 1
BC
Γ
 1
Γ
 2
⊙O
Γ
 1
Γ
 2
DE
BC
NA′
M
M
N
A′
答 案
见解析
解析
证明：考虑
与截线
，由
定理，有 
， 
所以
， 
于是
， 
因此
， 
这样
 
=
， 
， 
， 
． 
于是
． 
因为
是点
到
的内切圆的切线长，所以
是点
到内切圆的幂，而
是点
到
的外接圆的幂．等式
表明点
到
的外接圆与内功
圆的幂相等，因而点
在
的外接圆与内功切圆的根轴上． 
同理，点
也在
的外接圆与内切圆的根轴上． 
故
．
答 案
见解析
解析
证明：可以证明它们都在
与九点圆的根轴上． 
 
1
1
例题9
△ABC
PFD
Menelaus
 ⋅
PA
CP
 ⋅
FB
AF
 =
DC
BD
1
 =
PC
PA
 ⋅
FB
AF
 =
DC
BD
 =
DC
AF
 
p −c
p −a
 =
CA
PA
 
a −c
p −a
PA =
 
a −c
b(p −a)
PE = PA + AE =
 +
a −c
b(p −a)
p −a
 
a −c
2(p −c)(p −a)
ME =
 PE =
2
1
 
a −c
(p −c)(p −a)
MA = ME −AE =
 −
a −c
(p −c)(p −a)
(p −a) =
 
a −c
(p −a)2
MC = ME + EC =
 +
a −c
(p −c)(p −a)
(p −c) =
 
a −c
(p −c)2
MA ⋅MC = ME2
ME
M
△ABC
ME2
M
MA ⋅MC
M
△ABC
MA ⋅MC = ME2
M
△ABC
M
△ABC
N
△ABC
OI⊥MN
例题10
⊙O
如图，把
位似变换到
，
的重心
为位似变换到
，
的
重心
为位似中心，位似比为
． 
在这种变换下，
变成了
，其中
为九点圆的圆心，所以
，
． 
故
是九点圆的切线． 
易知
，则
(不妨设
)． 
又
，
， 
所以
，故
． 
所以，
在
于九点圆的根轴上．同理，
、
也在
与九点圆的根轴上．
△ABC
△A B C
′
′
′
△ABC
G
△A B C
′
′
′
△ABC
G
−
 2
1
AO
A N
′
N
A N//AO
′
A P
 ⊥A N
′
a
′
A P
 
′
a
∠OAB + ∠C = 90∘
∠BAA +
′
∠A AO +
′
∠C = 90∘
AB ⩽AC
∠P
 A A =
a
′′
′
∠BAA +
′
∠C
∠P
 A A =
a
′
′′
90 −
∘
∠A AO
′
∠P
 A A =
a
′′
′
∠P
 A A
a
′
A P
 =
′
a
A P
 
′′
a
P
 a
⊙O
P
 b
P
 c
⊙O