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2019 秋 2019 秋CMO 代数班 期末试卷 （本试卷共一大题，满分63 分，考试时间270 分钟） 共3 题，每个题21 分 1 给定正整数m，则对任意满足 m ∑ i=1xi ∈Z 的实数x1，x2，···，xm，总存在m 个整数y1，y2，···， ym 满足 m ∑ i=1yi = m ∑ i=1xi 且 m ∑ i=1|yi −xi| ⩽C(m) 的最小C(m) 的值为： C(m) = m 2 ,当m为偶数 m2 −1 2m ,当m为奇数 ． 第1 页（共3 页） 2 设a1，a2，a3，a4 ∈R，则 108 ∏ 1⩽i<j⩽4(aj −ai)2 ⩽ ( 4 ∑ i=1a2 i )6 ． 等号当a1，a2，a3，a4 与多项式f (x) = x4 −6x2 +3 的根成比例时成立． 第2 页（共3 页） 3 给定整数n ⩾2，实数x1，···，xn 满足 (1) n ∑ i=1xi = 0；(2)max 1⩽i⩽n |xi| = 1． 求max 1⩽i⩽n |xi −xi+1| 的最小值，其中xn+1 = x1． 第3 页（共3 页）
