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多元不等式
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高中/ 数学/ CMO 代数班
精讲精炼
【例1】
如果正数M 与数组
a11，a12，···，a1n
a21，a22，···，a2n
an1，an2，···，ann
使得对任意x1，x2，···，xn ∈{−1,1} 有
n
∑
k=1
|ak1x1 +ak2x2 +···+aknxn| ⩽M
求证：|a11|+|a22|+···+|ann| ⩽M．
【例2】
求证：对任意a1，a2，···，an ∈[0,2]，n ⩾2，有
n
∑
i,j=1
ai −aj
⩽n2．
并确定对于什么样的a1，a2，···，an 上式中的等号成立．
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第12 讲
多元不等式
【例3】
对任意正数a1，a2，···，an，记an+1 = a1，问不等式
n
∑
i=1
(
ai
ai+1
)n
⩾
n
∑
i=1
ai+1
ai
是否成立？
【例4】
对于任意正数ak，bk，k = 1，2，···，n，求证：
n
∑
k=1
akbk
ak +bk
⩽
AB
A+B．其中A =
n
∑
k=1
ak，B =
n
∑
k=1
bk．
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例5】
设n ∈N，x0 = 0，xi > 0，i = 1，2，···，n，且
n
∑
i=1
xi = 1．
求证：1 ⩽
n
∑
i=1
xi
√1+x0 +x1 +···+xi−1 ·√xi +xi+1 +···+xn
< π
2 ．
【例6】
设a1，a2，···，an 是正实数，且满足a1 +a2 +···+an < 1．
证明：
a1a2 ···an [1−(a1 +a2 +···+an)]
(a1 +a2 +···+an)(1−a1)(1−a2)···(1−an) ⩽
1
nn+1 ．
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第12 讲
多元不等式
【例7】
若ai，bi > 0，aibi = c2
i +d2
i (i = 1,2,··· ,n)，则
( n
∑
i=1
ai
)( n
∑
i=1
bi
)
⩾
( n
∑
i=1
ci
)2
+
( n
∑
i=1
di
)2
【例8】
设x1，x2，···，xn 与a1，a2，···，an 是满足条件：
(1)
n
∑
i=1
xi = 0；
(2)
n
∑
i=1
|xi| = 1；
(3)a1 ⩾a2 ⩾··· ⩾an，a1 > an
的任意两组实数，对于任意的n ⩾2，试求使不等式
n
∑
i=1
aixi
⩽A(a1 −an) 恒成立的A 的取值范围．
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例9】
对任意实数a1，a2，···，an 都有，
(
a2
1 +n−1
)(
a2
2 +n−1
)
···
(
a2
n +n−1
)
⩾nn−2(a1 +a2 +···+an)2．
【例10】
设x1，x2，···，xn 是n 个非负实数，m = min{x1,x2,··· ,xn} 数列{an} 是首项为1，公差为d (d ∈[0,2]) 的等差数列，
证明：m
n
∑
i=1
aixi ⩽1+an
2n
( n
∑
i=1
xi
)2
．
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第12 讲
多元不等式
【例11】
给定两个正整数n ⩾2 和T ⩾2，求所有正整数a，使得对任意正数a1,a2,a3,··· ,an，都有
n
∑
k=1
ak + a2
4
Sk
< T 2
n
∑
k=1
1
ak
，
其中Sk = a1 +a2 +···+ak．
