[讲义答案]第3讲四点共圆1-8faa8e147aa5_学而思高二全套_2019年秋季高二_2019秋高二秋季数学邹林强（实验班）二试_A129.学而思2019秋CMO代数班16讲邹林强等多个文件_[讲义答案]

答 案
见解析
解析
证明：解法：设
、
分别为
、
的中点，
为
的外心，
为圆
与圆
的内公切线，则
为
的中垂线，且平分
与
所构成的角，于是，点
到
、
的
距离相等． 
同理，
为
的中垂线，且点
到
、
的距离相等．于是，点
是与
、
、
均相切的圆的圆心，所以，
为
的角平分线． 
又因为
也在
的中垂线上，所以，这条中垂线与
的角平分线的交点在
的外接
圆上． 
解法：因为
，
， 
所以，
 
 
． 
于是，
． 
故
 
． 
因此，点
在
的外接圆上． 
答 案
见解析
解析
解析，由
，
，知
、
、
交于一点． 
如图，设
与
、
的外接圆的另一个交点分别为
、
． 
模块1：
1
1
例题1
1
E
F
BD
CD
K
△BCD
TDT ′
Γ
 1
Γ
 2
EK
BD
BA
DT
K
BA
DT
FK
CD
K
AC
DT
K
BA
AC
DT
AK
∠BAC
K
BC
∠BAC
△ABC
2
∠TDB = ∠ABD
∠T DC =
′
∠DCA
∠BDC = 180 −
∘
∠TDB + ∠T DC =
′
180 −
∘
∠ABD + ∠DCA
= 180 −
∘
∠ABC −∠DBC +
(
)
∠DCB −∠ACB
(
)
= 180 −
∘
∠ABC −∠ACB + ∠DBC + ∠DCB = ∠BAC + 180 −
∘
∠BCD
∠BDC = 180 +
∘
∠BAC
∠BKC = ∠BKD + ∠DKC = 2 ∠EKD + ∠DKF
=
(
)
2∠EKF
= 2 180 −∠BDC =
(
∘
)
180 −
∘
∠BAC
K
△ABC
例题2
1
AB//CD
 =
KB
AK
 
LC
DL
AD
BC
KL
S
1
SK
△ABP
△CDQ
X
Y
 
则
． 
从而，
与
的外接圆切于点
． 
同理，
与
的外接圆切于点
． 
于是，
． 
由于是
的外接圆与
的外接圆的位似中心，则
． 
故
、
、
、
四点共圆．  
解析，如图，设
、
、
三线共点于，
与
交于点
，
与
交于点
．
则 
． 
 
故
、
、
、
四点共圆． 
分别将
、
视为
、
的梅涅劳斯线．由梅涅劳斯定理得
，
． 
由于
，则
．于是，
从而，
． 
又
，且 
， 
则
． 
无论点
在
之间，还是点
在
之间，均有
四点共圆．
答 案
见解析
解析
1
∠AXB = 180 −
∘
∠APB = 180 −
∘
∠BCD = ∠ABC
BC
△ABP
B
BC
△CDQ
C
SP ⋅SX = SB2
S
△CDQ
△BAX
 =
SX
SQ
 ⇒
SB
SC
SP ⋅SQ = SB ⋅SC
P
Q
B
C
2
2
AD
KL
BC
S
AP
DQ
E
BP
CQ
F
∠EPF + ∠FQE = ∠BCD + ∠ABC = 180∘
P
E
Q
F
DQ
CQ
△ASP
△BSP
 ⋅
DS
AD
 ⋅
QP
SQ
 =
EA
PE
1
 ⋅
CS
BC
 ⋅
QP
SQ
 =
FB
PF
1
AB//CD
 =
DS
AD
 
CS
BC
 =
EA
PE
 
FB
PF
EF//AB
∠BCD = ∠BCF + ∠FCD = ∠BCQ + ∠EFQ = ∠BCQ + ∠EPQ
∠BCD = ∠APB = ∠EPQ + ∠QPF
∠BCQ = ∠QPF
Q
PK
P
QK
PQBC
例题3
如图，设
与
的外接圆交于点
，
为边
的中点，
在
的投影为
． 
 
因为
，所以，
． 
又
，则
，且相似比为
． 
由于
，
，则
． 
从而，
，即
为线段
的中点． 
于是，
为
的中垂线． 
故
． 
同理，
． 
因此，
、
、
、
四点共圆，圆心为
．
答 案
见解析
解析
证明：如图，要证
、
、
、
四点共圆，由
． 
知只需证
，即
． 
 
如图，作
．则
． 
由题设有
． 
另一方面，由
，知
、
、
、
四点共圆． 
因此，
． 
作
于点
，
于点
．则 
． 
又
，于是，
．从而，
． 
故
．
1
1  80%
BI
△ABC
P
M
AC
P
IK
N
AB + BC = 3AC
BD = BE = AC = 2CM
∠ABP = ∠ACP
△DBI∽△MCP
2 : 1
PA = PI = PC
∠NPI = ∠DBI
△PNI ≅△CMP
ID = 2PM = 2IN
N
IK
PN
IK
PC = PI = PK
PA = PI = PL
A
C
K
L
P
例题4
Z
G
F
Y
∠Y GZ = ∠OGZ = 90∘
∠OFY = 90∘
∠OFX = 90∘
2
OE⊥AB
CH = 2OE
PB = PF −BF = AF −BF = 2EF
∠HPB = ∠HAB = ∠HCB
P
B
H
C
△PXB ∽△CXH
XL⊥AB
L
XN⊥CF
N
 =
LF
XL
 =
XN
XL
 =
CH
PB
 =
2OE
2EF
 
OE
EF
∠XLF = ∠FEO
△XLF∽△FEO
∠XFL = ∠FOE
∠XFO = 180 =
∘
∠XFI −∠OFE = 180 −
∘
∠FOE −∠OFE = 90∘
例题5
答 案
见解析
解析
如图，设
的外心为
．则
． 
 
于是，
、
、
在以
为直径的圆上． 
因此，只需证明
． 
不妨设
． 
由
是
的中垂线知
． 
同理，
． 
设
，
． 
则
． 
在
和
中，由正弦定理得
，
． 
由于
，因此，
． 
又因为
，所以，
． 
如图，在
和
中，由正弦定理得 
，
． 
 
于是，
． 
从而，
． 
因为
， 
所以，
． 
因此，
． 
于是，
、
、
、
四点共圆． 
又
，则 
， 
． 
故
．
答 案
见解析
解析
1
1
△ABC
O
∠APO = ∠ANO = 90∘
A
P
N
AO
∠AFO = 90∘
AB > AC
PD
AB
AD = BD
AE = CE
∠ABD = ∠BAD = α
∠CAE = ∠ACE = β
α + β = ∠BAC
△ABM
△ACM
 =
sinα
BM
 
sin∠BMA
AB
 =
sinβ
CM
 
sin∠CMA
AC
sin∠BMA = sin∠CMA
 =
CM sinα
BM sinβ
 
AC
AB
BM = CM
 =
sinβ
sinα
 
AB
AC
2
△ABF
△ACF
 =
sinα
AF
 
sin∠AFB
AB
 =
sinβ
AF
 
sin∠AFC
AC
 =
sinβ
sinα
 
AB sin∠AFC
AC sin∠AFB
sin∠AFB = sin∠AFC
∠ADF = 2α∠DEC = 2β
∠EFD = 180 −
∘
2α −2β = 180 −
∘
2∠BAC
∠BFC = 2∠BAC = ∠BOC
B
O
F
C
∠AFB + ∠AFC = 360 −
∘
2∠BAC > 180∘
∠AFB = ∠AFC = 180 −
∘
∠BAC
∠OFB = ∠CCB = 90 −
∘
∠BAC
∠AFO = ∠AFB −∠OFB = 180 −∠BAC −90 −∠BAC = 90
(
∘
∘)
例题6
证明：如图，
、
分别是边
、
的中点，设以
为圆心、过点
的圆与以
为圆心、
过点
的圆的另一个交点为
． 
 
则
． 
又因为
、
分别是边
、
的中点，所以，
．从而，
． 
于是，点
在
上． 
由切割线定理得
． 
故
、
、
、
四点共圆， 
分别作
、
的垂直平分线，设其交点为
．则
是四边形
外接圆的圆心，
也是
的外心，且
． 
同理，
． 
因此，
、
、
、
、
、
六点均在以
为圆心、
为半径的圆上． 
故
、
、
、
、
、
六点共圆．
答 案
见解析
解析
证明：作
、
的公切线
与
交于点
．则
． 
 
在
中，
①， 
②． 
综合式①、②得
，即
． 
在
中，
． 
因为
，所以，
．故
，即
． 
因为
(
为
的切线)，所以，
． 
1
B
 0
C
 0
CA
AB
B
 0
H
C
 0
H
A′
A H⊥C
 B
 
′
0
0
B
 0
C
 0
CA
AB
C
 B
 //BC
0
0
A H⊥BC
′
A′
AH
AC
 ⋅
1
AC
 =
2
AA ⋅
′ AH = AB
 ⋅
1
AB
 2
B
 1
B
 2
C
 1
C
 2
B
 B
 
1
2
C
 C
 
1
2
O
O
B
 B
 C
 C
 
1
2
1
2
△ABC
OB
 =
1
OB
 =
2
OC
 =
1
OC
 2
OA
 =
1
OA
 =
2
OB
 =
1
OB
 2
A1
A2
B
 1
B
 2
C
 1
C
 2
O
OA
 1
A1
A2
B
 1
B
 2
C
 1
C
 2
例题7
⊙O
 1
⊙O
 2
AH
DE
H
∠HAB = ∠HBA
⊙O
 2
∠HAB =
 2
1 AC∘
⌢
∠HBA =
 
+
2
1 AD∘
⌢
 2
1 CE∘
⌢
=
CD
⌢
CE
⌢
CD = CE
⊙O
 2
∠DAC =
 
=
2
1 DC∘
⌢
 
=
2
1 CE∘
⌢
∠CDE
∠DCB = ∠ACD
△CDB ∽△CAD
 =
CB
CD
 
CD
CA
CD =
2
CA ⋅CB
CF
=
2
CA ⋅CB CF
⊙O
 1
CF
=
2
CD ⇒
2
CF = CD
又
，
，故
． 
从而，
、
、
、
四点共圆，
为圆心．
答 案
见解析
解析
解：设
为圆的圆心，
为
与
的交点． 
因为
，所以，
． 
又
，则
．故
、
、
、
四点共圆． 
从而，
． 
因此，
． 
在直线
上选取一点
，使得
．则
．所以， 
． 
在
上选取点
(不同于点
)，使得
；在线段
上选取点
，使得
． 
由
，得
． 
由上式及式①得
．故点
与
重合，因此，
． 
又由
，
，知点
与
在
的同一侧． 
设
为直线
与
外接圆的交点． 
由
，得
． 
因此，点
与
重合，这表明，
、
、
、
四点共圆．
答 案
见解析
解析
证明：连接
、
、
、
、
． 
由
，
及
 
 
 
为
的角平分线． 
连接
、
．因为
为弧
的中点，所以，
为
的角平分线，同理，
为
的角平分线． 
于是，
、
、
三线共点(设为)． 
在圆
、
中，由圆幂定理得 
． 
从而，
、
、
、
四点共圆．
1
1
CD = CE
CF = CG
CD = CF = CG = CE
D
F
G
E
C
例题8
O
Γ
M
OX
AB
△XOA ∽△XAM
XO ⋅XM = XA2
XC ⋅CS = XA2
XO ⋅XM = XC ⋅XD
O
M
D
C
∠XMD = ∠OCD = ∠ODC = ∠OMC
∠CMG = ∠GMD
CM
Z
MX//DZ
MD = MZ
 =
GD
CG
 =
MD
CM
 =
MZ
CM
 
XD
CX
GX
X′
G
∠GFD = ∠DFX′
X F
′
W
CF//GW
 =
DG
X D
′
 =
FG
X F
′
 =
FW
X F
′
 
CG
X C
′
CG ⋅X D =
′
X C ⋅
′
GD
 =
XC
XD
 
X C
′
X D
′
X
X′
∠GFD = ∠XFD
 =
XD
DG
 <
XC
CG
1
∠XDB = ∠CDF < 90∘
H
B
CX
H′
BF
△GFX
∠H XG =
′
∠H FG =
′
∠H FX =
′
∠H GX
′
H G =
′
H X
′
H
H′
X
F
G
H
例题9
AC
AD
AE
AF
DF
∠ADB = ∠AFB
∠ACB = ∠AEF
CD = EF
⇒△ACD ≅△AEF ⇒AD = AF ⇒∠ADF = ∠AFD
⇒∠ABC = ∠AFD = ∠ADF = ∠ABF
⇒AB
∠CBF
CM
FN
M
PB
⌢
CM
∠DCF
FN
∠CFB
BA
CM
FN
I
Γ1
Γ2
CI ⋅IM = AI ⋅IB,  AI ⋅IB = NI ⋅IF ⇒NI ⋅IF = CI ⋅IM
C
F
M
N