[讲义答案]第2讲点共线线共点-9178bffcdf9c_学而思高二全套_2019年秋季高二_2019秋高二秋季数学邹林强（实验班）二试_A129.学而思2019秋CMO代数班16讲邹林强等多个文件_[讲义答案]

答 案
见解析
解析
证明：如图，连接
、
、
、
、
． 
 
因为
为
的垂心，所以 
． 
又
为边
的中点，则四边形
为平行四边形． 
故
． 
于是，
为
外接圆的直径． 
所以，
为
和
的对称中心，
与
关于
对称，且
为
的中点．
答 案
见解析
解析
证明：如图，由线段
为
与
的公共弦知
． 
 
又
，故点
在直线
上． 
由于
、
分别为
、
的外心，则 
． 
模块1：点共
：点共线
1
1
例题1
HB
HC
A
 B
0
A
 C
0
A
 A
0
H
△ABC
∠BHC = ∠180 −
∘
∠BAC = ∠BA
 C
0
A1
BC
BHCA
 0
∠ACA
 =
0
90∘
AA0
△ABC
O
△ABC
△A
 B
 C
 
0
0
0
H
 0
H
O
O
HH0
例题2
AC
 1
⊙O
⊙O
 2
OO
 ⊥AC
 
2
1
OO
 ⊥AO
 
2
1
O
 1
AC
 1
O
O
 1
△ABC
△AB
 C
1
∠OC
 O
 =
1
1
∠OC
 A =
1
∠C
 AO =
1
∠O
 AO =
1
∠OCO
 1
所以，
、
、
、
四点共圆． 
由
，
，有 
，
． 
又
 
， 
故
． 
而
 
 
， 
因此，
． 
所以，
、
、
、
、
五点共圆，记此圆为圆． 
取边
上的一点
，满足
． 
则
． 
故点
也在圆上． 
由于
，则点
在
的外部． 
又因为点
、
、
在边
的中垂线上，且
和
与
不同， 
所以，由直线与圆相交最多有两个交点，知点
与
重合． 
从而，点
也在直线
上．
答 案
见解析
解析
设
、
、
的中点分别为
、
、
．则
，且直线
过点
；
，
且直线
过点
；
，且直线
过点
． 
由
，则
是
的角平分线． 
同理，
、
分别是
、
的角平分线，且
、
、
交于
的内心
． 
在
和
中应用笛沙格定理，得其对应边
与
、
与
、
与
的交点
、
、
三点共线．
答 案
见解析
解析
证明：若
，则结论是平凡的． 
不失一般性，假设
． 
如图，设边
的中点为
，
为圆
的圆心，
的外接圆为圆
． 
1
1
O
O
 1
C
 1
C
OA = OC
 1
O
 A =
2
O
 C
 
2
1
△AOO
 ≅
2
△C
 OO
 
1
2
∠C
 O
 O =
1
2
 ∠C
 O
 A =
2
1
1
2
∠C
 B
 A
1
2
∠B
 AC
 =
2
1
 180 −∠AO
 B
 =
2
1 (
∘
1
1)
90 −
∘
∠ACB
 =
1
90 −
∘
∠ABC −∠BCB
 1
= 90 −
∘
∠ACB −∠BAC = ∠CBA −90∘
∠AB
 C
 =
2
1
180 −
∘
∠B
 AC
 −
2
1
∠B
 C
 A =
2
1
180 +
∘
∠BAC −∠CBA
∠C
 O
 O =
1
1
∠CO
 O +
1
∠C
 O
 C =
1
1
∠CC
 O +
1
∠C
 OC
1
=
 180 −∠C
 OC +
2
1 (
∘
1
)
∠C
 OC =
1
90 +
∘
∠C
 AC
1
=90 +
∘
∠BAC −∠C
 AB
 =
1
2
180 +
∘
∠BAC −∠CBA
∠C
 O
 O =
1
1
∠C
 O
 O
1
2
O
O
 2
O
 1
C
 1
C
Γ
AC
O
 2
′
OO
 ⊥AC
 
2
′
1
∠O
 OO
 =
2
′
1
∠O
 AO
 =
2
′
1
∠O
 CO
 
2
′
1
O
 2
′
Γ
∠ABC > 90∘
O
△ABC
O
O
 2
O
 2
′
AC
 1
O
 2
O
 2
′
O
O
 2
O
 2
′
O
 2
AC
例题3
DF
FE
ED
P
Q
R
PQ//DE
PQ
N
RQ//DF
RQ
M
PR//EF
PR
L
AE = AF
AQ
∠CAB
BP
CR
∠ABC
∠BCA
AQ
BP
CR
△ABC
I
△ABC
△QPR
PR
BC
RQ
CA
QP
AB
L
M
N
例题4
AB = AC
AB < AC
BC
A
 0
O
Γ′
△AB
 C
 
0
0
Γ
 1
′
 
因为
，所以，圆
与
切于点
． 
设圆
与
、圆
与的根轴分别为、． 
由于圆
与的根轴为
，则直线、、
交于点
，且直线、分别为圆
与
、圆
与的公切线． 
设点
在
上的投影为
． 
由
，知
、
、
、
、
五点共圆． 
由于点
关于
、
的对称点分别为
、
，则 
． 
于是，
、
、
三点共线(记为)． 
因为
为
、
的位似中心，
和
为对应高线，
和
为对应点，所以，
、
、
三点共线． 
从而，点
在直线上．
答 案
见解析
解析
证明：如图，设
的内心为． 
 
则
 
 
． 
从而，
、
、、
四点共圆． 
故
． 
同理，
． 
设
的外接圆与直线
交于点
（易知该交点不可能在边
的延长线上）． 
则
． 
故、
、
、
也四点共圆． 
1
B
 C
 //BC
0
0
Γ′
Γ
 1
′
A
Γ′
Γ1
′
Γ′
Γ
a
x
Γ1
′
Γ
B
 C
 
0
0
a
x
B
 C
 
0
0
W
a
x
Γ′
Γ
 1
′
Γ′
Γ
A0
B
 C
 
0
0
Q
∠WAO = ∠WQO = ∠WXO = 90∘
A
W
X
O
Q
A
B
 C
 
0
0
OW
D
X
∠WQD = ∠AQW = ∠AXW = ∠WAX = ∠WQX
Q
D
X
l
G
△ABC
△A
 B
 C
 
0
0
0
AD
A
 Q
0
D
Q
D
G
Q
G
l
例题5
△ABC
I
∠B
 IC
 =
1
1
∠BIC = 180 −
∘
∠IBC −∠ICB
=180 −
∘
 =
2
∠ABC + ∠ACB
180 −
∘
60∘
=120 =180 −
∘
∘
∠B
 AC
 
1
1
A
B
 1
I
C
 1
∠AC
 B
 =
1
1
∠AIB
 =
1
∠ABI + ∠BAI =
 
2
∠A + ∠B
∠AB
 C
 =
1
1
 
2
∠A + ∠C
△BC
 I
1
BC
K
BC
∠IKC = 180 −
∘
∠BKI = ∠BC
 I =
1
180 −
∘
∠AC
 I =
1
∠AB
 I =
1
180 −
∘
∠IB
 C
1
I
B
 1
C
K
由
、
、、
、
、
、、
和、
、
、
分别四点共圆，知 
． 
从而，
． 
这表明，这两个三角形关于直线
对称，顶点
与
亦关于
对称． 
因为点
在边
上，所以，题中结论成立．
答 案
见解析
解析
证明：如图，设
、
的延长线交于点
． 
 
接下来证明：直线
与
重合． 
注意到，
． 
则
、
、
、
四点共圆．于是，
． 
又
，从而，
、
、
、
四点共圆． 
于是，
．所以，
． 
因此，
与
重合且
、
、
三线共点． 
由
，知
、
、
、四点共圆．从而，
． 
因为
、
、
、
四点共圆，所以，
． 
因此，
，即
．
答 案
见解析
解析
证明：如图，注意到，
，
， 
所以，
．故
． 
 
模块2：线
：线共点
共点
1
1
A
B
 1
I
C
 1
B
C
 1
I
K
I
B
 1
C
K
∠KC
 B
 =
1
1
∠KC
 I +
1
∠IC
 B
 =
1
1
∠KBI + ∠IAB
 =
1
 =
2
∠A + ∠B
∠AC
 B
 
1
1
△AB
 C
 ≅
1
1
△KB
 C
 
1
1
B
 C
 
1
1
A
K
B
 C
 
1
1
K
BC
例题6
QR
AD
E
PE
PS
∠ABQ = 135 −
∘
∠BAC = ∠ACP
B
P
Q
C
∠APQ = ∠ACB
∠AEQ = 90 −
∘
∠EAC = ∠ACB
A
P
E
Q
∠APE = 180 −
∘
∠AQE = 90∘
PE⊥AB
PE
PS
PS
AD
QR
∠BQE=90 −
∘
45 =∠CPE
∘
P
Q
R
S
∠QPR = ∠QSR
B
P
Q
C
∠QPR = ∠QBC
∠QBC = ∠QSR
SR//BC
例题7
∠BY X = ∠ZAD
∠XBY = ∠ZDA
△XBY ∽△ZDA
 =
BY
BX
 
DA
DZ
设
、
分别为对角线
与线段
、
的交点． 
因为
为
和
的角平分线， 
所以
，
． 
故
或
①， 
设线段
与对角线
交于点
，则
② ， 
如图，设线段
与对角线
交于点
，则
③
， 
由式①②③得
，即点
与
重合． 
因此，
、
、
三线共点． 
答 案
见解析
解析
证明：记这六个切点分别为
、
、
、
、
、
(如图)． 
 
设
、
、
两两交于点
、
、
．连接
、
、
． 
由角元塞瓦定理得
．① 
又
，则
． 
故式①为
 
同理，
，
． 
以上三式相乘并由 
， 
， 
， 
得
． 
由角元塞瓦定理的逆定理，知
、
、
三线共点，即、、三线共点．
1
K
L
BD
XY
AZ
BD
∠ABC
∠ADZ
 =
BY
BX
 
KY
XK
 =
DA
DZ
 
LA
ZL
 =
KY
XK
 
LA
ZL
 =
ZL
XK
 
LA
KY
AY
BD
M
 1
△KXM
 ∽△LAM
 ⇒
2
1
 =
LA
KY
 
LM
 1
KM
 1
2
XZ
BD
M
 2
△KXM
 ∽△LZM
 ⇒
2
2
 =
ZL
XK
 
LM
 2
KM
 2
 =
LM
 1
KM
 1
 
LM
 2
KM
 2
M
 1
M
 2
XZ
AY
BD
例题8
B
 1
B
 2
B
 3
B
 4
B
 5
B
 6
B
 B
 
1
2
B
 B
 
3
4
B
 B
 
5
6
P
Q
R
B
 B
 
1
6
B
 B
 
4
5
B
 B
 
3
3
 ⋅
sin∠A
 PB
 
6
6
sin∠B
 PA
 
1
5
 ⋅
sin∠A
 B
 B
 
6
6
1
sin∠PB
 A
 
6
6
 =
sin∠A
 B
 P
6
1
sin∠B
 B
 A
 
6
1
6
1
A
 B
 =
6
6
A
 B
 
6
1
∠A
 B
 B
 =
6
6
1
∠A
 B
 B
 
6
1
6
 ⋅
sin∠A
 PB
 
6
6
sin∠B
 PA
 
1
6
 =
sin∠A
 B
 P
6
1
sin∠PB
 A
 
6
6
1
 ⋅
sin∠A
 RB
 
4
4
sin∠B
 RA
 
5
4
 =
sin∠A
 B
 R
4
5
sin∠RB
 A
 
4
4
1
 ⋅
sin∠A
 QB
 
2
2
sin∠B
 QA
 
2
2
 =
sin∠A
 B
 R
2
3
sin∠QB
 A
 
2
2
1
∠PB
 A
 =
6
6
∠A
 B
 B
 =
5
6
5
∠A
 B
 B
 =
5
5
6
∠RB
 A
 
5
4
∠PB
 A
 =
4
4
∠A
 B
 B
 =
3
4
3
∠A
 B
 B
 =
3
3
4
∠QB
 A
 
3
2
∠QB
 A
 =
2
2
∠A
 B
 B
 =
1
2
1
∠A
 B
 B
 =
1
1
2
∠PB
 A
 
1
6
 ⋅
sin∠A
 PB
 
6
6
sin∠B
 PA
 
1
6
 ⋅
sin∠A
 RB
 
4
4
sin∠B
 RA
 
5
4
 =
sin∠A
 QB
 
2
2
sin∠B
 QA
 
3
2
1
PA
 6
QA
 2
RA
 4
e
f
g
答 案
见解析
解析
证明：如图，过
作
，
为垂足，过
作
，
为垂足， 
连
、
、
、
、
、
，设
与
交于
，
交
于
． 
因为
是
的平分线且
，
， 
又
，所以
、
关于
对称， 
又因为
于
，
于
， 
所以
、
关于
对称，故
． 
因为
， 
所以
，又因为
， 
所以
， 
同理 
， 
所以 
(因为
)． 
设
，则同理可得 
， 
， 
三式相乘得
． 
由
定理逆定理得
、
、
三线共点，即
、
、
三线共点．证明毕． 
1
例题9
D
DD
 ⊥AC
1
D
 1
E
EE
 ⊥BC
1
E1
AD
BD
CD
AE
BE
CE
AD
BC
A
 1
BE
AC
B
 1
CI
∠BCA
ID⊥BC
IE⊥AC
ID = IE
D
E
CI
DD
 ⊥AC
1
D
 1
EE
 ⊥BC
1
E
 1
D
 1
E
 1
CI
DD
 =
1
EE
 l
S
 :
△ABE
S
 =
△CBE
AB
 :
1
CB
 1
S
 :
ABCE
S
 =
△CBE
AC : CB
 1
S
 =
△CBE
 BC ⋅
2
1
EE
 1
S
 =
ABCE
 
2CB
 1
AC ⋅BC ⋅EE
 1
S
 =
ABDC
 
2CA
 1
AC ⋅BC ⋅DD
 1
CA
 :
1
CB
 =
1
S
 :
ABCE
S
 
ABDC
DD
 =
1
EE
 1
CF ∩AB = C
 1
AB
 :
1
AC
 =
1
S
 :
ACBF
S
 
ABCE
BC
 :
1
BA
 =
1
S
 :
ABDC
S
 
ACBF
 ⋅
C
 B
1
AC
 1
 ⋅
A
 C
1
BA
 1
 =
B
 A
1
CB
 1
1
Ceva
AA1
BB
 1
CC
 1
AD
BE
CF