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柯西不等式
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高中/ 数学/ CMO 代数班
精讲精炼
【例1】
若a，b，c，d ∈R+．
求证
a
b+c +
b
c+d +
c
d +a +
d
a+b ⩾2．
【例2】
证明，任何正数a1，a2，···，an 都满足不等式
a1
a2 +a3
+
a2
a3 +a4
+···+
an−2
an−1 +an
+ an−1
an +a1
+
an
a1 +a2
> n
4．
37
第6 讲
柯西不等式
【例3】
设P1，P2，···，Pn 是1，2，···，n 的任一排列，求证：
1
P1 +P2
+
1
P2 +P3
+···+
1
Pn−2 +Pn−1
+
1
Pn−1 +Pn
> n−1
n+2．
【例4】
设x1，x2，···，xn 为任意实数，证明：
x1
1+x2
1
+
x2
1+x2
1 +x2
2
+···+
xn
1+x2
1 +x2
2 +···+x2
n
< √n．
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例5】
a，b，c，d ∈R，证明：
(
a2 +b2 +c2 +d2)2 ⩾
(
a2b+b2c+c2d +d2a
)
(a+b+c+d)．
【例6】
设n ⩾3，实数x1，x2，x3，···，xn 满足x1 ⩾x2 ⩾··· ⩾xn，x1 +x2 +···+xn = 0，
x2
1 +x2
2 +···+x2
n = n(n−1)，求x1 +x2 的最大值和最小值．
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第6 讲
柯西不等式
【例7】
设n ⩾2，a1，a2，···，an 是n 个正实数，满足：(a1 +···+an)
(
1
a1
+ 1
a2
+···+ 1
an
)
⩽
(
n+ 1
2
)2
．
证明：max{a1,··· ,an} ⩽4min{a1,··· ,an}．
【例8】
设2n 个实数a1，a2，···，a2n 满足
2n−1
∑
i=1
(ai+1 −ai)2 = 1，求(an+1 +an+2 +···+a2n)−(a1 +a2 +···+an) 的最大值．
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例9】
设n > 3 为给定的正整数，实数x1，x2，···，xn+1，xn+2 满足0 < x1 < x2 < ··· < xn+1 < xn+2，求
( n
∑
i=1
xi+1
xi
)(
n
∑
j=1
xj+2
xj+1
)
n
∑
k=1
xk+1xk+2
x2
k+1 +xkxk+2
n
∑
i=1
x2
i+1 +xixi+2
xixi+1
的最小值，并讨论等号成立的条件．
【例10】
设x ⩾0，y ⩾0，z ⩾0，a、b、c、l、m、n 是给定的正数，并且ax+by+cz = δ 为常数，求w = l
x + m
y + n
z 的最小值．
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第6 讲
柯西不等式
【例11】
给定正整数n ⩾2，设正整数ai (i = 1,2,··· ,n) 满足a1 < a2 < ··· < an 以及
n
∑
i=1
1
ai
⩽1．求证：对任意实数x，有
( n
∑
i=1
1
a2
i +x2
)2
⩽1
2 ·
1
a1 (a1 −1)+x2 ．
【例12】
已知数列{an} 满足a1 > 0，a2 > 0，an+2 =
2
an +an+1
．Mn = max
{
an, 1
an
,
1
an+1
,an+1
}
．求证：
Mn+3 ⩽3
4Mn + 1
4．
