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琴生不等式
44
高中/ 数学/ CMO 代数班
精讲精炼
【例1】
已知a，b，c 为正实数，且a4 +b4 +c4 = 3．证明：1
4−ab +
1
4−bc +
1
4−ca ⩽1．
【例2】
x，y，z ∈[0,1]，求证：
1
√
1+x2 +
1
√
1+y2 +
1
√
1+x2 −2
1
√1+xyz ⩽1．
45
第7 讲
琴生不等式
【例3】
设实数a1，a2，···，an ∈
(
1
2,1
]
，证明：
a1a2 ···an
(a1 +a2 +···+an)n ⩾(1−a1)(1−a2)···(1−an)
(n−a1 −a2 −···−an)n
．
【例4】
设a，b，c，d > 0，且a+b+c+d = 4，证明：
a
b2 +b +
b
c2 +c +
c
d2 +d +
d
a2 +a ⩾
8
(a+c)(b+d)．
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例5】
设实数x1，x2，···，x2005 ∈[−1,1]，求下列表达式的最小值
P = x1x2 +x2x3 +···+x2004x2005 +x2005x1
【例6】
给定正实数x1，x2，···，xn ∈[a,b]，求下列表达式的最大值
(x1 −x2)2 +(x1 −x3)2 +···+(x1 −xn)2 +(x2 −x3)2 +···+(xn−1 −xn)2．
47
第7 讲
琴生不等式
【例7】
假设f (x) 是定义在[a,b] ∈R 上的实的凸函数，实数x1，x2，···，xn ∈[a,b] 且满足x1 + x2 + ··· + xn = s = 常数
tant (na ⩽s ⩽nb)，考察下列表达式F = f (x1)+ f (x2)+···+ f (xn)，则F 达到最大值，当且仅当序列(x1,x2,··· ,xn)
中至少有n−1 个元素等于a 或b．
【例8】
设实数x1，x2，···，xn ∈[−1,1]，且满足x3
1 +x3
2 +···+x3
n = 0，求表达式x1 +x2 +···+xn 的最大值．
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例9】
Karamata 不等式：f ′′ ⩾0，a1 ⩾··· ⩾an，b1 ⩾··· ⩾bn，Ai = a1 +···+ai，Bi = b1 +···+bi，Ai ⩾Bi，An = Bn．则
f (a1)+···+ f (an) ⩾f (b1)+···+ f (bn)．
【例10】
设a1 ⩾··· ⩾an > 0，b1 ⩾··· ⩾bn > 0 满足
k
∏
i=1
ai ⩽
k
∏
i=1
bi，k = 1,··· ,n
求证：
n
∏
k=1
(1+ak) ⩽
n
∏
k=1
(1+bk)．
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第7 讲
琴生不等式
【例11】
Popoviciu 不等式：对于下凸函数，f (x1) + ··· + f (xn) + n(n−2) f
(
∑xi
n
)
⩾(n−1)[f (b1)+···+ f (bn)]，其中
bi = (−xi +∑x j)
(n−1)
．
【例12】
ai > 0，且满足a1a2 ···an = 1，求证
n
∑
i=1
1
n−1+
√
(n−1)2 +4nai
⩽1
2．
