数列
模块1
等差数列与等比数列
4
模块2
求数列前n 项和的方法
7
三视图与空间位置关系
模块1
三视图
14
模块2
平行与垂直
18
空间向量
模块1
空间向量的坐标表示
26
模块2
空间中角的向量求法
30
统计与统计案例
模块1
统计图表与数字特征
38
模块2
统计案例
43
目录
Contents
概率与分布列
模块1
古典概型与几何概型
50
模块2
概率分布列
55
直线与圆
模块1
直线与圆的方程
64
模块2
直线与圆综合
69
圆锥曲线
模块1
圆锥曲线的方程与基本量
76
模块2
圆锥曲线的几何性质
80
几何条件的代数转化
模块1
弦长与面积的代数转化
86
模块2
角度与斜率的代数转化
94
最值范围问题
模块1
建立目标函数
100
模块2
建立不等关系
103
第8 讲
数列
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3
8
直击课堂
考纲解读
1. 数列的概念和简单表示法
(1) 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).
(2) 了解数列是自变量为正整数的一类函数.
2. 等差数列、等比数列
(1) 理解等差数列、等比数列的概念.
(2) 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式.
(3) 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
(4) 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
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4
8
1
模块
1
等差数列与等比数列
知识凝炼
一、等差等比数列的基本量
二、等差等比数列的性质及应用
1
等差等比数列的性质
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5
8
2
等差等比数列的判定
学情分析
全国理数的数列解答题和三角函数解答题每年只考一个，考解答题时一般不再考小题，不考解答题时，就
考两个小题，交错考法不一定分奇数年或偶数年；数列专题在高考中侧重于基础知识和通法的考查，常从基本
量的计算，数列求和等方面选题，此外也需要注意复习回顾有关等差、等比数列定义法判断的题型.
精讲精练
考点1: 等差数列基本量的计算
例1 （1）在等差数列{an} 中，a5 = 9，且2a3 = a2 +6，则a1 等于( )
A. −3
B. −2
C. 0
D. 1
（2）已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn，若a4 = 7，S5 = 20，则a10 =( )
A. 16
B. 19
C. 22
D. 25
（3）已知等差数列{an} 中，a4 = 9，S4 = 24，则a7 =( )
A. 3
B. 7
C. 13
D. 15
（4）已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn，若a3 = 8,S6 = 54，则数列{an} 的公差为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 9
2
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6
8
考点2: 等比数列基本量的计算
例2 （1）已知等比数列{an} 中，a1 +a2 = 3，a2 +a3 = 6，则a8 =( )
A. 64
B. 128
C. 256
D. 512
（2）在等比数列{an} 中，a1 = 4，公比为q，前n 项和为Sn，若数列{Sn + 2} 也是等比数列，则q 等于
( )
A. 2
B. −2
C. 3
D. −3
（3）已知等比数列{an} 的前n 项积为Tn，若a1 = −24，a4 = −8
9，则当Tn 取最大值时，n 的值为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
例3
已知数列{an} 为等差数列，且a1 +a3 = 8，a2 +a4 = 12．
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）记{an} 的前n 项和为Sn，若a1,ak,Sk+2 成等比数列，求正整数k 的值．
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7
8
2
模块
2
求数列前n 项和的方法
知识凝炼
一、裂项相消法
裂项相消法的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除了首尾各有一项
或少数几项外，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前n 项和．
常见的裂项技巧有：
⑴分式裂项：
1
n(n+k) = 1
k
(
1
n −
1
n+k
)
，
1
4n2 −1 =
1
(2n−1)(2n+1) = 1
2
(
1
2n−1 −
1
2n+1
)
；
⑵无理式裂项：
1
√n+
√
n+k = 1
k
(√
n+k −√n
)
；
⑶对数裂项：ln n+1
n
= ln(n+1)−lnn；
⑷等差数列构造的裂项：等差数列{an} 的公差为d，前n 项和Sn = An(n+k)，则
①
1
anan+1
= 1
d
(
1
an
−
1
an+1
)
，②1
Sn
= 1
Ak
(
1
n −
1
n+k
)
．
二、错位相减法
错位相减法适用于求数列{anbn} 的前n 项和，其中{an} 是公差d̸ = 0 的等差数列，{bn} 是公比q̸ = 1 的
等比数列，即an+1 −an = d，bn+1 = bnq．
具体步骤为：
⑴和式：Sn = a1b1 +a2b2 +a3b3 +···+anbn①；
⑵错位：qSn = a1b2 +a2b3 +···+an−1bn +anbnq②；
⑶相减：①−②，(1−q)Sn = a1b1 +d (b2 +b3 +···+bn)−anbnq；
⑷求和：n−1 项等比数列求和（b2 +b3 +···+bn）；
⑸整理：等式左右两边同除以1−q，和式整理成简洁的形式；
⑹检验：用{anbn} 的前几项检验．
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8
8
三、其他求和方法
1
公式法
⑴等差数列：Sn = n(a1 +an)
2
= na1 + n(n−1)
2
d；
⑵等比数列：Sn =
na1,q = 1
a1 (1−qn)
1−q
= a1 −anq
1−q ,q̸ = 1
；
⑶1+2+···+n = n(n+1)
2
；
⑷12 +22 +···+n2 = n(n+1)(2n+1)
6
；
⑸13 +23 +···+n3 =
[n(n+1)
2
]2
．
2
分组求和
数列的通项公式较复杂时，把数列中的每一项拆分成多项的和，从而将原数列拆分成多个简单可直接求和
的数列的和，再分别对各部分求和．
3
并项求和
主要解决周期数列求和和相邻奇偶项求和的问题．
⑴周期数列：先求一个周期内各项的和，再看整周期数和最后构不成整周期的项，最后求和；
⑵分奇偶求和：{an} 的奇数项和偶数项规律不同，讨论n 分别是奇数、偶数时，数列前n 项共有多少奇数
项、多少偶数项，分别求和再相加．
4
倒序相加
常见于特殊函数构造的数列，ak +an+1−k 为定值，可用倒序相加法．
常见的函数形式有f (x)+ f (1−x) 为定值，f (x)+ f
(
1
x
)
为定值．
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9
8
精讲精练
考点3: 数列求和
例4
已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn，且a4 = 5,S9 = 54.
（1）求数列{an} 的通项公式与Sn．
（2）若bn = 1
Sn
，求数列{bn} 的前n 项和.
（3）设Sn 表示{an} 的前n 项和，{bn} 是首项为2 的等比数列，公比q 满足q2 −(a4 +1)q+S4 = 0，求
{bn} 的通项公式及其前n 项和Tn．
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10
8
例5
在等差数列{an} 中，a1 = 3，前n 项和为Sn，等比数列{bn} 各项均为正数，b1 = 1，且b2 +S2 = 12，{bn}
的公比q = S2
b2
．
（1）求数列{an} 的通项公式．
（2）记Tn = 1
S1
+ 1
S2
+ 1
S3
+···+ 1
Sn
，试比较Tn 与5
9 的大小．
例6
求数列
{
1−2n
3n−1
}
的前n 项和Sn．
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11
8
例7
设数列{an} 的前n 项和为Sn，且a1 = 1，an+1 = 2Sn +1，数列{bn} 满足a1 = b1，点P(bn,bn+1) 在直线
x−y+2 = 0 上，n ∈N∗．
（1）求数列{an},{bn} 的通项公式．
（2）设cn = bn
an
，求数列{cn} 的前n 项和Tn．
第9 讲
三视图与空间位
置关系
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13
9
直击课堂
考纲解读
1. 空间几何体
(1) 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征, 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
(2) 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合) 的三视图, 能识别上述三视图所表示
的立体模型, 会用斜二侧法画出它们的直观图.
(3) 会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图, 了解空间图形的不同表示形
式.
(4) 会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上, 尺寸、线条等不作严格要求).
(5) 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
2. 点、直线、平面之间的位置关系
(1) 理解空间直线、平面位置关系的定义, 并了解可以作为推理依据的公理和定理.
(2) 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点, 认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定
理.
(3) 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
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9
1
模块
1
三视图
知识凝炼
1
三视图画法规则
(1) 排列规则：侧视图在正视图右边，俯视图在正视图下边.
(2) 画法规则：
①正视图与俯视图长度一致，即“长对正”；
②侧视图与正视图高度一致，即“高平齐”；
③俯视图与侧视图宽度一致，即“宽相等”．
(3) 线条规则：
①能看见的轮廓线和棱用实线表示；
②看不见的轮廓线和棱用虚线表示．
一、底面还原法
1．从某个视图（一般为俯视图）入手确定几何体的底面；
2．根据侧视图和正视图确定几何体的上顶点（锥体）或上底面（柱体）；
3．根据实线和虚线对几何体进行适当调整．
二、投影法
1．由三视图做出立体图形各投影面，并标注三视图上的线段；
2．再根据投影面上的实线和虚线做出可能存在的实际轮廓线；
3．最后排除多余轮廓线形成几何体．
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15
9
学情分析
立体几何小题，3 年6 考，每年2 题，一般考三视图和球，主要计算体积和表面积，球体是基本的几何体，是
发展空间想象能力的很好载体，是新课标的热点.
立体几何大题，3 年3 考，每年1 题．第1 问多为证明平行垂直问题，第2 问多为计算问题，求空间角较多；
证明中一般要用到初中的相似、全等、平行等性质.
精讲精练
考点1: 由直观图确定三视图
例1 （1）如图所示，四面体ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四
面体ABCD 的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )
A. ①②⑥
B. ①②③
C. ④⑤⑥
D. ③④⑤
（2）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右
边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼
的木构件的俯视图可以是( )
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9
考点2: 根据三视图求几何量
例2 （1）如图所示，某几何体的三视图均为腰长为1 的等腰直角三角形，则该几何体的表面积为( )
A. 3
2 +
√
3
2
B. 2
√
2+1
C.
√
2+
√
3
2 + 1
2
D. 2
√
3
（2）某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3) 是( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
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17
9
（3）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的所有棱中，最短的棱长为( )
A. 2
B.
√
5
C. 1
D. 2
√
2
（4）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
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9
2
模块
2
平行与垂直
知识凝炼
一、平行关系
1
直线与平面平行的判定与性质
2
平面与平面平行的判定与性质
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9
二、垂直关系
1
直线与平面垂直的判定与性质
2
平面与平面垂直的判定与性质
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9
一、证明平行关系的方法
1．线线平行
⑴应用平面几何知识：平行线的传递性，三角形中位线或等高线，相似三角形，先判定平行四边形再
证明平行，梯形，内错角、同位角、同旁内角等．
⑵应用线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理．
2．线面平行
应用线面平行判定定理、线面平行的定义（伴随反证法）、面面平行的性质（两平面平行，则其中一
个平面内所有直线平行于另一平面），即可以利用线线平行、面面平行来证明线面平行．
3．面面平行
应用面面平行判定定理及其推论、线面垂直（垂直于同一直线的两平面平行），即可以通过线面平行
（量相交直线）、线线平行（两组相交直线）和线面垂直来证明面面平行．
二、证明垂直关系的方法
1．线线垂直
应用平面几何知识、线面垂直的性质推论（线面垂直，则直线垂直于面内所有直线）来证明线线垂
直．相交直线的垂直不一定要用平面几何知识证明，可能需要经过“线线垂直←线面垂直←线线垂直
←线面垂直”多重证明才能达到目的．
2．线面垂直
应用线面垂直判定定理、面面垂直性质定理证明线面垂直，即利用线线垂直（直线垂直于平面内两
相交直线）和面面垂直来证明线面垂直．
3．面面垂直
应用面面垂直判定定理，即通过线面垂直证明面面垂直．
使用定义、公理、定理和推论时，每证明一个平行或垂直关系，都要把这个关系成立的条件写清楚，
不重不漏．
不建议作太多的辅助线，可以在草稿纸上把几何体按照自己的理解重新画一遍，梳理几何体的空间
结构，分析要证明平行、垂直的两个对象空间位置关系．
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9
精讲精练
考点3: 平行与垂直证明
例3 （1）已知α、β 是两个不同的平面，m、n 是两条不同的直线，下列命题中的假命题是( )
A. 若m//n,m⊥α，则n⊥α
B. 若m//α,α ∩β = n，则m//n
C. 若m⊥α,m⊥β，则α//β
D. 若m⊥α,m ⊂β，则α⊥β
（2）在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，下列说法中正确的是( )
A. A1C1 与B1C 成60◦角
B. D1C1⊥AB
C. AC1 与DC 成45◦角
D. A1C1⊥AD
例4
已知三棱柱ABC−A1B1C1 的侧棱垂直于底面，∠BAC = 90◦,AB = AA1 = 2,AC = 1,M,N 分别是A1B1,BC
的中点．证明：MN// 平面ACC1A1．
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9
例5
如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//CB,∠ADC = 90◦，平面PAD⊥底面ABCD，
Q 为AD 的中点，BC = 1
2AD，M 是棱PC 上的点．求证：平面PQB⊥平面PAD．
例6
如图，四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA⊥平面ABCD，BD 交AC 于点E，F 是线段PC 的中
点，G 为线段EC 的中点．
（1）求证：FG// 平面PBD；
（2）求证：BD⊥FG．
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9
例7
如图，正三棱柱ABC −A1B1C1 的高为
√
6，其底面边长为2．已知点M，N 分别是棱A1C1,AC 的中点，
点D 是棱CC1 上靠近点C 的三等分点．求证：
（1）B1M// 平面A1BN；
（2）AD⊥平面A1BN．
第10 讲
空间向量
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10
直击课堂
考纲解读
1. 空间向量及其运算
(1) 了解空间向量的概念, 了解空间向量的基本定理及其意义, 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
(2) 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
(3) 掌握空间向量的数量积及其坐标表示, 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
2. 空间向量的应用
(1) 理解直线的方向向量与平面的法向量.
(2) 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.
(3) 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).
(4) 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题, 了解向量方法在研究立体
几何问题中的应用.
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1
模块
1
空间向量的坐标表示
知识凝炼
一、空间向量
空间向量的定义、定理和运算法则可类比平面向量．
与空间向量运算有关的公式：
设−→a = (x1,y1,z1)，−→b = (x2,y2,z2)，
⑴向量共线：−→a //−→b ⇔−→a = λ−→b (−→b̸ = −→0 ) ⇔x1 = λx2,y1 = λy2,z1 = λz2（λ ∈R），
当−→b 与三条坐标轴都不平行时，−→a //−→b ⇔x1
x2
= y1
y2
= z1
z2
；
⑵向量垂直：−→a ⊥−→b ⇔−→a ·−→b = 0 ⇔x1x2 +y1y2 +z1z2 = 0；
⑶向量的模：|−→a | =
√−→a 2 =
√−→a ·−→a =
√
x12 +y12 +z12；
⑷向量夹角：cos
⟨−→a ,−→b
⟩
=
−→a ·−→b
|−→a |
−→b
=
x1x2 +y1y2 +z1z2
√
x12 +y12 +z12√
x22 +y22 +z22 ．
二、直线的方向向量和平面的法向量
1
直线的方向向量
若空间中的直线l 上有两个不同的点A、B，则向量−→
AB = −→a 叫做直线l 的方向向量．在求直线的方向向量
时，需要先建立合适的空间坐标系，找到直线上恰当的两点，求出坐标，以这两个点为方向向量的始点和终点，
求出方向向量的坐标．直线的方向向量有无数个（模长不定），方向只有两个．
2
平面的法向量
若非零向量−→n 垂直于平面α，则向量−→n 叫做平面α 的法向量．若−→b 是与平面α 共面的任一向量，则
−→b ·−→n = 0．
法向量有无数个（模长不定），方向只有两个．
要求平面的法向量，先建立坐标系，在平面内找到不共线的三个点，用这三个点求出两个不共线的向量−→a
和−→b 的坐标，设出法向量−→n = (x,y,z)，根据
−→a ·−→n = 0
−→b ·−→n = 0
，解方程组，由于未知数有三个，方程只有两个，所
以无法求出方程组的确定解，但是可以表示出三个未知数间的线性关系，找到这个关系后，根据线性关系，给三
个未知数其中之一赋一个恰当的值，得到法向量的一个恰当的坐标表示（一般以x,y,z 均为整数或者不含有分
式为目标，便于之后的计算）．
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10
立体几何的建系技巧
1．利用共顶点的互相垂直的三条线构造空间坐标系．
2．利用线面垂直关系构造空间坐标系．
3．利用图形中的对称关系构造空间坐标系．
4．利用正棱锥、棱锥的高、投影点构造空间坐标系．
5．利用面面垂直关系构造空间坐标系．
学情分析
空间角是立体几何的一个重要概念，主要指异面直线所成的角、线面角和二面角. 在试题中，证明线面、面
面的位置关系时，一般是利用传统的几何方法，而对于空间角和距离的计算，既可以用几何法，又可以用向量法
来求解，特别是容易建立空间直角坐标系的问题，用向量法会更容易.
此外，在应用向量这一工具解题时，要特别注意利用空间图形的特殊性，构造适当的空间直角坐标系来解
决问题，体会所包含的数学思想方法的运用，并能解决具有探索性的问题.
精讲精练
考点1: 空间向量的线性运算
例1 （1）若−→a = (2,−3,5)，−→b = (−3,1,2)，则
−→a −2−→b
=( )
A. 7
√
2
B. 5
√
2
C. 3
√
10
D. 6
√
3
（2）已知A(3,4,−1)，B(−1,−4,3)，C(−2,1,2)，且M 为AB 中点，则向量−→
CM 的坐标为( )
A. (3,−1,1)
B. (3,1,−1)
C. (3,−1,−1)
D. (3,1,1)
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10
考点2: 向量夹角与位置关系
例2 （1）已知向量⃗a = (2m+1,3,m−1)，⃗b = (2,m,−m)，且⃗a//⃗b，则实数m 的值等于( )
A. 3
2
B. −2
C. 0
D. 3
2 或−2
（2）已知A(2,−5,1)，B(2,−2,4)，C(1,−4,1)，则向量−→
AB 与−→
AC 的夹角为( )
A. 30◦
B. 45◦
C. 60◦
D. 90◦
（3）已知向量−→a = (1,2,0)，−→b = (0,2,3)，k∈R 且−→a +k−→b 与−→a −2−→b 垂直，则k =( )
A. 3
11
B. −3
11
C. 3
22
D. −3
22
考点3: 法向量的计算
例3 （1）已知空间直角坐标系中点A(1,0,0),B(2,0,1),C(0,1,2)，则平面ABC 的一个法向量为( )
A. (−1,−3,2)
B. (1,3,−1)
C. (1,3,1)
D. (−1,3,1)
（2）若平面α 的一个法向量为⃗n = (4,1,1)，直线l 的一个方向向量为⃗a = (−2,−3,3)，则l 与α 所成角
的正弦值为
．
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10
例4
已知A(0,2,3),B(−2,1,6),C(1,−1,5)．
（1）求平面ABC 的一个单位法向量．
（2）证明：向量⃗a = (3,−4,1) 与平面ABC 平行．
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10
2
模块
2
空间中角的向量求法
知识凝炼
空间角的向量求法
1
异面直线所成角
⑴异面直线所成角的范围：
(
0,π
2
]
．
⑵异面直线a 与b 所成角的求法：建立合适的空间坐标系，求出两条直线（或它们的平行直线）的方向
向量−→a 和−→b ，则cosθ =
cos
⟨−→a ,−→b
⟩ ．
2
线面所成角
⑴线面所成角的范围
[
0, π
2
]
．
⑵直线a 与平面α 所成角θ 的求法：建立合适的空间坐标系，求出直线的方向向量−→a 和平面的法向量
−→n ，则θ +⟨−→a ,−→n ⟩= π
2 或θ + π
2 = ⟨−→a ,−→n ⟩，即sinθ = |cos⟨−→a ,−→n ⟩|．
3
二面角的平面角
⑴二面角的范围：[0,π]．
⑵二面角的平面角θ 的求法：建立合适的空间坐标系，求出两个半平面的法向量−→
n1、−→
n2，
则有下面两种情况：
①θ = ⟨−→
n1,−→
n2⟩：两个法向量一个指向二面角内部，另一个指向二面角外部；
②θ = π−⟨−→
n1,−→
n2⟩：两个法向量都指向二面角的内部或外部.
无论哪一种情况，都有|cosθ| = |cos⟨−→
n1,−→
n2⟩|．
θ 是钝角还是锐角，可以根据图形直观判断，直接下结论；或者根据两个法向量的指向，判断θ 与⟨−→
n1,−→
n2⟩
的关系．
精讲精练
考点4: 线线角
例5
在长方体ABCD −A1B1C1D1 中，AB = BC = 1,AA1 =
√
3，则异面直线AD1 与DB1 所成角的余弦值为
( )
A. 1
5
B.
√
5
6
C.
√
5
5
D.
√
2
2
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31
10
考点5: 线面角
例6
如图，在四棱锥P−ABCD 中，PC⊥底面ABCD，AD//BC，AD = 2BC = 2，PC = 2，△ABC 是以AC 为斜
边的等腰直角三角形，E 是PD 的中点．
（1）求证：平面EAC⊥平面PCD.
（2）求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．
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32
10
考点6: 二面角
例7
在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 是边长为2 的菱形，∠ABC = 60◦,PB = PC = PD．
（1）证明：PA⊥平面ABCD．
（2）若PA = 2，求二面角A−PD−B 的余弦值．
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33
10
例8
如图，在三棱柱ABC −A1B1C1 中，CC1⊥平面ABC,D,E,F,G 分别为AA1,AC,A1C1,BB1 的中点，
AB = BC =
√
5，AC = AA1 = 2．
（1）求证：AC⊥平面BEF．
（2）求二面角B−CD−C1 的余弦值.
（3）证明：直线FG 与平面BCD 相交．
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34
10
例9
如图，四边形ABCD 中，AB⊥AD,AD//BC,AD = 6,BC = 2AB = 4,E,F 分别在BC，AD 上，EF//AB，现将
四边形ABEF 沿EF 折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．
（1）若BE = 1，是否在折叠后的线段AD 上存在一点P，且−→
AP = λ−→
PD，使得CP// 平面ABEF？若存在，
求出λ 的值，若不存在，说明理由．
（2）求三棱锥A−CDF 的体积的最大值，并求出此时二面角E −AC −F 的余弦值．
第11 讲
统计与统计案例
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37
11
直击课堂
考纲解读
1. 统计图表与数字特征
(1) 了解分布的意义和作用, 会列频率分布表, 会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图, 理解它们各自的
特点.
(2) 理解样本数据标准差的意义和作用, 会计算数据标准差.
(3) 能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差), 并给出合理的解释.
(4) 会用样本的频率分布估计总体分布, 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征, 理解用样本
估计总体的思想.
2. 统计案例
了解下列一些常见的统计方法, 并能应用这些方法解决一些实际问题.
(1) 独立性检验
了解独立性检验(只要求2×2 列联表) 的基本思想、方法及其简单应用.
(2) 回归分析
了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.
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38
11
1
模块
1
统计图表与数字特征
知识凝炼
一、统计图表
1
频率分布直方图
（1）绘制频率分布直方图的步骤：
①计算极差：数据最大值与最小值的差；
②决定组距与组数：极差
组距= 组数；
③决定分点；
④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．
⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以频率
组距的值为纵坐标．
（2）小长方形的面积= 组距×频率
组距= 频率；所有长方形的面积之和等于1.
2
茎叶图
茎叶图的画法步骤：
①将数据分为“茎”、
“叶”两部分；
②将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线；
③将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出．
二、样本的数字特征
1
众数、中位数、平均数
这三种数字特征反映了样本的“集中趋势”．
⑴众数：在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)．
⑵中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个
数据的平均数作为中位数．
⑶平均数：样本数据的平均数x = 1
n (x1 +x2 +···+xn)．
2
极差、方差、标准差
这三种数字特征反映了样本的“离散程度”．
⑴极差：样本数据中最大值与最小值的差．
⑵方差：s2 = (x1 −¯x)2 +(x2 −¯x)2 +···+(xn −¯x)2
n
= 1
n[(x2
1 +x2
2 +···+x2
n)−n¯x2]．
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39
11
⑶标准差：s =
√
1
n
[
(x1 −x)2 +(x2 −x)2 +···+(xn −x)2]
．
一、利用统计图表比较两组数据的平均数与方差
1．平均数
⑴当样本数据较少时，可以分别算出各组数据的平均数，这种方法是最保险的，有一定的计算量．
⑵当样本数据过多，或者两组数据差别明显时，可以根据图表中的“中位数”估计、比较平均数的大
小，但这种方法只能粗略地估计，不能保证结果的准确性，只有两组数据的图表差别明显时才能直观地由
图表得到此信息．
2．方差
⑴计算各组数据的方差比较大小．
⑵根据图表数据直观分析比较，数据集中的一组离散程度低，方差较小．
二、ax+b 的平均数与方差
若数据x1,x2,··· ,xn 的平均数为x，方差为s2，则数据ax1 +b,ax2 +b,··· ,axn +b 的平均数为ax+b，
方差为a2s2．
学情分析
统计是近几年高考的一个热点，若以客观题形式出现，主要考察抽样方法、统计图表的识别及样本的数字
特征，回归分析及正态分布，一般为容易题；若以解答题形式出现，常与实际问题联系，难度多为中等或中等以
下.
精讲精练
考点1: 频率分布直方图
例1 （1）某年级的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40),
[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60 分的人数是：150，则该年级的学生人数是( )
A. 600
B. 550
C. 500
D. 450
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40
11
（2）某高校调查了320 名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中
自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30]．根
据直方图，这320 名学生中每周的自习时间不足22.5 小时的人数是( )
A. 68
B. 72
C. 76
D. 80
考点2: 茎叶图
例2 （1）若6 名男生和9 名女生身高(单位：cm) 的茎叶图如图，则男生的平均身高与女生身高的中位数分
别为( )
A. 181,166
B. 181,168
C. 180,166
D. 180,168
（2）甲、乙两位射击运动员的5 次比赛成绩(单位：环) 如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成
绩较稳定(方差较小) 的那位运动员成绩的方差为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
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41
11
考点3: 图表分析
例3 （1）已知数据x1,x2,··· ,x10,2 的平均值为2，方差为1，则数据x1,x2,··· ,x10 相对于原数据( )
A. 一样稳定
B. 变得比较稳定
C. 变得比较不稳定
D. 稳定性不可以判断
（2）某学校A、B 两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下，通过茎叶图比较
两个班数学兴趣小组成绩的平均值及方差
①A 班数学兴趣小组的平均成绩高于B 班的平均成绩
②B 班数学兴趣小组的平均成绩高于A 班的平均成绩
③A 班数学兴趣小组成绩的标准差大于B 班成绩的标准差
④A 班数学兴趣小组成绩的标准差小于B 班成绩的标准差
其中正确结论的编号为( )
A. ①④
B. ②③
C. ②④
D. ①③
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42
11
（3）如图为某市2017 年3 月21−27 日空气质量指数(AQI) 柱形图，已知空气质量指数为0−50 空气
质量属于优，51−100 空气质量属于良好，大于100 均属不同程度的污染．在这一周内，下列结论中
正确的是( )
A. 空气质量优良的概率为5
7
B. 空气质量不是良好的天数为6
C. 这周的平均空气质量为良好
D. 前三天AQI 的方差大于后四天AQI 的方差
（4）某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了5 名学生校本课程的学分，统计如下
表，s1,s2 分别表示甲，乙两班抽取的5 名学生学分的标准差，则( )
A. s1 > s2
B. s1 < s2
C. s1 = s2
D. s1,s2 大小不能确定
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43
11
2
模块
2
统计案例
知识凝炼
一、回归直线方程
将样本中的n 个数据点(xi,yi)(i = 1,2,··· ,n) 描绘在平面直角坐标系中，形成的图象称为散点图．
如果散点图中的各点都大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做
回归直线．
回归直线方程为：y = ˆa+bbx，其中bb =
n
∑
i=1
(xi −x)(yi −y)
n
∑
i=1
(xi −x)2
=
n
∑
i=1
xiyi −nxy
n
∑
i=1
x2
i −n(x)2 ，ˆa = y−ˆbx．
由此得到的直线y = ˆa+bbx 就称为回归直线，ˆa，bb 分别为a，b 的估计值．
回归直线一定过平均值点，即一定过(x,y)．
二、独立性检验
1
分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别．
2
列联表：分类变量X 和Y 的可能取值分别为{x1,x2} 和{y1,y2}．
3
独立性检验
构造随机变量K2 =
n(ad −bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，把K2 ⩾k0 解释为有
[
1−P
(
K2 ⩾k0
)]
×100% 的把握认
为“两个分类变量有关系”．
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44
11
精讲精练
考点4: 回归方程
例4 （1）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表，根据下表可得回归方程ˆy = ˆbx + a 中的
ˆb = 10.6，据此模型预报广告费用为10 万元时销售额为( )
A. 112.1 万元
B. 113.1 万元
C. 111.9 万元
D. 113.9 万元
（2）实验测得四组数对(x,y) 的值为(1,2),(2,5),(4,7),(5,10)，则y 与x 之间的回归直线方程是( )
参考公式：bb =
n
∑
i=1
(xi −¯x)(yi −¯y)
n
∑
i=1
(xi −¯x)2
, ba = ¯y−bb¯x．
A. by = 1.8x+0.6
B. by = 1.8x−0.6
C. by = 1.5x+2.5
D. by = −0.5x+7.5
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45
11
例5
有一个同学家开了一个奶茶店，他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响，从一季度中随机选取5 天，
统计出气温与热奶茶销售杯数，如表：
参考数据：42 +122 +192 +272 = 1250,4×132+12×130+19×104+27×94 = 6602．
参考公式：bb = ∑n
i=1 xiyi −n¯x¯y
∑n
i=1 x2
i −n¯x2 , ba = ¯y−bb¯x．
（1）求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程ˆy = ˆbx + ˆa(ˆb 精确到0.1)，若某天的气温为15◦C，预测
这天热奶茶的销售杯数．
（2）从表中的5 天中任取两天，求所选取两天中至少有一天热奶茶销售杯数大于130 的概率．
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11
考点5: 独立性检验
例6
某中学数学兴趣小组为调查该校学生对学校食堂的某种食品喜爱与否是否与性别有关，随机询问了
100 名性别不同的学生，得到如下的2×2 列联表：
根据以上数据，该数学兴趣小组认为喜爱该食品与性别有关的把握为( )
A. 99% 以上
B. 97.5% 以上
C. 95% 以上
D. 85% 以上
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47
11
例7
为了解学生的课外阅读时间情况，某学校随机抽取了50 人进行统计分析，把这50 人每天阅读的时间
(单位：分钟) 绘制成频数分布表，如下表所示：
若把每天阅读时间在60 分钟以上(含60 分钟) 的同学称为“阅读达人”，根据统计结果中男女生阅读达
人的数据，制作出如图所示的等高条形图．
附：参考公式K2 =
n(ad −bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n = a+b+c+d．
临界值表：
（1）根据抽样结果估计该校学生的每天平均阅读时间(同一组数据用该区间的中点值作为代表).
（2）根据已知条件完成下面的2×2 列联表，并判断是否有99% 的把握认为“阅读达人”跟性别有关．
第12 讲
概率与分布列
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49
12
直击课堂
考纲解读
1. 事件与概率
(1) 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性, 了解概率的意义, 了解频率与概率的区别.
(2) 了解两个互斥事件的概率加法公式.
2. 古典概型
(1) 理解古典概型及其概率计算公式.
(2) 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
3. 随机数与几何概型
(1) 了解随机数的意义, 能运用模拟方法估计概率.
(2) 了解几何概型的意义.
4. 分布列
(1) 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念, 了解分布列对于刻画随机现象的重要性.
(2) 理解超几何分布及其导出过程, 并能进行简单的应用.
(3) 了解条件概率和两个事件相互独立的概念, 理解n 次独立重复试验的模型及二项分布, 并能解决一些
简单的实际问题.
(4) 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念, 能计算简单离散型随机变量的均值、方差, 并能
解决一些实际问题.
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12
1
模块
1
古典概型与几何概型
知识凝炼
一、随机事件的概率
1
随机事件和确定事件
(1) 必然事件与不可能事件统称为确定事件；
(2) 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
2
频率与概率
(1) 在相同条件下重复n 次试验，观察事件A 出现的次数(频数)nA，比例fn (A) = nA
n 为事件A 出现的频率；
(2) 对于给定的随机事件A，随着试验次数的增加，fn (A) 稳定在某个常数上，这个常数记作P(A)，称为事
件A 的概率．
3
事件的关系与运算
(1) 并事件(和事件)：事件C 发生当且仅当A 或B 发生，记作A∪B 或A+B；
(2) 交事件(积事件)：事件C 发生当且仅当A 与B 同时发生，记作A∩B 或AB；
(3) 互斥事件：A∩B 为不可能事件，称A 与B 互斥，记作A∩B = ∅；
(4) 对立事件：A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，称A 与B 对立，记作A∩B = ∅且A∪B = U，事件
A 的对立事件记作A．
4
概率的基本性质
(1) 概率的范围：0 ⩽P(A) ⩽1；
(2) 必然事件概率为1，不可能事件概率为0；
(3) 概率加法公式：A 与B 互斥，则P(A∪B) = P(A)+P(B)；
(4) 对立事件的概率：P(A) = 1−P
(
A
)
．
二、古典概型与几何概型
1
基本事件
(1) 任何两个基本事件是互斥的；
(2) 任何事件(不可能事件除外) 都可以表示成基本事件的和．
2
古典概型
(1) 古典概型的特点
①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
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51
12
(2) 古典概型概率公式
P(A) = nA
n ，n 为基本事件的总数，nA 为事件A 包含的基本事件的个数．
3
几何概型
事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量成比例，这样的概率模型称为几何概型．
(1) 几何概型的特点
①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
(2) 几何概型概率公式
P(A) = µA
µΩ
，µΩ为试验的全部结果构成区域的几何度量，µA 为构成事件A 区域的几何度量．
一、古典概型概率求法
古典概型往往与实际问题紧密相关，解决此类问题的一般步骤如下：
⑴反复阅读题目，收集有效信息，理解题意，把文字叙述转化为数学语言或数学表达式．
⑵在理解题意的基础上，若基本事件数目较少，则一一列举或用树状图将事件列出，求基本事件总
数和满足要求的事件数；若基本事件数较多，则利用两个计数原理计算出基本事件总数和满足要求的事
件数；也可以考虑反面．
⑶将第二步求出的两个数代入古典概型概率公式求解．特别注意考虑反面的情况，P(A) = 1−P
(
A
)
．
二、几何概型概率求法
几何概型考查类型有线型、面型和体型，分别需要求长度之比、面积之比和体积之比，出题背景有直
接以几何图形给出和需要自己构造几何模型两种．对于已给出几何图形的，直接计算几何度量之比即可．
对于需要创建模型的，步骤如下：
⑴寻找几何区域
①根据题设引入适当的变量，变量的个数关系到几何概型的维度（一维、二维和三维）；
②利用引入的变量，把题设条件转化为变量满足的代数条件；
③根据代数条件找到对应的几何区域（类比线性规划）．
⑵创建几何模型
在数轴或平面直角坐标系（建模没有出现过三维建模，难度太大）中画出几何图形．
⑶计算概率
把样本空间和所求概率的事件所在几何图形的度量求出来，代入几何概型概率公式计算．
学情分析
概率计算在高考中的考查方式主要有两种：一是单独考查，常以客观题形式出现，主要考查古典概型、几何
概型及条件概率的计算，多为容易题；二是与随机变量的分布列结合在一起进行考查，难度为中等或中等偏易.
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12
精讲精练
考点1: 古典概型
例1 （1）某地铁站有A、B、C 三个自动检票口，甲乙两人一同进站，则他们选择同一检票口检票的概率为
( )
A. 1
9
B. 1
6
C. 1
3
D. 2
3
（2）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2
的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 = 7+23．在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，
其和等于30 的概率是( )
A. 1
12
B. 1
14
C. 1
15
D. 1
18
（3）质地均匀的正四面体表面分别印有0,1,2,3 四个数字，某同学随机的抛掷此正四面体2 次，若正四
面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．记m2 +n2 ⩽4 为事件
A，则事件A 发生的概率为( )
A. 3
8
B. 3
16
C. π
8
D. π
16
例2 （1）有5 本数学书，3 本文学书和4 本音乐书，从这三类书中随机抽取3 本，每类都有1 本的概率为
( )
A. 4
11
B. 3
11
C. 5
11
D. 6
11
（2）从分别标有1,2,··· ,9 的9 张卡片中不放回地随机抽取2 次，每次抽取1 张，则抽到的2 张卡片上
的数奇偶性不同的概率是( )
A. 5
18
B. 4
9
C. 5
9
D. 7
9
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53
12
考点2: 几何概型
例3 （1）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40 秒．若一名行人来到该路口
遇到红灯，则至少需要等待15 秒才出现绿灯的概率为( )
A. 7
10
B. 5
8
C. 3
8
D. 3
10
（2）如图是一个边长为4 的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷
400 个点，其中落入黑色部分的有225 个点，据此可估计黑色部分的面积为( )
A. 8
B. 9
C. 10
D. 12
（3）如图是一边长为8 的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切
的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2 倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑
色区域的概率为( )
A. π
8
B. π
16
C. 1−π
8
D. 1−π
16
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54
12
（4）如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分
别为直角三角形ABC 的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分
记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，
p3，则( )
A. p1 = p2
B. p1 = p3
C. p2 = p3
D. p1 = p2 + p3
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55
12
2
模块
2
概率分布列
知识凝炼
一、离散型随机变量的分布列、期望与方差
1
离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量X 可能取的值为x1，x2，···，xi，···，xn，X 取每一个值xi(i = 1，2，···，n) 的概率
P(X = xi) = pi，则称表
为随机变量X 的分布列．
性质：
(1) pi ⩾0(i = 1，2，···，n)；
(2) p1 + p2 +···+ pn = 1．
2
离散型随机变量的期望与方差
若离散型随机变量X 的分布列为
(1) 数学期望
称E (X) = x1p1 +x2p2 +···+xipi +···+xnpn 为X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平
均水平．
(2) 方差
称D(X) =
n
∑
i=1
(xi −E (X))2pi 为X 的方差，它反映了xi(i = 1，2，···，n) 相对于均值E (X) 的偏离程度，标准
差σ (X) =
√
D(X)．
3
期望与方差的性质
(1) E (c) = c(c 为常数)；
(2) E (aX +b) = aE (X)+b(a，b 为常数)；
(3) E (X1 +X2) = E (X1)+E (X2)；
(4) D(X) = E
(
X2)
−(E (X))2；
(5) D(aX +b) = a2D(X)(a，b 为常数)．
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56
12
二、两点分布与超几何分布
1
两点分布(0−1 分布)
（1）随机变量X 的分布列如下：(0 < p < 1)
则称X 服从两点分布，并称p = P(X = 1) 为成功概率，两点分布也称0−1 分布．
（2）期望与方差：E (X) = p，D(X) = p(1−p)．
2
超几何分布
（1）在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X = k} 发生的概率为
Ck
MCn−k
N−M
Cn
N
(k = 0，1，2，···，m)，其中m = min{M,n}，且n ⩽N，M ⩽N，n，M，N ∈N∗．此时称随机变量X 的分布列
为超几何分布列，称随机变量X 服从超几何分布．超几何分布的分布列如下：
（2）期望：E (X) = nM
N ．
三、二项分布
1
n 次独立重复试验的特征
①每次试验条件完全相同，有关事件的概率保持不变；
②每次试验结果互不影响．
2
二项分布
进行n 次试验，如果满足以下条件：
①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；
②每次试验“成功”的概率均为p，
“失败”的概率均为1−p；
③各次试验是相互独立的．
用X 表示这n 次试验中成功的次数，则P(X = k) = Ck
npk(1−p)n−k(k = 0，1，···，n)．
称X 服从参数为n，p 的二项分布，记作X˜B(n, p)．
3
二项分布的期望与方差
①期望：E (X) = np
②方差：D(X) = np(1−p)
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57
12
四、正态分布
1
正态曲线
函数φµ,σ (x) =
1
√
2πσ
e−(x−µ)2
2σ2 ，x ∈R 的图象称为正态密度分布曲线，简称正态曲线．µ 为正态分布的均
值，σ 为正态分布的标准差．
2
正态曲线的性质
①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交；
②曲线是单峰的，关于直线x = µ 对称；
③当x = µ 时，曲线达到最高点，函数达到峰值
1
√
2πσ
；
④曲线与x 轴之间的面积为1；
⑤当µ 一定时，曲线的形状由σ 确定．σ 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ 越小，曲线越“瘦高”，
总体分布越集中．当σ 一定时，曲线的位置由µ 确定，曲线随µ 的变化而沿x 轴平移．
3
正态分布
对于任何实数a，b(a < b)，随机变量X 满足P(a < X ⩽b) =
∫b
a φµ,σ (x)dx，称X 服从正态分布，记作
X˜N
(
µ,σ2)
，当µ = 0，σ = 1 时，正态分布称为标准正态分布．
4
3σ 原则
P(µ −σ < X ⩽µ +σ) = 0.6826，
P(µ −2σ < X ⩽µ +2σ) = 0.9544，
P(µ −3σ < X ⩽µ +3σ) = 0.9974．
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58
12
一、求离散型随机变量的分布列
1．常见类型
⑴由统计数据得到分布列；
⑵由古典概型得到分布列；
⑶由互斥事件、独立事件的概率得到分布列．
2．一般步骤
⑴确定X 的所有可能值，并明确每个值代表的意义；
⑵求出相应的概率P(X = xi) = pi（最后一个概率不要用1 减去前面所求概率之和，一定自己计
算）；
⑶写出分布列（表格形式）；
⑷根据分布列的性质检验结果．
二、超几何分布的识别与求解
1．识别
⑴理解定义，按照定义区分出超几何分布．
⑵根据随机变量的性质判断，若X 服从超几何分布，则满足以下条件：
①该试验是不放回地抽取n 次；
②随机变量X 表示抽到次品的件数（或类似事件）．
2．求分布列
⑴验证X 服从超几何分布，并确定参数N、M、n 的值；
⑵根据超几何分布概率计算公式计算每个取值的概率；
⑶用表格列出分布列．
三、利用期望与方差进行决策
1．若我们希望实际的平均水平较理想时，先求变量的期望，选取最优者；若二者期望相等或非常相近，则
需要求出二者的方差，选取方差较小者（离散程度小，数据稳定）．
2．若我们希望比较稳定时，优先考虑方差，再考虑期望是否相等或相近．
3．若没有对平均水平或稳定性作明确的要求，一般先选期望，再比较方差．也需要根据实际情况，比如：
⑴要根据两位同学近几次的成绩，决定选一位参加竞赛，A 同学成绩稳定，B 同学成绩波动较大，但
是成绩一直增长，在两位同学这几次平均成绩相近的情况下，选取B 同学较合适；
⑵两种麦种的麦苗长势，应该同时兼顾方差与期望，对方差的要求更高；
⑶对于风险类的问题，应该以方差为主．
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59
12
精讲精练
考点3: 概率分布列的计算
例4
生蚝即牡蛎(oyster) 是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很
广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为
肥美，因此生蚝成为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽
取了40 只统计质量，得到结果如表所示：
（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果
保留整数)；
（2）用频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4 个，记质量在[5,25) 间的生蚝的个数为X，求
X 的分布列及数学期望．
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60
12
例5
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降
价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：
◦C) 有关．如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300 瓶；
如果最高气温低于20，需求量为200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最
高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶) 的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶) 为
多少时，Y 的数学期望达到最大值？
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12
例6
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60 名学生，将其数学成绩(均为整数) 分成六段[40,50)，
[50,60)，···，[90,100] 后，画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并求样本数据的众数，中位数，平均数¯x 和方差s2．(同一
组中的数据用该区间的中点值作代表)；
（2）从被抽取的数学成绩是70 分以上(包括70 分) 的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率；
（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取4 个学生，设这四个学生中数学成绩为80
分以上(包括80 分) 的人数为X(以该校学生的成绩的频率估计概率)，求X 的分布列和数学期望．
第13 讲
直线与圆
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13
直击课堂
考纲解读
1. 直线与方程
(1) 在平面直角坐标系中, 结合具体图形, 确定直线位置的几何要素.
(2) 理解直线的倾斜角和斜率的概念, 掌握过两点的直线斜率的计算公式.
(3) 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
(4) 掌握确定直线位置的几何要素, 掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式), 了解斜截式与一
次函数的关系.
(5) 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
(6) 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式, 会求两条平行直线间的距离.
2. 圆与方程
(1) 掌握确定圆的几何要素, 掌握圆的标准方程与一般方程.
(2) 能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.
(3) 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
(4) 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
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13
1
模块
1
直线与圆的方程
知识凝炼
一、直线的方程
1
直线的倾斜角与斜率
⑴倾斜角与斜率的关系
直线倾斜角α 的范围为[0,π)，斜率k = tanα(α̸ = π
2 )，若α = π
2 ，则斜率不存在．
⑵求斜率的常用方法
①倾斜角α̸ = π
2 时，k = tanα；
②过两点A(x1,y1) 和B(x2,y2) 的直线斜率k = y1 −y2
x1 −x2
(x1̸ = x2)；
③方程为Ax+By+C = 0(B̸ = 0) 的直线斜率为k = −A
B．
⑶中点坐标公式
两点A(x1,y1) 和B(x2,y2) 的中点坐标为
(
x1 +x2
2
, y1 +y2
2
)
．
2
直线的方程
3
距离公式
⑴两点间距离公式
已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，则d (A,B) =
√
(x1 −x2)2 +(y1 −y2)2；
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65
13
⑵点到直线的距离公式
已知P(x0,y0)，l : Ax+By+C = 0，则d = |Ax0 +By0 +C|
√
A2 +B2
；
⑶平行直线间的距离公式
已知l1 : Ax+By+C1 = 0，l2 : Ax+By+C2 = 0，则d = |C1 −C2|
√
A2 +B2 ．
二、圆的方程
1
圆的标准方程
⑴以点C(a,b) 为圆心，r 为半径的圆的方程：(x−a)2 +(y−b)2 = r2；
⑵圆心在原点的圆的标准方程：x2 +y2 = r2．
2
圆的一般方程
⑴方程x2 +y2 +Dx+Ey+F = 0(D2 +E2 −4F > 0) 叫做圆的一般方程；
⑵圆的一般方程对应的圆心和半径x2 +y2 +Dx +Ey+F = 0⇒
(
x+ D
2
)2
+
(
x+ E
2
)2
= D2 +E2 −4F
4
，
(
−D
2 ,−E
2
)
为圆心，1
2
√
D2 +E2 −4F 为半径．
求直线方程的方法
要确定直线方程，一般需要先找到直线上两点坐标，或直线上一点坐标和直线斜率．确定直线方程的
两种方法：
1．直接法：根据已知条件，确定适当的方程形式，求出点坐标、斜率或截距，直接写出直线方程．
2．待定系数法：先设出适当形式的直线方程，根据已知条件求出待定系数，代入求出直线方程．
⑴要重点掌握直线方程的特征值（点坐标、斜率、截距），熟练掌握直线方程的几种形式，尤其是点
斜式、斜截式和一般式；
⑵求直线方程时，应根据所给条件和后续问题（求距离或联立方程组）选择适当的形式，并注意
各种形式的使用条件；
⑶选用斜截式和点斜式，先讨论斜率不存在的情况；选用截距式，先讨论截距不存在或为0 的情
况．
二、求圆的方程的方法
1
直接法：已知圆心坐标和半径直接代入圆的标准方程．
2
待定系数法：圆的方程含有三个参数，必须具备三个独立条件，才能确定圆的方程．
⑴设圆的方程(x−a)2 +(y−b)2 = r2 或x2 +y2 +Dx+Ey+F = 0；
⑵根据已知条件，建立关于a,b,r 或D,E,F 的方程组；
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13
⑶解方程组，代入得到圆的方程，检验圆的标准方程是否有增根（三元二次方程可能有增根），检验圆的
一般方程是否满足D2 +E2 −4F > 0．
3
几何性质法：结合圆的几何性质，转化为代数语言，数形结合求出圆心坐标和半径．圆心有三个重要几何
性质：
⑴圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
⑵圆心在弦的中垂线上；
⑶两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线；两圆相交时，两圆心所在直线是公共弦的中垂线．
求出圆心坐标后，再根据其他条件求出半径长即可．
学情分析
直线与圆的位置关系是高考考查的热点之一，通常涉及位置关系判断、圆的切线、直线与圆相交的弦长、公
共弦、弦中点问题等；圆的切线和弦的问题是本节的重点，也是历届高考的热点之一，从试题层次上来看，大多
为选择题、填空题，解题时应充分利用圆的性质，并注意数形结合思想的应用，作为平面解析几何的主要内容，
预测未来高考中直线与圆的位置关系仍将是考察的重点。
精讲精练
考点1: 倾斜角与斜率的计算
例1 （1）在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,−1),B(2,0)，过A 的直线交x 轴于点C(a,0)，若直线AC 的倾斜
角是直线AB 倾斜角的2 倍，则a =( )
A. 1
4
B. 3
4
C. 1
D. 4
3
（2）已知点(−1,2) 和
(√
3
3 ,0
)
在直线l : ax−y+1 = 0(a̸ = 0) 的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是
( )
A.
(
π
4 ,π
3
)
B.
(
0,π
3
)
∪
(
3π
4 ,π
)
C.
(
3π
4 , 5π
6
)
D.
(
2π
3 , 3π
4
)
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67
13
考点2: 直线的位置关系
例2 （1）过点(1,2) 且与直线y = 2x+1 垂直的直线的方程为( )
A. x+2y−3 = 0
B. 2x−y+4 = 0
C. x+2y+3 = 0
D. x+2y−5 = 0
（2）若直线l1 : (m−2)x−y−1 = 0，与直线l2 : 3x−my = 0 互相平行，则m 的值等于( )
A. 0 或−1 或3
B. 0 或3
C. 0 或−1
D. −1 或3
（3）已知三条直线2x−3y+1 = 0,4x+3y+5 = 0,mx−y−1 = 0 不能构成三角形，则实数m 的取值集合
为( )
A.
{
−4
3, 2
3
}
B.
{
4
3,−2
3
}
C.
{
−4
3, 2
3, 4
3
}
D.
{
−4
3,−2
3, 2
3
}
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13
考点3: 圆的方程问题
例3 （1）若方程x2 +y2 +ax+2ay+2a2 +a−1 = 0 表示圆，则实数a 的取值范围是( )
A. (−∞,−2)
B.
(
−2
3,0
)
C. (−2,0)
D.
(
−2, 2
3
)
（2）正确率：62%
曲线C : x2 +y2 +2ax−4ay+5a2 −4 = 0 上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )
A. (−∞,−2)
B. (−∞,−1)
C. (1,+∞)
D. (2,+∞)
（3）正确率：75%
若圆C 经过(1,0)，(3,0) 两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )
A. (x−2)2 +(y±2)2 = 3
B. (x−2)2 +
(
y±
√
3
)2 = 3
C. (x−2)2 +(y±2)2 = 4
D. (x−2)2 +
(
y±
√
3
)2 = 4
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13
2
模块
2
直线与圆综合
知识凝炼
一、直线与圆的位置关系
1
直线与圆的位置关系
2
圆的弦长公式
直线与圆相交时，圆心到直线的距离d 为弦心距，直线被圆截得的线段为弦l，则l = 2
√
r2 −d2，r 由圆的
方程求得，d 由点(圆心) 到直线的距离公式求得．
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13
3
圆的切线
过圆外一点的切线长l、点到圆心的距离d 和圆的半径r 存在勾股关系r2 +l2 = d2，则切线长l =
√
d2 −r2．
二、圆与圆的位置关系
一、直线与圆位置关系的判断
（1）根据圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断．
（2）如果是过定点的动直线与圆的位置关系，先求直线所过的定点，根据定点与圆的位置关系判断
直线与圆的位置关系．
二、过一定点圆的切线方程的求法
1．若点在圆上，根据切点与圆心求出这条半径的斜率，再根据半径和切线的垂直关系求出切线斜率，
最后用点斜式求出切线方程，化为一般式或斜截式．注意斜率为0 和斜率不存在的特殊情况．
2．若点在圆外，先讨论斜率不存在时的直线是否是切线，再设出点斜式，化为一般式，根据圆心到切
线的距离等于半径求出斜率，从而求出切线方程．
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71
13
精讲精练
考点4: 直线与圆的相切问题
例4 （1）过点P(−2,1) 作圆x2 +y2 = 5 的切线，则该切线的一般式方程是
．
（2）过点P(1,3) 与圆C：x2 +y2 −4x+3 = 0 相切的直线方程为
．
（3）已知直线l : x+my−3 = 0 与圆C : x2 +y2 = 4 相切，则m =
．
（4）已知点P 是直线l : 3x −y−2 = 0 上任意一点，过点P 引圆(x+3)2 +(y+1)2 = 1 的切线，则切线
长度的最小值为( )
A. 3
B.
√
7
C. 2
D. 1
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考点5: 直线与圆的相交问题
例5 （1）直线l 过点(−4,0) 且与圆(x+1)2 +(y−2)2 = 25 交于A、B 两点，如果|AB| = 8，那么直线l 的方
程为( )
A. 5x+12y+20 = 0
B. 5x−12y+20 = 0 或x+4 = 0
C. 5x−12y+20 = 0
D. 5x+12y+20 = 0 或x+4 = 0
（2）正确率：75%
已知直线l : y =
√
3x +m 与圆C : x2 +(y−3)2 = 6 相交于A、B 两点，若|AB| = 2
√
2，则实数m 的
值等于( )
A. −7 或−1
B. 1 或7
C. −1 或7
D. −7 或1
（3）若直线x+y = a+1 被圆(x−2)2 +(y−2)2 = 4 所截得的弦长为2
√
2，则a =( )
A. 1 或5
B. −1 或5
C. 1 或−5
D. −1 或−5
第14 讲
圆锥曲线
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75
14
直击课堂
考纲解读
1. 圆锥曲线
(1) 了解圆锥曲线的实际背景, 了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
(2) 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
(3) 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程, 知道它的简单几何性质.
(4) 了解圆锥曲线的简单应用.
(5) 理解数形结合的思想.
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14
1
模块
1
圆锥曲线的方程与基本量
知识凝炼
一、椭圆
1
标准方程：焦点在x 轴上：x2
a2 + y2
b2 = 1；焦点在y 轴上：y2
a2 + x2
b2 = 1．
2
基本量：a > b > 0，a2 −b2 = c2．
二、双曲线
1
标准方程：焦点在x 轴上：x2
a2 −y2
b2 = 1；焦点在y 轴上：y2
a2 −x2
b2 = 1．
2
基本量：a,b > 0，a2 +b2 = c2．
三、抛物线
1
标准方程：焦点在x 正半轴：y2 = 2px；焦点在x 负半轴：y2 = −2px；焦点在y 正半轴：x2 = 2py；焦点在y
负半轴：x2 = −2py．
2
基本量：p > 0．
求圆锥曲线的标准方程
1．定义法
根据三种圆锥曲线的定义，确定a2,b2 或p 的值，再结合焦点位置，直接写出圆锥曲线的方程．
2．待定系数法
根据焦点位置，设出相应形式的标准方程，然后根据已知条件列出a,b,c 的方程组，解出a2,b2，从而
求得标准方程．
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①椭圆方程还可设为Ax2 +By2 = 1（A,B > 0 且A̸ = B），双曲线方程还可设为Ax2 −By2 = 1（AB > 0）．
②共渐近线的双曲线方程：
已知渐近线y = ± n
mx（或离心率），可将双曲线设为x2
m2 −y2
n2 = λ；
与已知双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1 共渐近线，可将双曲线设为x2
a2 −y2
b2 = λ．
学情分析
圆锥曲线小题，近三年高考试题中3 年7 考，综合一点的小题侧重考查圆锥曲线与直线位置关系，多数题
目比较单一, 一般一个容易，一个稍难；圆锥曲线大题，近三年3 年3 考，每年1 题．特点：全国1、2 卷多数用椭
圆、圆作为载体，较少考双曲线和抛物线．但是对于全国3，近两年则以抛物线为载体. 抛物线计算量相对较小，
灵活性较强.
精讲精练
考点1: 椭圆的定义与标准方程
例1 （1）以F1 (−1,0)、F2 (1,0) 为焦点，且经过点M
(
1,−3
2
)
的椭圆的标准方程为
．
（2）已知椭圆的焦点F1 (−1,0),F2 (1,0),P 是椭圆上一点，且|F1F2| 是|PF1|,|PF2| 等差中项，则椭圆的
方程是( )
A. x2
16 + y2
9 = 1
B. x2
16 + y2
12 = 1
C. x2
4 + y2
3 = 1
D. x2
3 + y2
4 = 1
（3）已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别为F1,F2，点P 为椭圆在y 轴上的一个顶
点，若2b,|−−→
F1F2|,2a 成等差数列，且△PF1F2 的面积为12，则椭圆C 的方程为
．
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14
考点2: 双曲线的定义与标准方程
例2 （1）双曲线x2
4 −y2 = 1 的实轴长是
，焦点到渐近线的距离是
．
（2）已知双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的一条渐近线方程是y =
√
3x，它的一个焦点坐标为(2,0)，则
双曲线的方程为( )
A. x2
2 −y2
6 = 1
B. x2
6 −y2
2 = 1
C. x2 −y2
3 = 1
D. x2
3 −y2 = 1
（3）正确率：47%
与曲线x2
24 + y2
49 = 1 共焦点，而与曲线x2
36 −y2
64 = 1 共渐近线的双曲线方程为( )
A. y2
16 −x2
9 = 1
B. x2
16 −y2
9 = 1
C. y2
9 −x2
16 = 1
D. x2
9 −y2
16 = 1
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79
14
考点3: 抛物线的定义与标准方程
例3 （1）若点P 到点F(4,0) 的距离比它到直线x+5 = 0 的距离少1，则动点P 的轨迹方程是
．
（2）过点(1,−2) 的抛物线的标准方程是（ ）
A. y2 = 4x 或x2 = 1
2y
B. y2 = 4x
C. y2 = 4x 或x2 = −1
2y
D. x2 = −1
2y
（3）如图过抛物线y2 = 2px(p > 0) 的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC| = 2|BF|，
且|AF| = 4，则抛物线的方程为( )
A. y2 = 8x
B. y2 = 4x
C. y2 = 2x
D. y2 = x
（4）已知抛物线C : y2 = 2px(p > 0) 与直线x−
√
2y+4 = 0 相切，该抛物线的方程为
．
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80
14
2
模块
2
圆锥曲线的几何性质
知识凝炼
椭圆与双曲线的离心率
求离心率的本质就是探究a,c 之间的数量关系，知道a,b,c 中任意两者或者三者间的等式关系或不
等关系便可求解出e 的值或其范围．
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81
14
精讲精练
考点4: 离心率的计算
例4 （1）正确率：87%
已知椭圆C：x2
a2 + y2
4 = 1 的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )
A. 1
3
B. 1
2
C.
√
2
2
D. 2
√
2
3
（2）已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1,F2，以O 为圆心，F1F2 为直径的圆与椭圆
在第一象限相交于点P，且直线OP 的斜率为
√
3，则椭圆的离心率为( )
A.
√
3−1
B.
√
3−1
2
C.
√
2
2
D.
√
3
2
（3）双曲线C : x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左焦点为F，虚轴的一个端点为B，P 为双曲线C 右支上的
一点，若−→
FB = −→
BP，则双曲线C 的离心率是( )
A.
√
2
B.
√
3
C. 2
D.
√
5
（4）已知双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左右焦点分别为F1 (−c,0),F2 (c,0)，过双曲线上一点P(c,y0)
作y 轴的垂线，垂足为M，若PF1⊥MF2，则该双曲线的离心率为( )
A.
√
2
B. 2+
√
3
C.
√
2+
√
6
2
D.
√
2+
√
3
2
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82
14
考点5: 其它几何量的计算
例5 （1）设点P 为椭圆C：x2
49 + y2
24 = 1 上一点，F1、F2 分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF1F2 的重心为点
G，若|PF1| : |PF2| = 3 : 4，那么△GPF1 的面积为( )
A. 24
B. 12
C. 8
D. 6
（2）已知双曲线C：x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的离心率为
√
2，则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为( )
A.
√
2
B. 2
C. 3
√
2
2
D. 2
√
2
（3）过抛物线C : y2 = 2px(p > 0) 的焦点F 的直线l 与抛物线交于M，N 两点，若−−→
MF = 4−→
FN，则直线l
的斜率为( )
A. ±3
2
B. ±2
3
C. ±3
4
D. ±4
3
（4）过抛物线y2 = 2px(p > 0) 的焦点F 作斜率大于0 的直线l 交抛物线于A，B 两点(A 在B 的上方)，
且l 与准线交于点C，若−→
CB = 4−→
BF，则|AF|
|BF| =( )
A. 5
3
B. 5
2
C. 3
D. 2
第15 讲
几何条件的代数
转化
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85
15
直击课堂
考纲解读
1. 几何条件的代数转化
(1) 掌握圆锥曲线的弦长、面积计算公式.
(2) 了解椭圆、抛物线、双曲线等的几何性质.
(3) 掌握弦长、面积、角度、斜率等几何量的代数转化方法.
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86
15
1
模块
1
弦长与面积的代数转化
知识凝炼
一、弦长的代数转化
直线Ax+By+C = 0（斜率为k）和圆锥曲线F (x,y) = 0 交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，联立方程消元后得
到二次方程ax2 +bx+c = 0（a̸ = 0），∆> 0，
则弦长|AB| =
√
(x1 −x2)2 +(y1 −y2)2 =
√
k2 +1|x1 −x2| =
√
k2 +1·
√
∆
|a| ，
若设斜率的倒数m 为参数消去x，则弦长还可以表示为|AB| =
√
m2 +1|y1 −y2| =
√
1
k2 +1|y1 −y2|，
其中，|x1 −x2| 和|y1 −y2| 用韦达定理表示．
二、面积的代数转化
1
三角形的面积
直线BC 是设的直线，点B、C 是直线与圆锥曲线的两个交点，A 是直线外的点．
⑴常规方法：S△ABC = 1
2a·ha = 1
2absinC，a 是圆锥曲线的弦长，可用弦长公式求得；ha 是点到直线的距离，
可用点到直线距离公式求得；角可以用向量法求得．计算过程中可能需要用正、余弦定理转化或计算．
⑵坐标方法：S△ABC = 1
2 |AE|·|xC −xB|，点E 是直线x = xA 与直线BC 的交点，可联立直线方程求得，点E
在线段BC 之外公式也成立；
|xC −xB| 可以利用韦达定理表示．
⑶平行线转化
A 在与直线BC 平行的直线l 上，l 上有另一点A′，则S△ABC = S△A′BC．
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87
15
2
四边形的面积
由三角形的面积容易推出圆锥曲线内接四边形的计算公式：SABCD = 1
2 sinα |AC| · |BD|（其中α 为对角线
夹角）．
特别地，对角线互相垂直的四边形的面积为SABCD =1
2 |AC|·|BD|．
夹角可以用向量求得，弦长可以用弦长公式求得．
对于只有一组对角线的端点在圆锥曲线上的四边形的面积，可以把四边形分割成两个三角形，再分别求面
积．
在解决直线与圆锥曲线的一般套路为：设参→联立消元→列韦达定理（∆> 0）→几何条件的代数转化
→结论的参数表达→代数运算解决问题．
一、圆锥曲线问题的设参原则
圆锥曲线问题设参数时需要从以下几个角度来考虑：
1
参数类型：设点参数还是直线参数．
⑴点参数
①圆锥曲线上的一点P(x0,y0)，适用于与焦半径有关的问题，或已知圆锥曲线的弦一个端点坐标，根据P
在曲线上消参；
②两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，适用于中点弦问题，用点差法处理，如果处理一般问题，可能会因为参数过多
导致后续代数运算非常复杂；
③抛物线y2 = 2px 上点坐标可设为
(
2pt2,2pt
)
；
④椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1 上的点坐标可设为(acosθ,bsinθ)；
⑤双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1 上的点坐标可设为
(
a
cosθ ,btanθ
)
．
最后两种设参方式要求对三角函数的公式非常熟练，必要时要求会用和差化积、积化和差公式．
高三数学·目标一本复习班（全国）·秋
88
15
⑵直线参数
①若直线过定点(x0,y0)，先讨论斜率不存在的情形，再设斜率参数k，写出直线点斜式，化为斜截式联立
消元；
②若直线是一般的直线，关于直线更多的信息在题目中不明显，或不易直接看出直线的限制条件，先讨论
斜率不存在的情形，直线可以设为y = kx + b，引入两个参数，联立消元，再根据其他条件列出两个参数之间的
等量关系或不等关系；
③大多数情况下，直线过定点，且定点在坐标轴上，兼顾直线斜率能否不存在、能否取0，兼顾定点在哪一
个坐标轴上，合理选取两种直线方程y = kx+y0 和x = my+x0．
2
复杂度：兼顾联立后方程的复杂程度和处理过程的复杂程度
⑴方程的复杂度：一般来说，参数越少，直线方程越简单、直线方程中加减乘除运算越少，联立后方程形式
越简单．
⑵代数运算复杂度：这个和题目的设问方式、所求几何量有关，如果要求的几何量和能够直接用韦达定理
或点差法相距较远，需要多步转化，则后续的代数处理较复杂，设参时要尽可能减少参数，以降低联立方程的复
杂度，把精力留给代数运算．
3
参数的个数：设一个参数还是多个参数
⑴一个参数一般设直线斜率k 或其倒数m，也可以用点参数中的③④⑤，会大大降低设多个参数的计算
量和思维量．
⑵多个参数包括一般的点参数和直线y = kx+b 的双参数，虽然是多参数，但参数之间有等量关系或不等
关系，有了这些参数之间的限制条件，可以消参，一般在大量等价转化与计算之后消参，解出所求问题或参数的
取值范围．
二、弦长和面积其他形式的转化
1
两种特殊的弦
⑴直线过圆锥曲线上的定点（圆锥曲线的顶点或一般点），在设出直线参数（k 或m）后，联立方程消元，
则直线与圆锥曲线的另一交点坐标可以根据已知点的坐标和韦达定理用参数表示，再用参数表示弦长（或面
积）．
⑵直线过原点，与椭圆（或抛物线）相交的弦长，此时可以设直线参数，也可以设点参数，再表示出弦长．
2
线段比例
在求弦长、线段比例的问题时，对于共线的线段或先，可以把长度的比例转化为对应线段两端点横坐标
（或纵坐标）之差的绝对值的比例．
或者把线段比例转化为向量模长的比例，根据向量共线和线段端点的位置关系，转化为坐标之差的比例，
如−→
AF = λ−→
FB，x1 = −λx2 等，结合韦达定理求解．一定注意向量的方向．
3
面积比例
面积比转化为线段之比，或者多组线段之比的积，再求线段比例．
根据线段比例和面积比例的关系，可以简化求三角形或四边形面积的计算．
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89
15
三、弦长问题的适用范围、方法和特殊情况
1
两种适用范围
一种是直接计算弦长（特别是焦点弦）、求弦长取值范围、求弦长比值的问题；
另一种是计算三角形、四边形面积、面积比值与最值问题．无论哪一种问题，核心都是求解弦长的问题，只
是转化的区别．
2
两种解决方法
一种是通过解方程组，求出交点坐标，使用两点距离公式求出弦长，非常不建议使用，即使不含参的圆锥曲
线和直线方程也不推荐使用此法．
另一种是设而不求，联立消元，用韦达定理表示弦长．
3
三种特殊情况
一种是直线过圆锥曲线焦点的情况，可以用特殊公式、结论，特别是和抛物线相关的焦点弦结论，要求更高
的，可以使用第二定义迅速得到结果．
第二种是直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直时，一般要单独讨论，对于解答题而言，最终答案也在特殊
情况下产生．
第三种情况是所设直线与圆锥曲线相切的临界情况，或者过某一点的切线处能够迅速求出定值、定点，取
到最值或其临界值．
学情分析
从内容上看，直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的热点，涉及直线与圆锥曲关系中的求弦长、面积及
弦中点、定点、定值、参数取值范围和最值等问题.
从形式上看，以解答题为主，难度中等偏上. 从2018、2019 年的高考中可以看出，圆锥曲线解答题难度虽有
所下降，但仍不可小觑.
从能力上来看，要求考生具备数形结合、分析转化及分类讨论的能力.
在未来的高考中，极大可能性上，高考题目仍以解答题的形式出现，且综合性强，注重与一元二次方程的判
别式、韦达定理、不等式、向量等知识相结合，重在考查学生的基本数学素质和综合解决问题的分析能力、运算
能力、探索能力，具有较高的区分度，分值基本保持在12 分左右，复习时应多关注与向量、数列等知识相结合的
探索性题目.
高三数学·目标一本复习班（全国）·秋
90
15
精讲精练
考点1: 弦长问题
例1
已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1
2．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过椭圆右焦点且倾斜角为45◦的直线与椭圆交于A、B 两点，求AB 的长．
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91
15
例2
已知椭圆C1：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 过点A(0,−1) 且离心率为
√
3
2 ．
（1）求椭圆C1 的方程；
（2）设椭圆C2 : x2
4a2 + y2
4b2 = 1，直线l 交椭圆C1 于P，Q，交椭圆C2 于M，N 两点，O 为坐标原点．
(i) 当直线l 经过原点时，求|ON|
|OP| 的值；
(ii) 当直线l 经过点A 时，若|MN| =
√
7|PQ|，求直线l 的方程．
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92
15
考点2: 面积问题
例3
已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率是
√
2
2 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为
√
2，直线
y = x+m 与椭圆C 交于A，B 两点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）当实数m 变化时，求|AB| 的最大值；
（3）求△ABO 面积的最大值．
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93
15
例4
已知F1,F2 是椭圆E：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点，F2 恰好与抛物线y2 = 4x 的焦点重合，过椭
圆E 的左焦点F1 且与x 轴垂直的直线被椭圆E 截得的线段长为3．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）已知点P
(
1, 3
2
)
，过F2 斜率为k 的直线与椭圆E 交于A，B 两点，求△PAB 面积的最大值．
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94
15
2
模块
2
角度与斜率的代数转化
知识凝炼
在圆锥曲线的问题中，和角有关的几何量一般以夹角、角的三角函数值、斜率和向量的方式呈现．具
体的问题大致分为判断、证明夹角的属性（锐角、直角或钝角），证明夹角相等，求角度、斜率或三角函数
值的最值范围．
1．判断锐角、直角、钝角
⑴对于所求角的两边斜率都存在且都不为0 的情况，一般采用向量法，找到角的两边的方向向量
−→a 和−→b ，根据cos
⟨−→a ,−→b
⟩
=
−→a ·−→b
|−→a |
−→b
是正数、负数还是0 来判断夹角是锐角、钝角还是直角，要保证所
选向量是两边所在射线的方向向量．
⑵对于夹角的一边是坐标轴或者与坐标轴平行的情况，可以根据角的另一边的斜率的正负来判断
夹角是锐角、钝角还是直角．
2．证明夹角相等
这样的问题，一般两夹角有公共边，且公共边为坐标轴或与坐标轴平行，可以根据另外边的斜率相
等、相反来证明夹角相等．若两夹角的各个边都是一般状态，可以通过向量法求出两夹角的余弦值，判断
夹角是否相等．
3．其他问题与转化方法
⑴求角、角的三角函数值的最值或取值范围，可以用向量表示角的余弦值，再求范围；如果夹角在三
角形内，可以考虑正余弦定理把角转化为线段比例．
⑵在圆锥曲线的问题中，向量可以解决共线问题、线段比例问题、夹角问题和特殊四边形问题（四
边形和菱形）．在解决具体问题时，要考虑用向量法的可能性与复杂程度．
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95
15
精讲精练
考点3: 角度问题
例5
设椭圆C：x2
2 +y2 = 1 的右焦点为F，过F 的直线l 与C 交于A，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；
（2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA = ∠OMB．
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96
15
考点4: 斜率问题
例6
设F1、F2 分别是椭圆E：x2
4 + y2
b2 = 1(b > 0) 的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，且−→
PF1 ·−→
PF2 的
最大值为1．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设直线l：x = ky−1 与椭圆E 交于不同的两点A、B，且∠AOB 为锐角(O 为坐标原点)，求k 的取值
范围．
第16 讲
最值范围问题
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99
16
直击课堂
考纲解读
1. 最值范围问题
(1) 了解直线与圆锥曲线的位置关系与代数转化.
(2) 理解圆锥曲线中的不等关系并掌握建立目标函数，求最值的常用方法.
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100
16
1
模块
1
建立目标函数
知识凝炼
圆锥曲线的最值和取值范围问题实际是同一类问题，解法是统一的，往往是代数与平面几何的转化
与综合应用，求解策略如下：
1．几何法：题目中有明显的几何特征，考虑运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．
2．目标函数：求某一量σ 的最值或取值范围，可以设参数k（k 的范围根据题设条件限制，参数也可以是
其他参数或者多个参数），用参数k 表示σ，多个参数则逐渐消参，即函数σ (k)，再求该函数的值域或最
值．圆锥曲线问题中此类函数求值域常用的方法有基本不等式法（复合形式）、单调性法（单调函数四则
运算与反比例型）、复合型二次函数法、判别式法、导数法、三角换元等．
3．不等关系：要求的量为σ，根据题设条件可以用σ 表示出另一个量f (σ)，根据f (σ) 的取值范围解不
等式，进而求出σ 的取值范围．
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101
16
精讲精练
考点1: 建立目标函数
例1
若A(x1,y1),B(x2,y2) 是椭圆E：x2
9 +y2 = 1 上位于x 轴上方的两点，且x1 +x2 = 2．
（1）若y1 +y2 = 1，求线段AB 的垂直平分线的方程；
（2）求直线AB 在y 轴上截距的最小值．
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102
16
例2
已知椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为1
2，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的
面积为
√
3，过椭圆C 的右焦点的动直线l 与椭圆C 相交于A、B 两点．若线段AB 的垂直平分线与x
轴相交于点D．设弦AB 的中点为P，试求
−→
DP
−→
AB
的取值范围．
例3
已知椭圆的两个焦点为F1 (−1,0)，F2 (1,0)，且椭圆过点
(
1,
√
2
2
)
．已知斜率为k(k̸ = 0) 的直线l1 过
F2，与椭圆分别交于P，Q，直线l2 过F2，与直线l1 垂直，与椭圆分别交于M，N，求四边形PMQN 面积
的函数解析式f (k)．
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103
16
2
模块
2
建立不等关系
知识凝炼
在有关圆锥曲线的参数范围问题、最值问题、存在性等问题中，建立不等关系是解题过程的一个难点.
几种常用建立不等关系的方法如下：
1. 利用判别式
挖掘条件中隐含着的一元二次方程的根的存在性，利用判别式建立不等关系.
2. 利用曲线的几何性质
将所考虑的参数与圆锥曲线自身的范围联系起来，得到不等关系.
3. 利用已知参数的范围
寻找待求参数与已知参数的关系，利用已知参数的范围建立不等关系.
4. 利用平面几何知识
充分挖掘几何条件，利用平面几何中的有关知识建立不等关系.
5. 利用均值不等式
6. 利用点在曲线内部的相关结论
7. 数形结合
8. 利用函数的单调性
建立所考虑的参数与某个变量的函数关系，利用函数的单调性得到不等关系.
高三数学·目标一本复习班（全国）·秋
104
16
精讲精练
考点2: 建立不等关系
例4
已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为
√
3
2 ，点M (2,1) 在椭圆C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l 平行于OM，且与椭圆C 交于A，B 两个不同的点，若∠AOB 为钝角，求直线l 在y 轴上的截
距m 的取值范围．
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105
16
例5
已知F1、F2 分别是椭圆C：x2
4 +y2 = 1 的左、右焦点．
（1）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，−→
PF1 ·−→
PF2 = −5
4，求点P 的坐标；
（2）设过定点M (0,2) 的直线l 与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求
直线l 的斜率k 的取值范围．
