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舒尔不等式
10
高中/ 数学/ CMO 代数班
精讲精炼
【例1】
证明对所有正实数a，b，c ∈[1,2]，我们有：(a+b+c)
(
1
a + 1
b + 1
c
)
⩾6
(
a
b+c +
b
c+a +
c
a+b
)
．
【例2】
已知：a，b，c 均为正数，求证：a3 +b3 +c3 +2
(
ab2 +bc2 +ca2)
⩾3
(
a2b+b2c+c2a
)
．
11
第9 讲
舒尔不等式
【例3】
a、b、c、d ⩾0，则：(∑a)4 +32abcd ⩾3(∑a)2 ∑ab．
【例4】
已知abc = −1，a2
c + b
c2 = 1，a2b+b2c+c2a = t，求ab5 +bc5 +ca5 的值．
12
高中/ 数学/ CMO 代数班
【例5】
正实数a，b，c 满足a+b+c = 1．求证：a
√
1−bc+b√1−ca+c
√
1−ab ⩾2
√
2
3 ．
【例6】
已知a，b，c 都是非负实数，求证：
√
7a
a+3b+3c +
√
7b
b+3a+3c +
√
7c
c+3a+3b ⩽3．
13
第9 讲
舒尔不等式
【例7】
x，y，z > 0．求证：x
y2 +z2 +
y
z2 +x2 +
z
x2 +y2 ⩾
9
2
√
3(x2 +y2 +z2)
．
【例8】
设x，y，z 是正实数且满足x+y+z = 1，求证：
xy
√xy+yz +
yz
√yz+xz +
xz
√xz+xy ⩽
√
2
2
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例9】
设正实数a，b，c 满足a2b2 +b2c2 +c2a2 = 1．证明：
(
a2 +b2 +c2)2 +abc
(√
a2 +b2 +c2
)3
⩽4
【例10】
正实数a，b，c 满足a+b+c = 1．证明：a2 +bc
a2 +1 + b2 +ac
b2 +1 + c2 +ab
c2 +1 ⩽13
20．
15
第9 讲
舒尔不等式
【例11】
设a，b，c 是非负实数，且满足a+b+c = 2．证明：
(
a2 +bc
)(
b2 +ca
)
+
(
b2 +ca
)(
c2 +ab
)
+
(
c2 +ab
)(
a2 +bc
)
⩽3．
