[讲义答案]第1讲直线型-739663c410d7_学而思高二全套_2019年秋季高二_2019秋高二秋季数学邹林强（实验班）二试_A129.学而思2019秋CMO代数班16讲邹林强等多个文件_[讲义答案]

答 案
见解析
解析
证明：如图，延长
至点
，使得
． 
则
、
、
、
四点共圆． 
 
故
 
． 
所以，
．
答 案
见解析
解析
证明：如图，在边
上截取线段
． 
 
由
，知
． 
因为
， 
模块1：
1
1
例题1
AM
K′
KM = K M
′
∠BKC = ∠BK C ⇒
′
∠BAC + ∠BK C =
′
180 ⇒
∘
A
B
K′
C
 =
KC
KB
 =
K B
′
K C
′
 =
sin∠K CB
′
sin∠K BC
′
 
sin∠MAB
sin∠MAC
=
 ⋅
AM ⋅AC
2S
 
△M AC
 =
2S
 
△M AB
AM ⋅AB
 
AC
AB
AB ⋅KC = AC ⋅KB
例题2
AB
BE = BC
△EBK≌△KBC
EK = KC
∠AEK = 180 −
∘
∠BEK = 180 −
∘
∠BKC = ∠CKD
又
， 
所以，
． 
又
与
均为等腰三角形，则
． 
于是，
． 
从而，
．
答 案
见解析
解析
证明：过
作
，交
延长线于
．由
得
， 
． 
又由
得 
． 
， 
， 
所以
是
的中点，又 
， 
因此
， 
． 
所以
． 
所以
．
答 案
见解析
解析
证明：如图，不妨考虑以
为端点的六条对角线．易知，最长的对角线为
，最短的对角线为
． 
故所求为
． 
 
注意到，
与
均为正三角形． 
故
，
． 
1
1
KD = BD −BK = BA −BE = EA
△AEK ≅△DKC ⇒∠KCD = ∠EKA
△BEK
△BAD
∠BEK = 90 −
∘
 ∠EBD =
2
1
∠BAD
AD//EK
∠KAD = ∠EKA = ∠KCD
例题3
A
AE⊥AK
BD
E
∠ABC = ∠AKD
Rt△ABC∽Rt△EKA
 =
EK
AB
 
EA
AC
∠KAD = ∠AKD
KD = DA
∠AED = 90 −
∘
∠AKD = 90 −
∘
∠KAD = ∠DAE
AD = DE
D
KE
∠AED = 90 −
∘
∠AKD = 90 −
∘
∠ABC = ∠BAC
△BAD∽△BEA
 =
EA
AD
 
EB
AB
EB =
 =
AD
AB × EA
 =
EK
2AB × EA
2AC
BK = EB −EK = 2AC −2AD = 2CD
例题4
1
A
AE
AC
AE −AC
△ADG
△BEH
∠AED = ∠AGD = 60∘
∠EAB = ∠EHB = 60∘
因此，四边形
为等腰梯形． 
如图，过点
作
的平行线与
交于点
． 
则四边形
为平行四边形． 
故
． 
又因为
为正三角形，所以，
． 
答 案
见解析
解析
易知
，故
，且为顺相似，于是
，又设
的外接圆与
射线交于
，则
，若
不
与
重合，则
，
垂直平分
，
，与题设矛盾，故
与
重
合，即
、
、
、
共圆．由于
，故
，于是
，而
，于是
．同理
，因此结论成立．
答 案
见解析
解析
证明：如图，设
，
，
是对角线
与
的交点． 
则由
，得
． 
 
又
，则
． 
因为
为等腰三角形，所以，
． 
从而，
． 
故
． 
于是，
为等腰三角形，且
．因此，点
与
重合． 
由于
，
，则
． 
于是，
，
． 
1
1
ABDE
2
B
DE
AE
T
TEDB
AE −AC = AE −BE = AE −TE = AT
△ABT
AE −AC = AT = AB
例题5
∠QAP = ∠DAC
△QAP∽△DAC
△AQD∽△APC
△BOC
AO
P ′
∠OBC = ∠OP C =
′
∠OP B =
′
∠OCB
P
P ′
△PP B≌△PP C
′
′
AP
BC
AB = AC
P
P ′
O
B
P
C
∠APC = ∠OBC = 90 −
∘
∠A
∠ADO = 90 −
∘
∠A
QD⊥AC
PR⊥AC
QD//PR
RD//PQ
例题6
BC = a
AD = BD = CD = b
K
 1
AC
BD
AD//BC
∠ADC = 180 −
∘
72 =
∘
108∘
AD = DC
eAD = ∠ACD =
 180 −∠ADC =
2
1 (
∘
)
36∘
△BCD
∠BDC = 180 −
∘
2∠BCD = 36∘
∠ADB = ∠ADC −∠BDC = 72∘
∠AK
 D =
1
180 −
∘
∠CAD −∠ADB = 180 −
∘
36 −
∘
72 =
∘
72∘
△AK
 D
1
AK
 =
1
AD
K
 1
K
AK = AD = DB = DC
∠KAD = ∠BDC
△AKD ≅△DBC
KD = BC = a
BK = b −a
因为
，所以，
． 
整理后得
． 
过点
作
的平行线，与直线
交于点
．设直线
与
交于点
． 
由
，得
． 
因为
，所以，
．于是，
． 
又因为
为
的中点，所以，
．于是，
． 
结合
，有 
．
答 案
见解析
解析
证明：如图，设
与
交于点
． 
 
由
，
有 
 
 
故
． 
易知，
平分
．故平行四边形
为菱形． 
又
，故
． 
因为
，
， 
所以，
． 
同理，
． 
所以，
．
答 案
见解析
解析
1
1
△BKC∽△DKA
 =
AD
BC
 ⇒
KD
BK
 =
b
a
 
a
b −a
b −
2
ab −a =
2
0
C
BD
AD
F
AM
CF
L
△AKN∽△ACL
 =
KN
CL
 
AK
AC
 =
KA
KC
 =
AD
BC
 b
a
 =
AK
AC
 
b
a + b
KN =
 
a + b
CL ⋅b
M
CD
CL = DN
a −DN = KN =
 
a + b
DN ⋅b
b −
2
ab −a =
2
0
DN =
 =
2b + a
a a + b
(
)
 =
2b + a
a + ab + 2 b −ab −a
2
( 2
2)
 =
2b + a
b −a
2b + a
(
) (
)
b −a = BK
例题7
PU
RS
D
∠PSR = 2∠RSU
∠SPU = 2∠UPR
∠PSD + ∠SPD = 2 ∠RSU + ∠UPR
(
)
= 2∠PDS = 180 −
∘
∠PDS
∠PDS = 60∘
DE
∠PDS
DFEG
∠PDS = 60∘
DF = FE = EG = GD = FG
∠KPF =
 ∠SPU =
2
1
∠EPF
∠KFP = ∠DFG = 60 =
∘
∠EFP
△KFP ≅△EFP ⇒KF = EF = FG
GL = GE = FG
KF = FG = GL
例题8
证明：设
，
，
，
． 
对
、
分别应用余弦定理得
， 
． 
用、、表示
，得 
 
．① 
记三角形的面积为． 
注意到，
，
，
， 
可用两种不同的方法计算
，得
．② 
由式①②得
．
答 案
见解析
解析
如图． 
 
因为
，所以 
． 
故
． 
令
．则 
 
． 
于是，
．因此，
． 
同理，
，
． 
1
a = BC
b = AC
c = AB
p =
 
2
a + b + c
△AMN
△ABC
MN
=
2
c −a
+
(
)2
b −a
−
(
)2
2 c −a
b −a cos ∠BAC
(
) (
)
cos ∠BAC =
 
2bc
b + c −a
2
2
2
a
b
c
 
BC2
MN 2
 =
BC2
MN 2
 
abc
a + b + c + 3abc −ab −a b −bc −b c −ac −a c
3
3
3
2
2
2
2
2
2
=
 =
abc
abc a + b −c
b + c −a
c + a −b
(
) (
) (
)
1 −
 
abc
8 p −a
p −c
(
) (
)
S
S = rp
S =
 
4R
abc
S =
 
p p −a
p −b
p −c
(
) (
) (
)
Sh2
 =
4R
r
 
abc
p −a
p −b
p −c
(
) (
) (
)
 =
BC
MN
 
1 −
 
R
2r
例题9
S
 +
△ABD
S
 =
△ACD
S
 =
△ABC
 bcsinA
2
1
d(b + c) sin
 =
2
A
bcsinA = 2bcsin
 ⋅
2
A
cos
 2
A
d =
 
b + c
2bccos
 2
A
p =
 
2
a + b + c
2cos
 =
2
2
A
1 + cos A =
 =
2bc
2bc + b + c −a
2
2
2
 
2bc
b + c
−a
(
)2
2
=
 =
2bc
b + c + a
b + c −a
(
) (
)
 
bc
2p p −a
(
)
cos
 =
2
A
 
 
bc
p p −a
(
)
d =
 
b + c
2
 ⋅
 
bc
p p −a
(
)
e =
 
a + c
2
 ⋅
 
ac
p p −b
(
)
f =
 
a + b
 ⋅
 
ab
p p −c
(
)
故
 
．
答 案
见解析
解析
证明：首先证明两个引理． 
引理：对于任意一个直角三角形，若、为直角边，为斜边， 
则其内切圆半径
． 
引理是证明：如图，在
中，过内心作
于点
，
于点
．易 
知
． 
 
又
，因此，四边形
为正方形， 
所以，
． 
引理：设
是正
内任意一点，作
与点
，
于点
，
于
点
． 
则
． 
引理的证明：如图，过
的外心
向三边作垂线，垂足分别为
、
、
． 
 
则
 
设
，且设直线
与
所夹角为． 
则易知直线
与
的夹角为
，
与
的夹角为
． 
可得
 
 
． 
故
． 
回到原题． 
应用引理易知 
，
，
， 
1
def =
 =
a + b
b + c
c + a
(
) (
) (
)
8abc
 
p
p −a
p −b
p −c
3 (
) (
) (
)
 
a + b
b + c
c + a
(
) (
) (
)
8abc ⋅pS
 
△ABC
=
 
a + b
b + c
c + a
(
) (
) (
)
4abc(a + b + c)S
 
△ABC
例题10
1
a
b
c
r =
 
2
a + b −c
1
1
Rt△ABC
I
IE⊥AB
E
ID⊥AC
D
AE =
 
2
a + b −c
∠AEI = ∠ADI = ∠EAD = 90∘
AEID
r = ID =
 
2
a + b −c
2
P
△ABC
PA ⊥AB
′
A′
PB ⊥BC
′
B′
PC ⊥AC
′
C′
AA +
′
BB +
′
CC =
′
A B +
′
B C +
′
C A
′
2
2
△ABC
O
A′′
B′′
C′′
AA +
′
BB +
′
CC −
′
A B −
′
B C −
′
C A =
′
2A A +
′
′′
2B B +
′
′′
2C C
′
′′
OP = l
OP
AB
θ
OP
AC
60 −
∘
θ
OP
BC
60 +
∘
θ
AA +
′
BB +
′
CC −
′
A B −
′
B C −
′
C A
′
= −2l cos θ + 2l cos 60 −θ +
(
∘
)
2l cos 60 + θ
(
∘
)
= 2l cos 60 −θ + cos 60 + θ −cos θ =
[
(
∘
)
(
∘
)
]
0
AA +
′
BB +
′
CC =
′
A B +
′
B C +
′
C A
′
1
r
 =
1
 
2
AC + C P −AP
′
′
r
 =
2
 
2
BA + A P −BP
′
′
r
 =
3
 
2
CB + PB −PC
′
′
，
，
． 
故
．
r
 =
4
 
2
AA + A P −AP
′
′
r
 =
5
 
2
BB + B P −PB
′
′
r
 =
6
 
2
CC + C P −CP
′
′
r
 +
1
r
 +
2
r
 −
3
r
 −
4
r
 −
5
r
 =
6
 =
2
A B + B C + C A −AA′ −BB −CC′
′
′
′
′
0