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赫尔德不等式
2
高中/ 数学/ CMO 代数班
精讲精炼
【例1】
ai，bi (1 ⩽i ⩽n) 是2n 个正实数，α > 0，β > 0，α +β = 1，则
n
∑
i=1
aα
i bβ
i ⩽
( n
∑
i=1
ai
)α(
n
∑
j=1
bj
)β
．
【例2】
加权Holder 设数aαi (1 ⩽α ⩽m,1 ⩽i ⩽n)，λβ (1 ⩽β ⩽m) 都是正实数，已知
m
∑
β=1
λβ = 1，那么，有
n
∑
j=1
aλ1
1 jaλ2
2 j ···aλm
mj ⩽
(
n
∑
j=1
a1 j
)λ1(
n
∑
j=1
a2 j
)λ2
···
(
n
∑
j=1
amj
)λm
．
3
第8 讲
赫尔德不等式
【例3】
(Minkowski 不等式) 设a1k，a2k，···，αmk (1 ⩽k ⩽n) 全是正实数，p > 1，则
[ n
∑
k=1
(a1k +a2k +···+αmk)p
] 1
p ⩽
( n
∑
k=1
ap
1k
) 1
p +
( n
∑
k=1
ap
2k
) 1
p +···+
( n
∑
k=1
ap
mk
) 1
p ．
【例4】
(x+y+z)
(
1
√
x2 +xy+y2 +
1
√
y2 +yz+z2 +
1
√
z2 +zx+x2
)
⩾4+ 2
√
3．
4
高中/ 数学/ CMO 代数班
【例5】
已知a1，a2，a3，···，an 是n 个正实数，a 和b 是正实数，满足a1a2 ···an = an，求证：(a1 +b)(a2 +b)···(an +b) ⩾
(a+b)n．
【例6】
设a1，a2，···，an 属于正实数，a1 +a2 +···+an = 1，求证：
(
1+ 1
a2
1
)(
1+ 1
a2
2
)
···
(
1+ 1
a2
n
)
⩾
(
1+n2)n．
5
第8 讲
赫尔德不等式
【例7】
a，b，c，d > 0，abcd = 1，(a+b)(b+c)(c+d)(d +a) ⩾(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)．
【例8】
求证：n 为正整数，1
(n+1) +
1
(n+2) +···+
1
(3n+1) < 9
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例9】
求最小的常数c，使得不等式√x1 +···+√xn ⩽c√x1 +···+xn 对任意n，且x1 +···+xi ⩽xi+1 (i ⩽n−1) 都成立．
【例10】
设x，y，z 是三个正实数，且满足x+y+z = 3，求下列表达式的最小值．
x4 +2y4 +3z4
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第8 讲
赫尔德不等式
【例11】
假设正整数n ⩾2，且n 个正实数x1，x2，···，xn 满足条件
(x1 +x2 +···+xn)
(
1
x1
+ 1
x2
+···+ 1
xn
)
⩽
(
n+
√
10−3
)2
证明：对于每一个三元组(xi,x j,xk)(1 ⩽i < j < k ⩽n,i, j,k ∈N)，可以作为某个三角形的三边长．
