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14
代数综合1
50
高中/ 数学/ CMO 代数班
精讲精炼
【例1】
已知实数x，y，z ∈[0,1]，证明：xyz+(1−x)(1−y)(1−z) ⩾min{x(1−y),y(1−z),z(1−x)}．
【例2】
若xi ∈R，i = 1，2，···，n，n ∈N+，则
n
∏
i=1
(
x2
i +n−1
)
⩾nn−2
( n
∑
i=1
xi
)2
．
51
第14 讲
代数综合1
【例3】
x，y，z 是正实数，满足x4 +y4 +z4 = 1，求
x3
1−x8 +
y3
1−y8 +
z3
1−z8 的最小值．
【例4】
设实数x1，x2，x3，x4，x5 > 0，设多元函数f (x,x2,x3,x4,x5,n) = xn
1 + xn
2 + xn
3 −xn
4 −xn
5，若f (x,x2,x3,x4,x5,2) =
f (x,x2,x3,x4,x5,4) = 0．证明：f (x,x2,x3,x4,x5,3) < 0．
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例5】
在△ABC 中，且ma，mb，mc，ra，rb，rc 分别表示BC，CA，AB 边上的中线及旁切圆半径，则有
rarb
mamb
+ rbrc
mbmc
+ rarc
mamc
⩾4
(
sin2 A
2 +sin2 B
2 +sin2C
2
)
⩾3．
【例6】
设a，b，c，d 是正数，且满足a2 +b2 +c2 +d2 = 4，求证：a+b+c+d
2
⩽
3
√
(1+abcd)
(
1
a + 1
b + 1
c + 1
d
)
．
53
第14 讲
代数综合1
【例7】
设a，b，c 是任意实数，且满足
√[
12a2 +(b+c)2][
12b2 +(c+a)2][
12c2 +(a+b)2]
+8(a+b)(b+c)(a+c) ⩾0．
【例8】
设x，y，z 是n 维向量，证明：∥y−z∥·∥x∥⩽∥x−y∥·∥z∥+∥z−x∥·∥y∥．
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例9】
设a ⩾b ⩾c > 0，求证：
（1）a+b+c−3
3√
abc ⩾
64(a−b)2
7(11a+24b)．
（2）a+b+c−3
3√
abc ⩾25(b−c)2
7(3b+11c)．
【例10】
设a ⩾b ⩾c ⩾d > 0，求证：a+b+c+d −4
4√
abcd ⩾1
2
(√a+
√
b−2√c
)2
．
55
第14 讲
代数综合1
【例11】
设ai ⩾−1(i = 1,2,··· ,n)，
n
∑
i=1
ai ⩾0，求证：
n
∏
i=1
(ai +1) ⩾1−n
4
( n
∑
i=1
a2
i
)
．
【例12】
给定正整数m 与a1，a2，···，am，求证：存在正整数b，c，N 使得对于任意正整数n ⩾N 有
[ m
∑
i=1
√n+ai
]
=
[√
bn+c
]
．
