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函数方程
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高中/ 数学/ CMO 代数班
精讲精炼
【例1】
求函数f : R →R，使得对任意的x、y ∈R，均有f(x f(x)+ f(y)) = f 2(x)+y．
【例2】
求函数f : R →R，使得对任意实数x、y 均有f(f(x−y)) = f(x)f(y)−f(x)+ f(y)−xy．
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第13 讲
函数方程
【例3】
求所有的函数f : R\{0} →R\{0}，使得对所有的x、y ∈R\{0}(y̸ = −x2)，有f(x2 +y) = f 2(x)+ f(xy)
f(x) ．
【例4】
求所有函数f : R →R，使得对所有的x、y ∈R 均有f(x f(y)+ f(x)) = 2 f(x)+xy．
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例5】
求所有函数f : R →R，使得对所有x、y、z、t ∈R，有(f(x)+ f(z))(f(y)+ f(t)) = f(xy−zt)+ f(xt +yz)．
【例6】
求所有的函数f : Z →Z，使得对所有的x、y ∈Z，有f(x+ f(y)) = f(x)−y．
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第13 讲
函数方程
【例7】
是否存在函数f : R+ →R+，对所有的x、y ∈R+，均有f 2(x+y) ⩾f 2(x)(1+yf(x))？
【例8】
求全部函数f : Z+ →Z+ 满足对所有正整数m、n，均有(f 2(m)+ f(n))|(m2 +n2)2．
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例9】
求所有函数f : N →N，对所有的m、n ∈N 满足f(m2 +n2) = f 2(m)+ f 2(n)，且f(1) > 0．
【例10】
在下列情形下，求函数f : Z+ →M，满足1+ f(n)f(n+1) = 2n2(f(n+1)−f(n))(n ∈Z+)．
（1）M = N．
（2）M = Q．
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第13 讲
函数方程
【例11】
求满足以下条件的所有的函数f : R →R，对任意的x、y ∈R 有f(x + y) + f(x)f(y) = (1 + y)f(x) + (1 + x)f(y) +
f(xy)．
