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2019 秋
CMO 代数班·代数
期末试卷
（本试卷共四大题，每题25 分，满分100 分，考试时间180 分钟）
1
设z1，z2，···，zn ∈C，n ⩾2，则
(
∑
1⩽i<j⩽n|zi −z j|
)2
⩾(n−1)
∑
1⩽i<j⩽n|zi −zj|2．
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2
设a1 ⩾a2 ⩾··· ⩾an > 0，b1 ⩾b2 ⩾··· ⩾bn > 0．则
n
∑
i=1aibi ⩾
(
n
∑
i=1a2
i
)(
n
∑
i=1b2
i
)
max
{
a1
n
∑
i=1bi,b1
n
∑
i=1ai
}．
1419051509732
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3
P(x) 是一个非负整系数非零多项式．已知存在正整数a，使得数列a1 = a，an+1 = P(an) 满
足：集合A =
{
p| p为某项an的素因数
}
为有限集，求所有满足条件的P(x)．
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4
设正实数a1，a2，···，满足a1 +a2 +···+an ⩽n2，∀n ∈N+．求证：对∀n ∈N+，
1
a1
+ 1
a2
+···+ 1
an
> 1
4log2n．
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