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1
数列
2
高中/ 数学/ CMO 代数班
精讲精炼
【例1】
证：∑k2
4k < 49
64．
【例2】
数列a1，a2，···an，··· 是由递推公式a1 = 1，an+1 =
√
a2n + 1
an
(n ∈N) 所定义的．求证：可以找到这样的实数α，使
得1
2 < an
nα < 2 对所有正整数n 成立．
3
第1 讲
数列
【例3】
是否存在无穷正实数列a1，a2，···，an，···，使得对于任意两两不同的正整数i，j，k 使得
(i+ j)ak，(k +i)a j，(j +k)ai
恰好是某锐角三角形的三条边长．
4
高中/ 数学/ CMO 代数班
【例4】
设x1，x2，···，xn 是单调递增的数列，求证：
(
n
∑
i,j=1
xi −xj
)4
⩽8(n−1)3 (n+1)
(
2n2 −3
)
15
n
∑
i,j=1
(xi −xj)4
【例5】
令an ⩾an−1 ⩾··· ⩾a0 = 0，对任意的i，j ∈{0,1,2,··· ,n}，j > i，则有
aj −ai ⩽j −i
证明：
( n
∑
k=1
ak
)2
⩾
n
∑
k=1
(ak)3
5
第1 讲
数列
【例6】
定义一对复数数列{xn}，{yn}(其中n ∈N∗，xn，yn 为复数) 叫PXX 数列，若满足：对任意n ∈N∗都成立
|2xn+1 −(xn +yn)| ⩽|xn −yn| 和|2yn+1 −(xn +yn)| ⩽|xn −yn|．问：是否存在一对PXX 数列，满足|x1| ⩽1，|y1| ⩽1，
且使得|xn +yn| =
√
2019？若存在，求出最小的n；若不存在，说明理由
【例7】
已知数列{xn} 满足xn+1 = x2
n −6(n ∈N∗)，并且对任意的x1̸ = −2 都存在正整数n，使得xn ⩾α．试求实数α 的
最大可能值．
6
高中/ 数学/ CMO 代数班
【例8】
数列{xn} 满足x1 = 0，x2 = 1，且当n ⩾2 时，xn+1 =
(
2−1
n
)
xn −xn−1．
求证：存在无穷多个正整数m，使得xmxm+1 ⩽0．
【例9】
设a1 = 1，a2 = 8，an+1 = an−1 + 4
nan (2,3,···)．证明：
（1）存在c > 0，使得an ⩽cn2 (1,2,···)．
（2）对任意的n ∈Z+，有an+1 −an ⩽4n+3．
