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代数综合2
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高中/ 数学/ CMO 代数班
精讲精炼
【例1】
设m，n 为正整数，且m < n，x1，x2，···，xn 为实数．记：d = 1
m
( m
∑
i=1
xi
)
−1
n
( n
∑
i=1
xi
)
，证明：
n
∑
i=1
x2
i ⩾1
n
( n
∑
i=1
xi
)2
+ mnd2
n−m．
【例2】
给定整数n ⩾2，实数x1，x2，···，xn 满足
x1 +x2 +···+xn = 0
x2
1 +x2
2 +···+x2
n = n2 −n
．试求x3
1 +x3
2 +···+x3
n 的最大可能值．
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第15 讲
代数综合2
【例3】
已知x，y，z > 0，记A(x,y,z) = max
{
2x, 3
y
}
+max
{
3y, 3
2z
}
+max
{
3z
2 , 2
x
}
．求A(x,y,z) 的最小值．
【例4】
设n(n ⩾3) 为正整数，证明：对于任意不全相同的n 个实数对(x1,y1)，(x2,y2)，···，(xn,yn)，有：
n
∑
i=1
(xiyi+1 −xi+1yi)
⩽
n
∑
i=1
(
xi −
n
∑
j=1
xj
n
)2
+
(
yi −
n
∑
j=1
yj
n
)2
．
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例5】
实数a1，a2，···，a2017 满足a1 = a2017，且|ai +ai+2 −2ai+1| ⩽1，i = 1，2，···，2015．
记M =
max
1⩽i<i⩽2017
ai −aj
．求M 的最大值．
【例6】
设n、k 是正整数，n > k．给定实数a1，a2，···，an ∈(k −1,k)．设正实数x1，x2，···，xn 满足对{1,2,··· ,n} 的任意k
元子集I，都有∑
i∈I
xi ⩽∑
i∈I
ai．求x1x2 ···xn 的最大值．
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第15 讲
代数综合2
【例7】
设a1，a2，···，an 是n 个非负实数，记Sk =
k
∑
i=1
ai，1 ⩽k ⩽n．证明：
n
∑
i=1
(
aiSi
n
∑
j=i
a2
j
)
⩽
n
∑
i=1
(aiSi)2．
【例8】
设实数x > 1，n 是正整数．证明：
n
∑
k=1
{kx}
[kx] <
n
∑
k=1
1
2k −1．这里[kx] 是kx 的整数部分，{kx} 是kx 的小数部分．
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例9】
设正整数n ⩾2，实数a1，a2，···，an 满足
n
∑
i=1
|ai|+
n
∑
i=1
ai
= 1，求
n
∑
i=1
a2
i 的最小值和最大值．
【例10】
已知正数a1，a2，···，an 的和为n(n ⩾3)，并记s = a2
1 +a2
2 +···+a2
n，证明：
n
∑
i=1
1
n−1+(n−2)
(
s−a2
i
) ⩽
n
(n−1)2 ．
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第15 讲
代数综合2
【例11】
设A = {x+iy||x| ⩽1,|y| ⩽1,x,y ∈R}，z1，z2，···，z6 均属于A 且满足z1 +z2 +···+z6 = 0．证明：
存在1 ⩽i < j < k ⩽6，使得zi +zj +zk ∈A．
