文档文本内容
动量定理
模块1
动量定理
4
模块2
动量定理应用
8
动量守恒定律
模块1
动量守恒定律
16
模块2
反冲
20
模块3
人船模型
23
碰撞
模块1
弹性碰撞
30
模块2
完全非弹性碰撞
33
模块3
碰撞的合理性
36
类碰撞
模块1
从弹性碰撞到两种类碰撞模型
42
模块2
板块模型
46
目录
Contents
恒定电流
模块1
欧姆定律
56
模块2
电功与电功率
58
模块3
闭合电路欧姆定律
60
电学实验Ⅰ
模块1
动态电路
70
模块2
伏安法测电阻
72
模块3
伏安法测电阻率
76
电学实验Ⅱ
模块1
小灯泡伏安特性曲线
86
模块2
伏安法测电源电动势与内阻
90
第1 讲
动量定理
直击课堂
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3
1
学习目标
1. 掌握动量、冲量等概念，掌握动量定理的内容并熟练使用；
2. 学会应用动量定理分析实际问题，例如平均作用力问题、流体问题。
考情分析
高二物理·凌云班（课改）·秋
4
1
1
模块
1
动量定理
知识凝炼
1
动量
⑴表达式：p = mv。单位：千克米每秒(kg·m/s)。
⑵动量的三性
①矢量性：方向与速度的方向相同。
②瞬时性：动量是描述物体运动状态的物理量。
③相对性：大小与参考系的选择有关，通常情况以地面为参考系。
⑶动量与动能
动量和动能都是状态量，动量是矢量，动能是标量，大小关系为p = √2mEk。
⑷p、∆p 和∆p
∆t 的区别
①p = mv 是动量，既有大小又有方向，是状态量，即与状态有关。
②∆p = p′ −p，是动量变化量，也是矢量，是过程量，与状态变化有关，与合力的冲量等大同向。
③∆p
∆t 是动量的变化率，反应动量变化的快慢，若物体受恒定合外力则动量变化率不变。
2
冲量
⑴表达式：I = Ft。单位：牛秒(N·s)。冲量是矢量，它的方向由力的方向决定。冲量表示力对时间的积累。
冲量的作用效果是使物体的动量发生变化。
⑵变力的冲量
作出F −t 图象，图线与t 轴所夹的面积，即为变力的冲量，如图所示
若力的大小随时间均匀变化，方向不变，则I = Ft = F1 +F2
2
·t。
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5
1
⑶对冲量的理解
①时间性：冲量是力在时间上的积累，讨论冲量时一定要明确是哪个力在哪段时间上的冲量，即冲量是过
程量。
②矢量性：当力F 为恒力时，I 的方向与力F 的方向相同，当力F 为变力时，I 的方向与动量变化量方向
相同。
③绝对性：只要有力的作用就存在冲量，恒力的冲量不会为零，合力的冲量可能为零，变力的冲量也可能
为零。
⑷冲量与功
3
动量定理
⑴内容：物体所受合力的冲量等于物体动量的变化。
⑵表达式：F合·t = ∆p = p′ −p。
⑶矢量性：动量变化量的方向与冲量方向相同，还可以在某一方向上应用动量定理。
⑷对动量定理I合= F合t = ∆p = p′ −p 的理解
①I合、F合是物体受到的所有外力的总冲量。
②动量定理说明的是合外力的冲量I合和动量的变化量∆p 的关系，I合与∆p 不仅大小相等，而且方向相同。
⑸用动量定理解题的基本思路
①确定研究对象，选好正方向；
②对物体进行受力分析。可以先求每个力的冲量，再求各力冲量的矢量和——合力的冲量；或先求合力，
再求其冲量。
③抓住过程的初、末状态，确定各动量和冲量的正、负号。
④根据动量定理列方程求解。
⑤对过程较复杂的运动，可分段用动量定理，也可整个过程用动量定理。
高二物理·凌云班（课改）·秋
6
1
精讲精练
例1
★★★
正确率：58%
如图所示跳水运动员(图中用一小圆圈表示) 从某一峭壁上水平跳出，已知运动员的质量m = 60kg，初
速度v0 = 10m/s。若经过1s 后，速度大小为v = 10
√
2m/s，则在此过程中，运动员动量的变化量为
(g = 10m/s2，不计空气阻力)（ ）
A. 600kg·m/s
B. 600
√
2kg·m/s
C. 600
(√
2−1
)
kg·m/s
D. 600
(√
2+1
)
kg·m/s
达标检测1
★★★
正确率：62%
质量为m 的物块以初速度v0 沿倾角为θ 的粗糙斜面冲上斜面，滑到B 点速度为零，然后滑下回到A
点，速度变为0.5v0。关于物块所受的冲量，下述说法中正确的是（ ）
A. 重力的冲量方向始终竖直向下
B. 物块上滑过程和下滑过程受到摩擦力冲量等值反向
C. 无论上滑过程还是下滑过程，物块所受支持力的冲量始终为零
D. 物块从冲上斜面到返回斜面底端的整个过程中合外力的冲量总和为0.5mv0
例2
★★★
正确率：65%
一个质量为3kg 的物体所受的合外力随时间变化的情况如图所示，那么该物体在6s 内速度的改变量是
（ ）
A. 7m/s
B. 6.7m/s
C. 6m/s
D. 5m/s
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7
1
例3
★★★
正确率：92%
如图所示，为甲、乙两质量不同的物体分别受到恒力作用后，其动量p 与时间t 的关系图象。则甲、乙所
受合外力F甲与F乙的关系是（图中两线平行）（ ）
A. F甲< F乙
B. F甲= F乙
C. F甲> F乙
D. 无法比较F甲和F乙的大小
达标检测2
★★★
正确率：63%
如图所示，AB 为固定的光滑圆弧轨道，O 为圆心，AO 水平，BO 竖直，轨道半径为R，将质量为m 的小球
(可视为质点) 从A 点由静止释放，在小球从A 点运动到B 点的过程中（ ）
A. 小球所受合力的冲量水平向右
B. 小球所受支持力的冲量水平向右
C. 小球所受合力的冲量大小为m√gR
D. 小球所受重力的冲量大小为0
例4
★★★★正确率：43%
物体A 和B 用轻绳相连挂在轻质弹簧下静止不动，如图甲所示，A 的质量为m，B 的质量为M，当连接
A、B 的绳突然断开后，物体A 上升经某一位置时的速度大小为v，这时物体B 下落速度大小为u，如图
乙所示，在这段时间里，弹簧的弹力对物体A 的冲量为（ ）
A. mv
B. mv−Mu
C. mv+Mu
D. mv+mu
高二物理·凌云班（课改）·秋
8
1
例5
★★★★
用线将金属块M 和木块m 连在一起浸没入水中，如图所示。开始时，m 的上表面正好和水面相平。从
静止释放后，系统以加速度a 加速下沉，经t 秒线断了，又经t′ 秒木块停止下沉，此时金属块的速度多
大？(设此时金属块没有碰到水底)
2
模块
2
动量定理应用
1
平均作用力问题
牛顿第二定律的动量表达式：F = ma = m∆v
∆t = ∆p
∆t ，此式说明作用力F 等于物体动量的变化率。
如果一个物体在一段时间∆t 内动量的变化量为∆p，则该段时间内物体所受的平均作用力F = ∆p
∆t 。
因此：∆t 一定时，若∆p 越大，则F 越大，例如，锤子的质量越大、挥舞的速度越快则撞击力越强；∆p 一定
时，∆t 若越大，则F 越小，例如，橡胶锤质地较软，作用时间较长，撞击力较铁锤小，可以用于敲击地砖瓷砖等易
碎品。
通过动能定理求出的
平均作用力F = ∆Ek
∆x
与通过动量定理求出
的平均作用力F = ∆p
∆t
是否相同？
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9
1
2
流体问题
处理流体问题时，关键是确定研究对象∆M，再使用动量定理进行分析。
处理有关流体(如水、空气) 撞击物体表面产生冲力(或压强) 的问题，可以
使用动量定理解决。设横截面积为s、速度为v、密度为ρ 的流体在∆t 时间内射
到某一平面上的流体质量为∆M，则∆M = ρsv∆t，选取∆M 为研究对象，流体受
到平面施加大小为F 的力使流体速度减为0，则F = ∆Mv
∆t
= ρsv2；若流体以原
速率弹回，则F = ∆M · 2v
∆t
= 2ρsv2。
若将流体换成颗粒物、粉尘等，大量颗粒与某一物体相互作用并附着在该
物体上，作用力为F，则可以先利用单位体积所含颗粒物的数量N、单个颗粒
物的质量m，求出单位体积所含颗粒物的质量ρ = mN，再代入F = ρsv2，求得
F = mNsv2，其中s 为物体的横截面积，v 为颗粒与物体的相对速度。
若把墙换成一辆水
平向右行驶的小车，
车速大小为v1，流体
冲击在车上后顺车
身竖直淌下，水撞击
车的冲力应该如何
计算？
精讲精练
例6
★★★
正确率：69%
一个质量为0.18kg 的垒球，以15m/s 的水平速度飞向球棒，被球棒打击后反向水平飞回，速度大小变为
35m/s，设球棒与垒球的作用时间为0.01s。下列说法正确的是（ ）
A. 球棒对垒球的平均作用力大小为360N
B. 球棒对垒球的平均作用力大小为900N
C. 球棒对垒球做的功为900J
D. 球棒对垒球做的功为110.25J
达标检测3
★★★
正确率：37%
质量为1kg 的小球从5m 高处由静止释放，落地后弹起高度为3.2m，与地面的作用时间为0.1s，重力加
速度g = 10m/s2，则地面对小球的平均作用力为（ ）
A. 80N
B. 90N
C. 180N
D. 190N
高二物理·凌云班（课改）·秋
10
1
例7
★★★
高水速切割是一种高科技工艺加工技术，为完成飞机制造工程中高难度的工艺加工而特制了一台高压
水切割坐标机器人，该机器人的喷嘴直径为0.5mm，喷嘴射流速度为空气中音速的3 倍，假设水流射到
工件上后的速度变为零。已知空气中音速约为1000
3
m/s，水的密度为1 × 103kg/m3，高速射流在工件上
产生的压力约为（ ）
A. 2000N
B. 200N
C. 20N
D. 2N
达标检测4
★★★
正确率：63%
太空飞船在宇宙空间飞行时，会遇到太空尘埃的碰撞而受到阻碍作用。设单位体积的太空均匀分布尘
埃n 颗，每颗平均质量为m，尘埃的速度可忽略，飞船的横截面积为S，与尘埃碰撞后，将尘埃完全黏住，
当飞船维持恒定的速率v 飞行时，飞船引擎需提供的平均推力为（ ）
A. nmSv2
2
B. nmSv2
C. 3nmSv2
2
D. nmSv2
3
达标检测5
★★★★正确率：55%
一艘帆船在湖面上顺风行驶，在风力的推动下做速度为v = 4m/s 的匀速直线运动，已知该帆船在运动
状态下突然失去风的动力作用，帆船在湖面上做匀减速直线运动，经过t = 8s 才可静止，该帆船的帆面
正对风的有效面积为S = 10m2，帆船的总质量约为M = 600kg，若帆船在行驶过程中受到的阻力恒定不
变，空气的密度为ρ = 1.2kg/m3，g 取10m/s2，在匀速行驶状态下（ ）
A. 帆船受到风的推力为600N
B. 帆船受到风的推力为900N
C. 风速的大小为7.4m/s
D. 风速的大小为9m/s
1. 空气被吹到帆面上后，会沿帆面向四周散开；
2. 不妨选择匀速运动的帆船为参考系，再计算空气流体冲击帆面产生的冲击力。
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11
1
例8
★★★★正确率：72%
如图所示，用传送带给煤车装煤，平均每5s 内有5000kg 的煤粉落于车上，由于传送带的速度很小，
可认为煤粉竖直下落。要使车保持以0.5m/s 的速度匀速前进，则对车应再施以向前的水平力的大小为
（ ）
A. 50N
B. 250N
C. 500N
D. 750N
例9
★★★★★
自动称米机已被广泛使用。称米时，打开阀门，米粒就以每秒钟d 千克的恒定流量流进放在秤上的容
器。当秤的示数达到顾客所要求的数量时，在出口处关闭阀门，切断米流。米流在出口处速度很小，可视
为零。对上述现象，买卖双方引起了争论。买方认为：因为米流落到容器中时有向下的冲力而不划算；卖
方则认为：当达到顾客所要求的数量时，切断米流，此时尚有一些米在空中，这些米是多给买方的。请谈
谈你的看法，并根据所学的知识给出合理的解释。
高二物理·凌云班（课改）·秋
12
1
课堂总结
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13
1
直击高考
考题
某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M 的卡通玩具稳定地悬停在空中，为计算方便起见，
假设水柱从横截面积为S 的喷口持续以速度v0 竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于S)；水柱
冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水
的密度为ρ，重力加速度大小为g。求：
（1）正确率：84%
喷泉单位时间内喷出的水的质量。
（2）正确率：70%
玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。
答案（1）ρv0S
（2）v02
2g −
M2g
2ρ2v02S2
解析（1）解：设∆t 时间内，从喷口喷出的水的体积为∆V，质量为∆m，则∆m = ρ∆V ，
∆V = v0S∆t ，
单位时间内从喷口喷出的水的质量为∆m
∆t = ρv0S。
（2）解：设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为v。
对于∆t 时间内喷出的水，由能量守恒得：
1
2(∆m)v2 +(∆m)gh = 1
2 (∆m)v02 ，
在h 高度处，∆t 时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为：∆p = (∆m)v ，
设水对玩具的作用力的大小为F，根据动量定理有：F∆t = ∆p，
由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得：F = Mg ，
联立得：h = v02
2g −
M2g
2ρ2v02S2 。
第2 讲
动量守恒定律
直击课堂
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15
2
学习目标
1. 充分掌握动量守恒情境的判断，深入理解单方向上动量守恒问题；
2. 充分掌握反冲问题分析；
3. 充分掌握人船模型，并能迁移到类似模型中。
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16
2
1
模块
1
动量守恒定律
知识凝炼
1
动量守恒定律
相互作用的物体系统，如果不受外力，或它们所受的外力之和为零，它们的总动量保持不变。即作用前的总
动量与作用后的总动量相等(研究对象：相互作用的两个物体或多个物体所组成的系统)。
2
动量守恒定律适用的条件
⑴系统不受外力作用，或系统所受合外力为零，例如，光滑水平面上两个小球发生碰撞；
⑵系统所受外力远小于系统内力，例如，棒球棍击球时，球棍与球的作用力远大于其他外力；
⑶系统在某一个方向的合外力为零，则系统在该方向的动量守恒，例如，光滑水平面上，小球从不固定的
斜面上滑落，斜面和小球组成的系统在水平方向上不受力，则水平方向上动量守恒。
3
常见的表达式
(1) p0=p′，其中p0、p′ 分别表示系统的初动量和末动量，表示系统在作用前、后的总动量相等。
(2) 特别地，对于两个物体组成的系统，有p1+p2=p′1+p′2(或m1v1+m2v2 = m1v
′
1+m2v
′
2)，p1、p2、p′1、p′2 分别
表示两个物体的初、末动量。
两辆汽车相向行驶
发生碰撞，并且在碰
撞后瞬间停止，那么
碰撞的过程中两辆
汽车组成的系统动
量是否守恒？机械能
是否守恒？如果机械
能不守恒，那么损失
的机械能转化成了
何种形式的能量？
(3) 两物体作用后结合在一起或具有共同的速度：m1v1 +m2v2 = (m1+m2)v。
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17
2
精讲精练
例1
★★★
正确率：53%
如图所示的装置中，木块B 与水平桌面间的接触是光滑的。子弹A 沿水平方向射入木块后留在木块内，
将弹簧压缩到最短，则下列说法正确的是（ ）
A. 从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的全过程中，子弹与木块组成的系统动量守恒
B. 子弹射入木块的短暂过程中，子弹与木块组成的系统动量守恒
C. 从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的过程中，子弹、木块和弹簧组成的系统动量守恒
D. 若水平桌面粗糙，子弹射入木块的短暂过程中，子弹与木块组成的系统动量不守恒
达标检测1
★★★
如图所示，质量为M 的盒子放在光滑的水平面上，盒子内表面不光滑，盒内放有一块质量为m 的物体，
某时刻给物体一个水平向右的初速度v0，那么在物体与盒子前后壁多次往复碰撞后（ ）
A. 两者的速度均为零
B. 两者的速度总不会相等
C. 盒子的最终速度为mv0
M ，方向水平向右
D. 盒子的最终速度为
mv0
M +m，方向水平向右
例2
★★★★
如图所示，一个内壁光滑的半球形碗固定在小车上，小车放在光滑水平面上。在小车正前边的碗边A 处
无初速度释放一个质量为m 的小球。则小球沿碗内壁下滑的过程中，下列说法正确的是(半球形碗的半
径为R)（ ）
A. 小球、碗和车组成的系统机械能守恒
B. 小球的最大速度等于√2gR
C. 小球、碗和车组成的系统动量守恒
D. 小球不能运动到碗左侧的碗边B 点
高二物理·凌云班（课改）·秋
18
2
达标检测2
★★★
一辆小车静止在光滑的水平面上，小车立柱上固定一条长为L、系有小球的水平轻质细绳，小球由静止
释放，不计一切摩擦，说法正确的是（ ）
A. 小球的机械能守恒，动量不守恒
B. 小球的机械能不守恒，动量也不守恒
C. 球、车系统的机械能守恒，动量守恒
D. 球、车系统的机械能、动量都不守恒
例3
★★★★正确率：96%
如图所示，质量为M 的刚性斜面体静止在光滑的水平面上，一质量为m 的子弹以速度v0 水平射到斜
面体的斜面上并被斜面体沿竖直方向弹起，求子弹竖直弹起后斜面体的速度。
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19
2
达标检测3
★★★
正确率：48%
质量为M 的小车中挂有一单摆，摆球的质量为m0，小车(和单摆) 以恒定的速度v 沿光滑水平地面运
动，与位于正对面的质量为m 的静止木块发生碰撞，碰撞的时间极短，在此碰撞过程中，下列哪个或哪
些说法是可能发生的（ ）
A. 小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变为v1、v2、v3，满足(M +m0)v = Mv1 +mv2 +m0v3
B. 摆球的速度不变，小车和木块的速度变为v1 和v2，满足Mv = Mv1 +mv2
C. 摆球的速度不变，小车和木块的速度都变为v1，满足Mv = (M +m)v1
D. 小车和摆球的速度都变为v1，木块的速度变为v2，满足(M +m0)v = (M +m0)v1 +mv2
例4
★★★
将质量为m 的铅球，以大小为v0，仰角为θ 的初速度抛入一个装着沙子质量为M 的静止沙车中，如图
所示，沙车与地面间的摩擦可忽略。求后来球和沙车的共同速度为多少？
高二物理·凌云班（课改）·秋
20
2
2
模块
2
反冲
知识凝炼
1
定义
根据动量守恒定律，如果一个静止的物体在内力的作用下分裂为两个部分，一部分向某个方向运动，另一
部分必然向相反的方向运动。这个现象叫做反冲。
常见的反冲模型有火箭、射击、爆炸等。
2
反冲运动的原理和公式
反冲运动的基本原理是动量守恒定律。如果系统的一部分获得了某一方向的
动量，系统的剩余部分就会在这一方向的相反方向上获得同样大小的动量。
⑴若系统的初始动量为零，则动量守恒定律形式变为：0 = m1v1′ +m2v2′。
此式表明，做反冲运动的两部分的动量大小相等，方向相反，而它们的速率与质
量成反比。
⑵若系统初始动量不为零，设系统总质量为M，分离出去的质量为m，分
离前系统速度为v1，剩余部分速度为v1′，m 的分离速度为v2′，动量守恒定律为
Mv1 = (M −m)v1′ +mv2′。
反冲运动中存在相互作用的物体间发生相对运动，有时候已知条件中告知的是
物体的相对速度，应理解为相对于“抛出”这一瞬间。在应用动量守恒定律时，应将
相对速度转换为绝对速度(一般为对地速度)。
火箭的性能常用“比
冲”这个参数来描述，
符号为Is，它等于火
箭发动机可以产生
的总冲量与火箭内
燃料的重力之比。想
一想，比冲的单位是
什么？通过哪些方法
可以提高比冲？
3
爆炸
两个物体之间有一小团火药，火药爆炸后会瞬间释放出能量，把两个物体弹开。把两个物体和火药看作整
体，爆炸瞬间内力远大于外力，整体动量守恒。爆炸也是反冲运动的一种，同样遵循动量守恒定律。反冲运动中
物体的运动规律，对爆炸来说同样适用。
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21
2
精讲精练
达标检测4
★★★
一辆炮车静止在光滑水平导轨上，车和炮弹总质量为M，炮筒水平发射一质量为m 的炮弹，炮弹离开炮
膛时对地的速度为v0，则炮车的后退速度为（ ）
A. mv0
M
B.
mv0
M −m
C. −Mv0
M −m
D. −mv0
M −m
例5
★★★
小型迫击炮在静止船上发射炮弹，炮和船及炮弹的总质量为1000kg，其中炮弹的质量为2kg，若炮弹飞
离炮口时相对于地面的速度为600m/s，且速度跟水平方向成45◦角，求发射炮弹后小船后退的速度。
例6
★★★★
一个宇航员，连同装备的总质量为100kg，在太空中跟飞船相距45m 处相对飞船处于静止状态。他带有
一个装有0.5kg 氧气的贮氧筒，贮氧筒上有一个可以使氧气以50m/s 的速度喷出的喷嘴。宇航员必须保
留一部分氧气供他在返回飞船的途中呼吸。已知宇航员呼吸的耗氧率为2.5×10−4kg/s，试问：如果他在
准备返回飞船的瞬间释放0.15kg 氧气，他能安全回到飞船吗？
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22
2
例7
★★★★
如图所示，光滑水平轨道的右端与一半径为R = 0.5m 的半圆形的光滑竖直轨道相切，A、B 两小滑块间
用一轻细绳锁定住一压缩的轻弹簧，一起沿水平面以v0 = 4m/s 的速度向右运动，A、B 的质量分别为
mA = 0.1kg，mB = 0.2kg。某时刻细绳突然断裂，B 与弹簧分离后才进入半圆轨道，恰好能通过半圆轨道
的最高点，重力加速度g = 10m/s2。求：
（1）刚与弹簧分离时B 的速度。
（2）轻绳未断时，弹簧的弹性势能。
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23
2
3
模块
3
人船模型
知识凝炼
如果系统是由两(或多) 个物体组成的，某一方向上合外力为零(动量守恒)，且相互作用前系统在该方向的
总动量为零，我们称之为人船模型。
如图所示，人在长为l 的船上由右端走到左端的过程中，设人和船的速度大小分别是v1、v2，由动量守恒定
律，得m1v1 = m2v2，则在任意一段时间∆t 内有m1v1∆t = m2v2∆t，可得m1s1 = m2s2。由此可知人、船各自的位
移与质量成反比。
由图知s1 +s2 = l，解得人和船的位移分别为s1 =
m2
m1 +m2
l，s2 =
m1
m1 +m2
l。
精讲精练
例8
★★★
正确率：58%
平静水面上停着一只小船，船头站立着一个人，船的质量是人的质量的8 倍。从某时刻起，人向船尾走
去，走到船中部时他突然停止走动。不计水对船的阻力，下列说法正确的是（ ）
A. 人在船上走动过程中，人的动能是船的动能的8 倍
B. 人在船上走动过程中，人的位移是船的位移的9 倍
C. 人走动时的速度和小船的速度大小相等，方向相反
D. 人突然停止走动后，小船由于惯性的缘故还会继续运动
达标检测5
★★★
正确率：77%
载人气球静止于高h 的空中，气球质量为M，人的质量为m。若要人沿轻绳梯着地，则绳梯长至少是
（ ）
A. M +m
M
·h
B. m
M ·h
C. M
m ·h
D. h
高二物理·凌云班（课改）·秋
24
2
例9
★★★★正确率：84%
如图，光滑水平面上有质量100kg、长度为4m 的平板小车，车两端站着A、B 两人，A 质量为70kg，B 质
量为30kg，两人交换位置，此过程中车移动的位移是多少？
例10 ★★★★★
如图所示，质量M = 2kg 的滑块套在光滑的水平轨道上，可以自由滑动，质量m = 1kg 的小球通过长
L = 0.5m 的轻质细杆与滑块上的光滑轴O 连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O 轴自由转动，开始轻
杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v0 = 4m/s，g = 10m/s2。试求小球击中滑块右侧轨道
位置点与小球起始位置点间的距离。
例11
★★★★
质量为m，半径为R 的小球，放在半径为2R、质量为2m 的大空心球内，大球开始静止在光滑水平面上，
当小球从图示位置无初速度沿大球内壁滚到最低点时，大球移动的距离为（ ）
A. R
2
B. R
3
C. R
4
D. R
6
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25
2
课堂总结
高二物理·凌云班（课改）·秋
26
2
直击高考
考题
如图，物块A 通过一不可伸长的轻绳悬挂在天花板下，初始时静止；从发射器（图中未画出）射出的
物块B 沿水平方向与A 相撞，碰撞后两者粘连在一起运动，碰撞前B 的速度的大小v 及碰撞后A
和B 一起上升的高度h 均可由传感器（图中未画出）测得。某同学以h 为纵坐标，v2 为横坐标，利
用实验数据作直线拟合，求得该直线的斜率为k = 1.92 × 10−3s2/m。已知物块A 和B 的质量分别为
mA = 0.400kg 和mB = 0.100kg，重力加速度大小g = 9.8m/s2 。
（1）若碰撞时间极短且忽略空气阻力，求h−v2 直线斜率的理论值k0。
（2）求k 值的相对误差δ(δ = |k −k0|
k0
×100%，结果保留1 位有效数字)。
答案（1）h−v2 直线斜率的理论值为k0 = 2.04×10−3s2/m。
（2）k 值的相对误差δ = 6%。
解析（1）设物块A 和B 碰撞后共同运动的速度为v′，由动量守恒定律有：
mBv = (mA +mB)v′
在碰撞后A 和B 共同上升的过程中，由机械能守恒定律有：1
2 (mA +mB)v′2 = (mA +mB)gh 联立得：
h =
m2
B
2g(mA +mB)2 v2
由题意得：k0 =
m2
B
2g(mA +mB)2
代入题给数据得：k0 = 2.04×10−3s2/m 。
（2）按照定义：δ = |k −k0|
k0
×100%
代入数据得：δ = 6% 。
第3 讲
碰撞
直击课堂
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29
3
学习目标
1. 充分掌握弹性碰撞问题的分析方法，可以熟练解出动量、动能双守恒方程组；
2. 充分掌握完全非弹性碰撞问题的分析方法，熟练计算碰撞后的共同速度和碰撞前、后动能损失量；
3. 会分析碰撞的合理性，能快速判断碰撞前后的物体的运动状态是否合理。
高二物理·凌云班（课改）·秋
30
3
1
模块
1
弹性碰撞
知识凝炼
碰撞(物体间作用时间极短的过程) 是生活中非常常见的现象，其中，我们拿两个物体碰撞的结果来看：有
的物体碰后分开了但都朝一个方向运动；有的物体碰后朝相反的方向运动；有的物体碰后则粘在一起(我们只
研究碰撞前后都在同一直线上运动的情况)。
1
碰撞的分类
(1) 弹性碰撞
碰撞前后动能没有损失，不仅动量守恒，而且初末动能之和相等。
m1v1 +m2v2 = m1v′1 +m2v′2
1
2m1v2
1 + 1
2m2v2
2 = 1
2m1v′1
2 + 1
2m2v′2
2
(2) 完全非弹性碰撞
碰撞结束后，两物体合二为一，以同一速度运动，动能损失最大。
m1v1 +m2v2 = (m1 +m2)v′
1
2m1v2
1 + 1
2m2v2
2 = 1
2 (m1 +m2)v′2 +∆Ek 损max
(3) 非弹性碰撞
是介于以上两个碰撞之间的碰撞，碰撞结束后，动能有部分损失。
m1v1 +m2v2 = m1v′1 +m2v′2
1
2m1v12 + 1
2m2v22 = 1
2m1v′1
2 + 1
2m2v′2
2 +∆Ek 损
若两个物体发生碰
撞，则上述各类碰撞
中，那种碰撞前后各
物体的速度变化量
最大？
2
弹性碰撞分析
根据弹性碰撞的动量、能量双守恒方程组
m1v1 +m2v2 = m1v′1 +m2v′2
1
2m1v2
1 + 1
2m2v2
2 = 1
2m1v′1
2 + 1
2m2v′2
2
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31
3
解得：
v
′
1 = (m1 −m2)v1 +2m2v2
m1 +m2
v
′
2 = (m2 −m1)v2 +2m1v1
m1 +m2
或可以写为：
v
′
1 = (m1 −m2)v1
m1 +m2
+ 2m2v2
m1 +m2
v
′
2 = (m2 −m1)v2
m1 +m2
+ 2m1v1
m1 +m2
由上式可以看出
(1) 若m1 ≫m2，则v
′
1 ≈v1，v
′
2 ≈2v1 −v2，即m1 的速度几乎不变；特别的，若v2 = 0，即一开始时m2 静止，
则v
′
2 ≈2v1，碰撞后质量小的物体会接近质量大的球两倍的速度，而质量大的物体速度几乎不变。
(2) 若m1 = m2，则v
′
1 = v2，v
′
2 = v1，即速度交换；特别的，若v2 = 0，则v
′
1 = 0。
(3) 若m1 ≪m2，则v
′
1 ≈2v2 −v1，v
′
2 ≈v2，即m2 的速度几乎不变。特别的，若v2 = 0，则v
′
1 ≈−v1、v
′
2 ≈0，
质量小的物体以接近原速率被“弹回”，质量大的物体几乎不动。
精讲精练
达标检测1
★★★★
小球A 以速度v0 向右运动，与静止的小球B 发生碰撞，碰后A、B 球的速度大小分别为v0
4 、v0
2 ，则A、B
两球的质量比可能是（ ）
A. 1 : 2
B. 2 : 3
C. 3 : 2
D. 2 : 5
例1
★★★
质量为m1 的小球A 在光滑的水平面上以v1 的速度向右运动，恰撞上质量为m2 静止在水平面上的小
球B。发生弹性碰撞后，小球A 的速度变为v1′，小球B 的速度变为v2′。请推导v1′、v2′ 的表达式(用
m1、m2、v1 表示)，并完成下列填空(填<、>、=)
（1）v1′=
，v2′=
；
（2）当m1 = m2 时，v1′
0，v2′
v1；
（3）当m1 > m2 时，v1′
0，v2′
0；
（4）当m1 < m2 时，v1′
0，v2′
0；
（5）当m1 ≫m2 时，v1′
v1，v2′
2v1；
（6）当m1 ≪m2 时，v1′
−v1，v2′
0。
高二物理·凌云班（课改）·秋
32
3
达标检测2
★★★★正确率：75%
冰壶运动深受观众喜爱，图1 为2014 年2 月索契冬奥会上中国队员投掷冰壶的镜头，冰壶甲运动一段
时间后与对方静止的冰壶乙发生弹性正碰，如图2，若两冰壶质量相等，则碰后两冰壶最终停止的位置，
可能是图3 中的哪幅图（ ）
例2
★★★★★
质量分别为m1、m2 的A、B 两个小球在光滑水平面上发生弹性碰撞，碰撞前A 球的速度为v，B 球静止，
碰撞后A、B 两球速度大小分别为v1、v2，若v1 : v2 = 1 : 3，问m1、m2 的比值是多少？
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33
3
2
模块
2
完全非弹性碰撞
知识凝炼
碰撞结束后，两物体共速，即粘贴在一起以同一速度共同运动，碰撞前后动量守恒，动能损失最大。
m1v1 +m2v2 = (m1 +m2)v′
1
2m1v2
1 + 1
2m2v2
2 = 1
2 (m1 +m2)v′2 +∆Ek 损max
解得：
v′ = m1v1 +m2v2
m1 +m2
∆Ek 损max = m1m2(v1 −v2)2
2(m1 +m2)
特别的，当v2=0，有：
v′ =
m1v1
m1 +m2
∆Ek 损max =
m1m2v2
1
2(m1 +m2)
精讲精练
达标检测3
★★★
正确率：60%
用不可伸长的细线悬挂一质量为M 的小木块，木块静止，如图所示，现有一质量为m 的子弹自左方水
平射向木块，并停留在木块中，子弹初速度为v0，则下列判断正确的是（ ）
A. 从子弹射向木块到一起上升到最高点的过程中系统的机械能守恒
B. 子弹射入木块瞬间动量守恒，故子弹射入木块瞬间子弹和木块的共同速度为
mv0
M +m
C. 忽略空气阻力，子弹和木块一起上升过程中系统机械能守恒，其机械能等于子弹射入木块前的动能
D. 子弹和木块一起上升的最大高度为
m2v02
2g(M +m)2
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34
3
例3
★★★★正确率：61%
如图所示，一根不可伸长的细绳一端固定在O 点，另一端连接一个质量为M 的沙摆。当沙摆以大小为
v 的速度水平向右经过最低点A 时，第一颗子弹以大小为v0 的速度水平向右射入沙摆且未穿出。此后，
每当沙摆经过最低点A 时，都会有一颗子弹以大小为v0 的速度水平向右射入沙摆且均未穿出。若每颗
子弹的质量为m，射入沙摆后，沙摆的最大摆角均小于90◦，碰撞时间极短，不计空气阻力，则第三颗子
弹射入沙摆后，沙摆在最低点A 的速度大小为（ ）
A. mv0 −Mv
M +3m
B. mv0 +Mv
M +3m
C. 3mv0 −Mv
M +3m
D. 3mv0 +Mv
M +3m
例4
★★★★
如图，三个质量相同的滑块A、B、C，间隔相等地静置于同一水平直轨道上。现给滑块A 向右的初速度
v0，一段时间后A 与B 发生碰撞，碰后A、B 分别以1
8v0、3
4v0 的速度向右运动，B 再与C 发生碰撞，碰
后B、C 黏在一起向右运动。滑块A、B 与轨道间的动摩擦因数为同一恒定值。两次碰撞时间均极短。求
B、C 碰后瞬间共同速度的大小。
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35
3
例5
★★★★★
如图所示，水平地面上静止放置着物块B 和C 相距l = 1.0m 物块A 以速度v0 = 10m/s 沿水平方向与
B 正碰，碰撞后A 和B 牢固粘在一起向右运动，并再与C 发生正碰，碰后瞬间C 的速度v = 2.0m/s，已
知A 和B 的质量均为m。C 的质量为A 质量的k 倍，物块与地面的动摩擦因数µ = 0.45(设碰撞时间
很短，g 取10m/s2)
（1）计算与C 碰撞前瞬间AB 的速度
（2）根据AB 与C 的碰撞过程分析k 的取值范围，并讨论与C 碰撞后AB 的可能运动方向。
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36
3
3
模块
3
碰撞的合理性
知识凝炼
碰撞过程要符合下列条件
1
动量守恒：p1 + p2 = p′
1 + p′
2。
2
动能不增加：Ek1 +Ek2 ⩾E′k1 +E′k2，或者
p2
1
2m1
+ p2
2
2m2
⩾p
′
1
2
2m1
+ p
′
2
2
2m2
。
3
速度要符合物理情境
（1）如果碰前两物体同向运动，则后面的物体速度必大于前面物体的速度，即v后> v前，否则无法实现碰撞；
（2）碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体速度大于或等于原来在后的物体的速度。
即v′
前⩾v′
后，否则碰撞没有结束；
（3）如果碰前两物体是相向运动，则碰后，两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均
为零。
精讲精练
达标检测4
★★★★正确率：64%
两个小球在光滑水平面上沿同一直线，同一方向运动，B 球在前，A 球在后，MA = 1kg，MB = 2kg，vA =
6m/s，vB = 3m/s，当A 球与B 球发生碰撞后，A、B 两球速度可能为（ ）
A. vA = 4m/s，vB = 4m/s
B. vA = 2m/s，vB = 5m/s
C. vA = −4m/s，vB = 6m/s
D. vA = 7m/s，vB = 2.5m/s
例6
★★★★
甲乙两球在水平光滑轨道上同方向运动，已知它们的动量分别是p1 = 5kg·m/s，p2 = 7kg·m/s，甲从后面
追上乙并发生碰撞，碰后乙球的动量变为10kg·m/s，则两球质量m1 与m2 间的关系可能是（ ）
A. m1 = m2
B. 2m1 = m2
C. 4m1 = m2
D. 6m1 = m2
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37
3
达标检测5
★★★★正确率：36%
如图所示，光滑圆形管道固定在竖直面内，直径略小于管道内径。可视为质点的小球A、B 质量分别为
mA、mB，A 球从管道最高处由静止开始沿管道下滑，与静止于管道最低处的B 球相碰，碰后A、B 球均能
刚好达到与管道圆心O 等高处，关于两小球质量比值mA
mB
的说法正确的是（ ）
A.
√
2+1
B.
√
2−1
C. 1
D.
√
2
例7
★★★★★正确率：72%
在光滑水平面上，有A、B 两球沿同一直线向右运动，A 在后，B 在前，A 追上B 发生碰撞，已知两球碰前
的动量分别为pA = 12kg·m/s，pB = 13kg·m/s，碰撞前后的动量变化∆pA、∆pB 可能为（ ）
A. ∆pA = −3kg·m/s，∆pB = 3kg·m/s
B. ∆pA = 4kg·m/s，∆pB= −4kg·m/s
C. ∆pA = −5kg·m/s，∆pB = 5kg·m/s
D. ∆pA = −24kg·m/s，∆pB = 24kg·m/s
高二物理·凌云班（课改）·秋
38
3
课堂总结
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39
3
直击高考
考题
如图所示，光滑水平直轨道上两滑块A、B 用橡皮筋连接，A 的质量为m，开始时橡皮筋松弛，B 静止，给
A 向左的初速度v0，一段时间后，B 与A 同向运动发生碰撞并黏在一起，碰撞后的共同速度是碰撞前瞬
间A 的速度的两倍，也是碰撞前瞬间B 的速度的一半，求：
（1）B 的质量。
（2）碰撞过程中A、B 系统机械能的损失。
答案（1）B 的质量为m
2
（2）碰撞过程中A、B 系统机械能的损失为1
6mv02
解析（1）以初速度v0 的方向为正方向，设B 的质量为mB，A、B 碰后的共同速度为v，由题意知，碰撞前瞬间
A 的速度为v
2，碰撞前瞬间B 的速度为2v，由动量守恒定律得，m· v
2 +2mBv = (m+mB)v ①由①
式得，mB = m
2 ②
（2）从开始到碰后的全过程，以初速度v0 的方向为正方向，由动量守恒定律得，mv0 = (m+mB)v ③设
碰撞过程A、B 系统机械能损失为∆E，则∆E = 1
2m(v
2)
2 + 1
2mB(2v)2 −1
2(mB +m)v2，④联立②③④
式得，∆E = 1
6mv02。
第4 讲
类碰撞
直击课堂
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41
4
学习目标
1. 能将弹性碰撞和完全非弹性碰撞相关知识迁移到圆弧轨道模型和弹簧模型中；
2. 掌握板块模型、
“子弹打木块”模型的分析方法。
高二物理·凌云班（课改）·秋
42
4
1
模块
1
从弹性碰撞到两种类碰撞模型
知识凝炼
1
圆弧轨道模型
相互作用的两个物体在某些情况下可以当作碰撞问题处理，分析两物体相距“最远”
“最近”或上升到“最高
点”等临界状态，
“速度相等”是求解关键。
如图所示，光滑水平面上小球A 以速度v 滑上表面光滑的弧形滑块B，若A 恰好能到达B 的最高点，则此
时A 和B 速度相同，系统的动能最小、重力势能最大，整个过程中系统的动量守恒、机械能守恒。
设A 的初速度为v，A，B 的质量分别为m1、m2，共速后速度分别为v
′
1、v
′
2，有：
v
′
1 = v
′
2 =
m1v
m1 +m2
∆Ek 损max = m1m2(v1 −v2)2
2(m1 +m2)
其中系统减少的动能转化为A 的重力势能。
A 继续运动，从最高点滑落至水平面，A、B 的速度分别为v
′′
1、v
′′
2，则
v
′′
1 = m1 −m2
m1 +m2
v1
v
′′
2 =
2m1
m1 +m2
v1
2
弹簧模型
弹簧类问题多以轻质弹簧为载体，物理情景较复杂，考查物体的平衡、牛顿运动定律、能量的转化与守恒等
知识。
从受力分析出发，某时刻弹簧提供的弹力与其形变量相关，可运用牛顿运动定律求解。
从能量角度出发，弹性势能与其它形式的能量发生转化，根据能量的转化与守恒定律可求解弹性势能大
小、弹力做功大小等。
如图所示，光滑水平面上物块A 以速度v 撞击一端带有弹簧的静止物块B，则两物块相距最近时，速度必
然相等，此时弹簧最短、弹性势能最大，系统的动能最小，整个过程中系统的动量守恒、机械能守恒。
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43
4
设A 的初速度为v，A，B 的质量分别为m1、m2，共速后速度分别为v
′
1、v
′
2，有：
v
′
1 = v
′
2 =
m1v
m1 +m2
∆Ek 损max = m1m2(v1 −v2)2
2(m1 +m2)
其中系统减少的动能转化为弹簧的弹性势能。
A 继续运动，弹簧恢复原长时，A、B 的速度分别为v
′′
1、v
′′
2，则
v
′′
1 = m1 −m2
m1 +m2
v1
v
′′
2 =
2m1
m1 +m2
v1
对比弹簧模型、圆弧轨道模型和碰撞模型，从初始状态到弹簧被压缩到最短(小
球上升到最高点)，类似完全非弹性碰撞，过程中系统的动能转化为弹性势能(重力
势能)；从初始状态到弹簧再次回复原长(小球从轨道滑下并与斜面分离)，类似于弹
性碰撞，过程中系统的动能转化成弹性势能(重力势能) 又转化为动能。因此，弹簧
模型和圆弧轨道模型是两种“类碰撞”模型，与碰撞模型不同的是，上述的弹簧模型
和圆弧轨道模型全过程中机械能守恒。
如果A 与弹簧勾连，
弹簧恢复原长后A、
B 继续分离，弹簧伸
长，则弹簧最长时A、
B 的速度是多少？弹
簧第二次恢复原长时
A、B 的速度是多少？
精讲精练
例1
★★★
如图所示，光滑水平面上有一质量为M 的滑块，滑块的左侧是一光滑的圆弧，圆弧半径为R = 1m。一质
量为m 的小球以速度v0 向右运动冲上滑块。已知M = 4m，g 取10m/s2，若小球恰好到达1
4 圆弧的上
端，求：
（1）小球的初速度v0 是多少？
（2）滑块获得的最大速度是多少？
高二物理·凌云班（课改）·秋
44
4
达标检测1
★★★
正确率：70%
在足够大的光滑水平面上放有两物块A 和B，已知mA > mB，A 物块连接一个轻弹簧并处于静止状态，B
物体以初速度v0 向着A 物块运动，在B 物块与弹簧作用过程中(B 与弹簧接触后不再分开)，两物块在
同一条直线上运动，下列判断正确的是（ ）
A. 弹簧恢复原长时，B 物块的速度为零
B. 弹簧恢复原长时，B 物块的速度不为零，且方向向右
C. 在弹簧压缩过程中，B 物块动能先减小后增大
D. 在与弹簧相互作用的整个过程中，B 物块的动能先减小后增大
达标检测2
★★★★
如图所示，在光滑水平地面上有A、B 两个小物块，其中物块A 的左侧连接一轻质弹簧。物块A 处于静
止状态，物块B 以一定的初速度向物块A 运动，并通过弹簧与物块A 发生弹性正碰。对于该作用过程，
两物块的速率变化可用速率-时间图像进行描述，在选项所示的图像中，图线1 表示物块A 的速率变化
情况，图线2 表示物块B 的速率变化情况。则在这四个图像中可能正确的是（ ）
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45
4
例2
★★★★★正确率：53%
如图甲所示，一轻质弹簧的两端与质量分别为m1 和m2 的两物块A、B 相连接，并静止在光滑的水平面
上，现使A 获得水平向右，大小为3m/s 的瞬时速度，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规
律如图乙所示，从图象信息可得（ ）
A. 在t1、t3 时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都是处于压缩状态
B. 从t3 到t4 时刻弹簧由压缩状态恢复原长
C. 两物块的质量之比为m1 : m2 = 1 : 2
D. 在t2 时刻A 和B 的动能之比为Ek1 : Ek2 = 1:8
例3
★★★★★
如图所示，物块A、B、C 静止在光滑的水平面上，三者的质量均为m = 2kg。轻弹簧的左端与A 连接，右
端与B 连接。弹簧处于原长，B 和C 紧靠在一起(不粘连)。现给物块A 方向水平向右、大小为v0 = 6m/s
的初速度，在以后的运动过程中物块A、B 没有相碰，求弹簧被拉伸最长时的弹性势能(设弹簧处于原长
时的弹性势能为零)。
若两个物体处于分离临界状态，则这两物体的速度相同、加速度相同，虽然相互接触但无在接触面上
没有相互作用的弹力。
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46
4
2
模块
2
板块模型
知识凝炼
板块模型的实质是两物体在一对作用力和反作用力作用下的运动，并通过做功实现不同形式能量之间的
转化。因此，可以从动量和能量的角度来去看这类问题。
如图所示，在光滑的地面上，木板M 与滑块m 所受合外力为0，组成的系统动量守恒，由于M 与m 之间
存在滑动摩擦，有一部分机械能损失，因此板块问题对应的是非弹性碰撞的情景，当m 相对M 滑行到一定距
离时，M、m 相对静止，二者速度相等，这时对应完全非弹性碰撞的情景。
动量守恒：mv = (m+M)v′，
能量守恒：1
2mv2 = 1
2(m+M)v′2 +Q，
功能关系：Q = f∆s(Q 为摩擦生热，∆s 为m 与M 间的相对路程)。
在“类碰撞”模型中，板块模型和“子弹打木块”模型的过程十分相似，都是系统机械能不守恒、动量守恒的
物理模型。下面我们以“子弹打木块”模型为例，详细讨论这种类碰撞问题。
设质量为m 的子弹，以初速度v0 射向静止在光滑水平面上的质量为M 的木块，并留在其中，设木块对子
弹的阻力恒为f。
1
子弹、木块相对静止时的速度v
从动量的角度看，以m 和M 组成的系统为研究对象，根据动量守恒，mv0 = (M +m)v，得v =
mv0
M +m。
2
子弹、木块发生的位移s1、s2 以及子弹打进木块的深度L
对子弹用动能定理：−fS1 = 1
2mv2 −1
2mv2
0，S1 =
mv2
0
[
(M +m)2 −m2]
2f(M +m)2
。
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47
4
对木块用动能定理：fS2 = 1
2Mv2，S2 = Mv2
2 f
以上得fL = 1
2mv2
0 −1
2(M +m)v2 =
Mmv2
0
2(M +m)
故子弹打进木块的深度：L = S1 −S2 =
Mmv2
0
2 f(M +m)。
3
系统损失的机械能∆E、系统增加的内能Q
系统损失的机械能∆E = 1
2mv2
0 −1
2(m+M)v2 系统增加的内能Q = ∆E 因此：Q = ∆E = fL。
4
比较S1 子弹的位移、S2 木块的位移、S相子弹与木块相对位移的大小关系
运用图象法：子弹做匀减速直线运动木块做匀加速直线运动
由图可以判定：
①不论m、M 关系怎样，总有S相> S2，S1 > 2S2；
②若m < M，则S相> 2S2，S1 > 3S2。
5
要使子弹不穿出木块，木块的最短长度d
子弹不穿出木块的长度：d ⩾S相=S1 −S2 =
Mmv2
0
2 f(M +m)。
精讲精练
例4
★★★
如图所示，滑块A 的质量为m，小车B 的质量为M 且M = 2m，滑块与平板小车之间的动摩擦因数为
µ，小车静止在光滑的水平面上，当滑块以速度v0 从小车右端滑上小车，经一段时间后滑块相对小车静
止，已知重力加速度为g，求：
（1）从滑块滑上小车到相对静止所需要的时间；
（2）小车的最小长度及滑块滑动过程中系统产生的热量Q。
高二物理·凌云班（课改）·秋
48
4
例5
★★★★
如图甲所示，木板A 静止在光滑水平面上，一小滑块B(可视为质点) 以某一水平初速度从木板的左端冲
上木板。
（1）若木板A 的质量为M，滑块B 的质量为m，初速度为v0，且滑块B 没有从木板A 的右端滑出，求木
板A 最终的速度v；
（2）若滑块B 以v1 = 3.0m/s 的初速度冲上木板A，木板A 最终速度的大小为v = 1.5m/s；若滑块B 以
初速度v2 = 7.5m/s 冲上木板A，木板A 最终速度的大小也为v = 1.5m/s。已知滑块B 与木板A 间
的动摩擦因数µ = 0.3，g 取10m/s2。求木板A 的长度L。
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49
4
达标检测3
★★★
子弹以一定的初速度射入放在光滑水平面上的木块中，并共同运动。下列说法中正确的是（ ）
A. 子弹克服阻力做的功等于木块动能的增加与摩擦生的热的总和
B. 木块对子弹做功的绝对值等于子弹对木块做的功
C. 木块对子弹的冲量大小等于子弹对木块的冲量大小
D. 系统损失的机械能等于子弹损失的动能和子弹对木块所做的功的差
达标检测4
★★★
如图，一颗质量为m 的子弹以水平初速度v0 打击一放在光滑水平面上的质量为M 的静止木块，子弹
未穿出．获得共速v 时，木块恰好发生的位移为s，子弹进入木块的深度为d．设子弹与木块间的滑动摩
擦力大小恒为f，则下列关系式正确的是（ ）
A. −f(s+d) = 1
2mv2 −1
2mv02
B. f(s+d) = 1
2Mv2
C. f ·d = 1
2Mv2
D. f ·d = 1
2mv02 −1
2(M +m)v2
达标检测5
★★★★
质量为M 的木块静止在光滑水平面上，一颗质量为m 的子弹，以水平速度击中木块，木块滑行距离s
后，子弹与木块以共同速度运动，子弹射入木块的深度为d。为表示该过程，甲、乙两同学分别画出了如
图所示的示意图。对于甲、乙两图的分析，下列说法中正确的是（ ）
A. 不论速度、质量大小关系如何，均是甲图正确
B. 不论速度、质量大小关系如何，均是乙图正确
C. 当子弹速度较大时甲图正确，当子弹速度较小时乙图正确
D. 当M > m 时甲图正确，当M < m 时乙图正确
高二物理·凌云班（课改）·秋
50
4
例6
★★★★
光滑水平面上放置一辆平板小车, 车上放着一个木块，之间夹一个轻弹簧，两端不连接。弹簧处于原长，
如图所示，一颗子弹以水平速度v0 = 100m/s 打入木块并留在其中（设作用时间极短）。子弹质量为
m0 = 0.05kg，木块质量为m1 = 0.95kg，小车质量为m2 = 4kg，各接触面的摩擦均忽略不计。求：
（1）子弹打入木块后瞬间二者的速度为多少?
（2）木块压缩弹簧的过程中，弹簧具有的最大弹性势能是多少?
（3）最终小车和木块的速度各是多少？
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51
4
课堂总结
高二物理·凌云班（课改）·秋
52
4
直击高考
考题
如图所示，装置的左边是足够长的光滑水平面，一轻质弹簧左端固定，右端连接着质量M = 2kg 的小物
块A。装置的中间是水平传送带，它与左右两边的台面等高，并能平滑对接。传送带始终以v = 2m/s 的
速率逆时针转动。装置的右边是一光滑的曲面，质量m = 1kg 的小物块B 从其上距水平台面h = 1.0m
处由静止释放。已知物块B 与传送带之间的摩擦因数µ = 0.2，l = 1.0m。设物块A、B 中间发生的是对
心弹性碰撞，第一次碰撞前物块A 静止且处于平衡状态。取g = 10m/s2。
（1）求物块B 与物块A 第一次碰撞前速度大小。
（2）通过计算说明物块B 与物块A 第一次碰撞后能否运动到右边曲面上？
（3）如果物块A、B 每次碰撞后，物块A 再回到平衡位置时都会立即被锁定，而当他们再次碰撞前锁定
被解除，试求出物块B 第n 次碰撞后的运动速度大小。
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53
4
答案（1）物块B 与物块A 第一次碰撞前速度大小是4m/s。
（2）物块B 与物块A 第一次碰撞后不能运动到右边曲面上。
（3）物块B 第n 次碰撞后的运动速度大小是(1
3)
n
v1。
解析（1）解：设物块B 沿光滑曲面下滑到水平位置时的速度大小为v0，
由机械能守恒知mgh = 1
2mv02，v0 = √2gh。
设物块B 在传送带上滑动过程中因受摩擦力所产生的加速度大小为a，µmg = ma，
设物块B 通过传送带后运动速度大小为v1，有v12 −v02 = −2al，
解得v1 = 4m/s。
由于v1 > v = 2m/s，所以v1 = 4m/s 即为物块B 与物块A 第一次碰撞前的速度大小。
（2）解：设物块A、B 第一次弹性碰撞后的速度分别为v1、v2，取向右为正方向，
由弹性碰撞，运用动量守恒，能量守恒得−mv1 = −mv2 −Mv1，1
2mv2 = 1
2mv22 + 1
2Mv12，
解得v2 = 1
3v1 = 4
3m/s，即碰撞后物块B 在水平台面向右匀速运动。
设物块B 在传送带上向右运动的最大位移为l′，则0−v22 = −2al′，l′ = 4
9m < 1m，
所以物块B 不能通过传送带运动到右边的曲面上。
（3）解：当物块B 在传送带上向右运动的速度为零时，将会沿传送带向左加速。可以判断，物块B 运动
到左边台面时的速度大小为v2，继而与物块A 发生第二次碰撞。
设第二次碰撞后物块B 速度大小为v3，同上计算可知v3 = 1
3v2 =
(
1
3
)2
v1
物块B 与物块A 第三次碰撞、第四次碰撞…，
碰撞后物块B 的速度大小依次为v4 = 1
3v3 =
(
1
3
)3
v1；v5 = 1
3v4 =
(
1
3
)4
v1…
则第n 次碰撞后物块B 的速度大小为vn =
(
1
3
)n
v1。
第5 讲
恒定电流
直击课堂
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55
5
学习目标
1. 理解电流的微观表达式，掌握部分电路欧姆定律和闭合电路欧姆定律；
2. 掌握电源的几种功率，理解最大输出功率的条件。
考情分析
高二物理·凌云班（课改）·秋
56
5
1
模块
1
欧姆定律
知识凝炼
1
电流
(1) 电流的定义式:I = q
t 。
(2) 电流的微观表达式:I = nqSv，式中n 表示单位体积内的自由电荷数，q 表示一个电荷的电荷量，S 表示
导体横截面积，v 表示电荷定向移动速度。
2
欧姆定律
(1) 欧姆定律: 导体中的电流跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即I = U
R 。
(2) 伏安特性曲线: 用纵坐标表示电流I、横坐标表示电压U，这样画出的I-U 图像叫做导体的伏安特性曲线。
(3) 欧姆定律的适用范围: 线性元件。
3
串并联电路
(1) 串联电路
电流:I干= I1 = I2 = I3 = ......
电压:U总= U1 +U2 +U3 +......
电阻:R总= R1 +R2 +R3 +......
(2) 并联电路
电流:I干= I1 +I2 +I3 +......
电压:U总= U1 = U2 = U3 = ......
电阻: 1
R总
= 1
R1
+ 1
R2
+ 1
R3
+......
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57
5
4
电阻定律
同种材料的导体，其电阻R 与它的长度l 成正比，与它的横截面积S 成反比。
公式:R = ρ l
S
其中比例系数ρ 与导体的材料有关，是表征材料性质的一个重要的物理量。在长度、横截面积一定的条件
下，ρ 越大，导体的电阻越大。ρ 叫做这种材料的电阻率。电阻率也与温度有关，一般情况下，金属导体电阻率
随温度升高而增大，热敏电阻电阻率随温度升高而减小。
精讲精练
例1
★★★
一根粗细均匀的导线，两端加上电压U 时，通过导线的电流为I，导线中自由电子定向移动的平均速率
为v。若将导线均匀拉长，使它的横截面半径变为原来的1
2，再给它两端加上电压U，则（ ）
A. 通过导线的电流为I
4
B. 通过导线的电流为I
16
C. 导线中自由电子定向移动速率为v
4
D. 导线中自由电子定向移动速率为v
2
达标检测1
★★★
小灯泡通电后其电流I 随所加电压U 变化的图线如图所示，P 为图线上一点，PN 为图线过P 点的切
线，PQ 为U 轴的垂线，PM 为I 轴的垂线。则下列说法中不正确的是（ ）
A. 随着所加电压的增大，小灯泡的电阻增大
B. 对应P 点，小灯泡的电阻为R = U1
I2
C. 对应P 点，小灯泡的电阻为R =
U1
I2 −I1
D. 对应P 点，小灯泡的功率为图中矩形PQOM 所围的面积
高二物理·凌云班（课改）·秋
58
5
2
模块
2
电功与电功率
知识凝炼
1
电功
导体中的自由电荷在电场力作用下发生定向移动，电场力对电荷做的功叫电功，W = qU = UIt。电流做功
是将电能转化为其他形式能的过程。电功的单位是焦耳，常用的还有千瓦时，简称度，符号kW ·h，1kW ·h =
3.6×106J 。
⑴焦耳定律：电流通过导体产生的热量跟电流的二次方成正比，跟导体的电阻及通电时间成正比，Q =
I2Rt。焦耳定律适用于一切电路，但只能计算热量。
⑵纯电阻电路和非纯电阻电路
①若电路中只含有电阻元件，且电流做功全部转化为内能，这种电路称为纯电阻电路；在纯电阻电路中，
Q = I2Rt = UIt = U2
R t ；
②若电路中含有电动机、电解槽等类似的用电器，电流做功不仅转化为内能，还转化为其他形式的能，这
种电路称为非纯电阻电路。在非纯电阻电路中，I̸ = U
R ，但求电热时，Q = I2Rt 仍然适用。
纯电阻和非纯电阻电路的能量转化示意图
电磁炉两端的电压
和通过电磁炉的电
流是否遵循欧姆定
律？
2
电功率
电功率是描述电流做功快慢的物理量，P = W
t = UI。
在纯电阻电路中，I = U
R ，所以有：W = UIt = I2Rt = U2
R t；P = UI = I2R = U2
R 。
非纯电阻元件的功率P总= UI，发热功率P热= I2R；
做其他功的功率P其它= P总−P热= UI −I2R 。
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59
5
精讲精练
达标检测2
★★★
下图所列的4 个图象中，最能正确地表示家庭常用的白炽电灯在不同电压下消耗的电功率P 与电压平
方U2 之间的函数关系的是以下哪个图象（ ）
达标检测3
★★★
当电阻两端加上某一稳定电压时，通过该电阻的电荷量为0.3C，消耗的电能为0.9J。为在相同时间内使
0.6C 的电荷量通过该电阻，在其两端需加的电压和消耗的电能分别是（ ）
A. 3V，1.8J
B. 3V，3.6J
C. 6V，1.8J
D. 6V，3.6J
例2
★★★★
在研究微型电动机的性能时，可采用如图所示的实验电路。当调节滑动变阻器R，使电动机停止转动时，
电流表和电压表的示数分别为0.5 A 和1.0 V；重新调节R，使电动机恢复正常运转时，电流表和电压表
的示数分别为2.0 A 和15.0 V。求这台电动机正常运转时的输出功率和电动机的线圈电阻。
高二物理·凌云班（课改）·秋
60
5
例3
★★★★正确率：80%
额定电压都是110V、额定功率PA = 110W 和PB = 40W 的电灯两盏，若接在电压是220V 的电路上，使
两盏电灯均能正常发光，且电路中消耗功率最小的电路是图中的（ ）
3
模块
3
闭合电路欧姆定律
知识凝炼
1
电动势
⑴电动势是描述电源非静电力做功能力的物理量，一般用E 表示。电动势在数值上等于非静电力把1C
的正电荷在电源内从负极移送到正极所做的功。
⑵定义式：若移送电荷q 时非静电力所做的功为W，则E = W
q 。
⑶单位：伏特，符号是V。
2
闭合电路欧姆定律
根据能量守恒定律，在闭合电路中，电源非静电力做功与内外消耗能量相
等，若外电路是纯电阻电路，则有W = Q内+Q外，即EIt = I2Rt +I2rt，整理后得
到E = IR+Ir。
闭合电路的电流跟电源的电动势成正比，跟内、外电路的电阻之和成反比，
I =
E
R+r。
其他形式：E = U内+U外；E = Ir +U；U = E −Ir；其中U 表示路端电压。
不能简单地认为电流总是从高电势流向低电势，由于电源内部存在非静电
力的作用，在电源内部电流从低电势流向高电势。
空调、电视等所使用
的遥控器中通常需
要两节干电池串联
提供约3V 的电压，
若调转其中一节电
池的方向，则遥控器
无法正常工作，这是
为什么？
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61
5
3
U −I 图象
对于一个电源来说，电动势和内阻是一定的，由闭合电路欧姆定律U = E −Ir，路端电压是干路电流的一
次函数。以I 为横坐标，U 为纵坐标，这个一次函数的图象是处于第一象限的一条向下倾斜的直线。
与横轴的交点表示路端电压为0，也就是短路时的情况，此时I端= E
r ；
与纵轴的交点表示干路电流等于0，也就是断路的情况，此时U = E；
斜率的绝对值等于内阻r。
4
电源输出功率
⑴电源总功率：P总= IE。
⑵电源的输出功率P出= IU。
⑶电源的内部发热功率：P热= I2r。
5
纯电阻电路中电源的输出功率P出、效率η
⑴电源的输出功率：P出= I2R =
E2
(R+r)2 R =
E2
R+ r2
R +2r
。可见当R = r 时电源的输出功率最大，且最大值
为E2
4r 。
如图所示，除最大输出功率外，同一输出功率P出将会有两个外电阻R1R2 与之对应。R1R2 与r 满足：
R1R2 = r2。
⑵电源的效率：η = P出
P总
= U
E 。对于纯电阻电路，η =
R
R+r，电源的效率η 随外电阻R 的变化关系如图所
示。外电路的电阻越大，电源的效率越高。
高二物理·凌云班（课改）·秋
62
5
精讲精练
例4
★★★
如图所示电路中，已知电源电动势E = 12V，内电阻r = 1.0Ω，电阻R1 = 9.0Ω、R2 = 15Ω、R3 = 30Ω。
(不计电流表的内阻) 求：
（1）电流表A⃝示数；
（2）电阻R3 消耗的电功率。
达标检测4
★★★★
如图所示为汽车蓄电池与车灯（电阻不变）、启动电动机组成的电路，蓄电池内阻为0.05Ω。电流表和电
压表均为理想电表，只接通S1 时，电流表示数为10A，电压表示数为12V；再接通S2，启动电动机工作
时，电流表示数变为8A，则此时通过启动电动机的电流是（ ）
A. 2A
B. 8A
C. 50A
D. 58A
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63
5
例5
★★★
正确率：72%
如图所示为某一电源的U −I 曲线，由图可知（ ）
A. 电源电动势为2V
B. 电源内电阻为1
3Ω
C. 电源短路时电流为6 A
D. 当电路路端电压为1V 时，电路中电流为5A
达标检测5
★★★
将一个电源与一电阻箱连接构成闭合回路，测得的电阻箱所消耗的功率P 与电阻箱的读数R 的关系如
图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 电源最大输出功率可能大于45W
B. 电源的内阻为5Ω
C. 电源的电动势为45V
D. 电阻箱消耗的功率为最大值时，电源的效率大于50%
例6
★★★★
如图，甲、乙两电路中电源电动势相同，内电阻r1 > r2，外电阻R 相同。两电路中分别流过相同的电荷量
的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 甲电路电源内部产生热量较多
B. 乙电路外电阻R 产生热量较少
C. 乙电路电源做功较多
D. 甲电路电源效率较高
高二物理·凌云班（课改）·秋
64
5
例7
★★★★
如图所示，在U −I 图像上，a、b、c 各点均表示该电路中的一个确定的工作状态，α = β = 45◦，则下列说
法正确的是（ ）
A. 在b 点时，电源有最小的输出功率
B. 在b 点时，电源的总功率最大
C. 从a →b，β 增大，电源的总功率和输出功率都增大
D. 从b →c，β 增大，电源的总功率和输出功率都减小
例8
★★★★
如图所示，直线A 为某电源的路端电压U 与电流I 的关系图象，曲线B 为某小灯泡的U −I 图象。当
用该电源和小灯泡组成闭合电路时，电源提供的总功率和输出功率分别是（ ）
A. 1.6W，0.8W
B. 0.8W，0.4W
C. 1.2W，0.8W
D. 0.6W，0.4W
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65
5
课堂总结
高二物理·凌云班（课改）·秋
66
5
直击高考
考题
正确率：55%
一根长为L、横截面积为S 的金属棒，其材料的电阻率为ρ，棒内单位体积自由电子数为n，电子的质量
为m，电荷量为e；在棒两端加上恒定的电压时，棒内产生电流，自由电子定向移动的平均速率为v，则
金属棒内的电场强度大小为（ ）
A. mv2
2eL
B. mv2Sn
e
C. ρnev
D. ρev
SL
答案
C
解析
由某一横截面开始，向后取一段长度为vt 的导线长度，则t 内通过该横截面的电荷量为Q = nvtSe，
由电流的定义可知I = Q
t = nvSe，
则金属棒两端的电压为U = IR = I ·ρ L
S = nvρLe，
金属棒内的电场强度E = U
L = ρnve，故C 正确。
第6 讲
电学实验Ⅰ
直击课堂
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69
6
学习目标
1. 会分析动态电路及含容电路；
2. 理解电流表内外接的误差分析及滑动变阻器的接法和特点；
3. 掌握实验器材选择的原则及方法；
4. 掌握伏安法测电阻的原理及注意事项。
高二物理·凌云班（课改）·秋
70
6
1
模块
1
动态电路
精讲精练
例1
★★★
如图所示电路中，电源内阻r 不能忽略，两个电压表均为理想电表。已知R1 = 10Ω，r = 2Ω，滑动变阻器
R2 的最大阻值为20Ω。当滑动变阻器R2 的滑动触头P 移动时，下列判断正确的是（ ）
A. P 从b 端向a 端移动过程中，R2 消耗的功率先增大后减小
B. P 从a 端向b 端移动过程中，R1 消耗的功率先减小后增大
C. P 从b 端向a 端移动过程中，V1 的示数一直增大
D. P 从a 端向b 端移动过程中，V1 的示数与电池内电阻分压之和一直增大
达标检测1
★★★★正确率：83%
如图所示，电动势为E、内阻不计的电源与三个灯泡和三个电阻相接，只合上开关S1，三个灯泡都能正
常工作，如果再合上S2，则下列表述中正确的是（ ）
A. 电源输出功率减小
B. L1 上消耗的功率增大
C. 通过R1 上的电流增大
D. 通过R3 上的电流增大
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71
6
例2
★★★
如图所示，电池的内阻可以忽略不计，电压表和可变电阻器R 串联接成通路，如果可变电阻器R 的值减
为原来的1
3 时，电压表的读数由U0 增加到2U0，则下列说法正确的是（ ）
A. 流过可变电阻器R 的电流增大为原来的2 倍
B. 可变电阻器R 消耗的电功率增加为原来的4 倍
C. 可变电阻器R 两端的电压减小为原来的2
3
D. 若可变电阻器R 的阻值减小到零，那么电压表的示数变为4U0
达标检测2
★★★★
如图所示电路，开关S 原来是闭合的，当滑动变阻器R1 和R2 的滑片刚好处于各自的中点位置时，悬在
空气平行板电容器C 两水平极板间的带电尘埃P 恰好处于静止状态。要使尘埃P 向下做加速运动，下
列方法中可行的是（ ）
A. 把R1 的滑片向左移动
B. 把R2 的滑片向左移动
C. 把R2 的滑片向右移动
D. 把开关S 断开
例3
★★★★
压敏电阻的阻值R 随所受压力的增大而减小，某兴趣小组利用压敏电阻设计了判断电梯运动状态的装
置，其装置示意图如图甲所示。将压敏电阻平放在电梯内，受压面朝上，在上面放一物体A，电梯静止时
电压表示数为U0，电梯在某次运动过程中，电压表的示数随时间变化情况如图乙所示，下列判断中正确
的是（ ）
A. 乙图表示电梯可能匀速下降
B. 乙图表示电梯可能匀减速下降
C. 乙图表示电梯可能变减速上升
D. 乙图表示电梯可能变减速下降
高二物理·凌云班（课改）·秋
72
6
2
模块
2
伏安法测电阻
知识凝炼
一、测量电路——电流表的内、外接法
电流表外接法
如图甲，电压表能够准确测出R 两端的电压，而电流表测量的是通过R 和电压表的总电流。
为尽量准确地测出电阻R，采用这种接法的前提是：电压表内阻远大于R。
电流表内接法
如图乙，电流表能够准确测出通过R 的电流，而电压表测量的是加在电流表和R 两端的总电压。
为减小实验误差，采用这种接法的前提是：电流表内阻远小于R。
1
伏安法测电阻的误差主要来自于电表对电路的影响。
内接法中，电压表读数UV = UR +UA，电流表读数IA = IR，所以R测= UV
IA
> UR
IR
= R真，测量值偏大。
外接法中，电压表读数UV = UR，电流表读数IA = IR+IV，所以R测= UV
IA
< UR
IR
= R真，测量值偏小。
2
电流表内、外接法的选择
⑴计算法看倍数关系：根据题给数据估算。若Rx
RA
> RV
Rx
，或R2
x > RVRA，应采用内接法；若Rx
RA
< RV
Rx
，或
R2
x < RVRA，应采用外接法。也可以这么说，
“小电阻”用外接法，
“大电阻”用内接法。
⑵试触法看相对变化：按图接好电路，用电压表的一根接头P 先后与a、b 处试触。若电流表“相对变化”
明显，说明电压表分流作用较大，应采用电流表内接法；若电压表“相对变化”明显，说明电流表分压作用较大，
应采用电流表外接法。
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73
6
二、调节电路——滑动变阻器的限流、分压接法
1
选择调节电路接法的基本原则：
（1）通常情况下(满足安全条件)，由于限流电路能耗较小，电路结构简单，因此应优先考虑。例如：当负载
电阻的阻值Rx 小于变阻器总电阻R 或相差不多时，若两种电路都可以对负载的电流和电压有明显的调节，或
两种电路都满足实验要求，且电压、电流变化不要求从零调起，则多采用限流式接法，这样的接法电源负担轻，
能耗小。
（2）在下列情况下必须采用分压接法。
①负载电阻的阻值远大于变阻器的总电阻，须用分压式电路。若接成限流式，当改变滑动变阻器的阻值
时，电路中电流变化不明显，测得的电压和电流取值范围小。
②要求负载上电压或电流变化范围较大，或者需要从零开始连接可调，须用分压式接法。
③若电源的电动势较大，负载电阻及滑动变阻器的总阻值不大，如果实验所提供的电表量程或其它元件
允许通过的最大电流很小，若采用限流接法，无论怎样调节，电路中实际电流(或电压) 都会超过电表量程或元
件允许的最大电流(或电压)，为了保护电表或其它元件，必须采用分压接法。
2
仪器的选择一般应考虑三方面的因素：
⑴安全性：如各电表的读数不能超过量程，电阻类元件的电流不应超过其最大允许电流等。
⑵精确性：如选用电表量程应考虑尽可能减小测量值的相对误差，电压表、电流表在使用时，要用尽可能
使指针接近满刻度的量程，其指针应偏转到满刻度的1/2 到2/3 以上。
⑶操作性：如选用滑动变阻器时应既能满足实验要求，又便于调节，滑动变阻器调节时应用到大部分电阻
线，否则不便于操作。
3
具体电路器材的选择。
⑴电流表和电压表的选择原则是第一要安全，第二要准确。准确是指在可用的电流表、电压表测量范围
内，尽可能选用量程小一些的电表，因为电流表、电压表在测量时指针偏转角越大，相对误差越小。例如电流电
压为6V，可供选择的电压表有3V 和15V 两个电压表。从安全考虑只能选15V 电压表。如电源电压为4V，可
供选择的电压表有6V 和9V 两个电压表。则应选6V 电压表。
高二物理·凌云班（课改）·秋
74
6
⑵电源的选择原则是第一能用，第二是经济。例如为保证6V、6W 的用电器能正常工作，可供选择的电源
有6V、1Ω和9V、1Ω的两个电源。则应选9V 的电源。若两电源都是内阻极小而可忽略不计的电源。则应选
6V 的电源。
⑶滑动变阻器的选择原则第一是能用，第二是方便。所有滑动变阻器的铭牌上都标明该滑动变阻器的最
大阻值和允许通过的最大电流。因此，滑动变阻器的选择首先看实验时通过滑动变阻器的电流是否在其允许范
围之内，然后看滑动变阻器的电阻和电路中其他总电阻是否相当，例如电路总电阻约为300Ω，选择滑动变阻器
连接限流电路，可供选择的滑动变阻器的最大电阻有20Ω、200Ω、20kΩ、则应选择200Ω，因为20Ω太小，可调
范围小，20kΩ太大，调节极不方便。
4
选择器材的步骤
①根据实验要求设计合理的实验电路。
②估算电路中电流和电压可能达到的最大值，以此选择电流表和电压表及量程。
③根据电路选择滑动变阻器。
精讲精练
例4
★★★
在伏安法测电阻的实验中，待测电阻Rx 约为200Ω，电压表的内阻约为2kΩ，电流表的内阻约为10Ω，
测量电路中电流表的连接方式如图甲或图乙所示，结果由公式Rx = U
I 计算得出，式中U 与I 分别为
电压表和电流表的示数。若将图甲和图乙中电路测得的电阻值分别记为Rx1 和Rx2，则
（填
“Rx1”或“Rx2”）更接近待测电阻的真实值，且测量值Rx1
（填“大于”
“等于”或“小于”）真实值，
测量值Rx2
（填“大于”
“等于”或“小于”）真实值。
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75
6
例5
★★★
某同学测量阻值约为25kΩ的电阻Rx，现备有下列器材：
A. 电流表（量程100µ A，内阻约2kΩ）；
B. 电流表（量程500µ A，内阻约300Ω）；
C. 电压表（量程15V，内阻约100kΩ）；
D. 电压表（量程50V，内阻约500kΩ）；
E. 直流电源（20V，允许最大电流1A）；
F. 滑动变阻器（最大阻值1kΩ，额定功率1W）；
G. 电键和导线若干。
电流表应选
，电压表应选
。(填字母代号)
该同学正确选择仪器后连接了以下电路，为保证实验顺利进行，并使测量误差尽量减小，实验前请你检
查该电路，指出电路在接线上存在的问题：
；
。
例6
★★★
在“描绘小灯泡的伏安特性曲线”的实验中，使用的小灯泡为“6V，3W”，其他供选择的器材有：
电压表V1（量程6V，内阻20kΩ）；电流表A1（量程3A，内阻0.2Ω）；
电流表A2（量程0.6A ，内阻1Ω）；滑动变阻器R1（最大阻值1000Ω，0.5A）；
滑动变阻器R2（最大阻值20Ω，2A）；电源E（电动势8V，内阻不计）；开关及导线若干。
实验要求在电压表0 ∼6V 范围内读取12 组不同的电压值U 和对应的电流值I，且要求电表示数从零
开始，以便做出伏安特性曲线。则在上述器材中，电流表应选
，变阻器应选
，画出此实
验的电路图。
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76
6
3
模块
3
伏安法测电阻率
知识凝炼
1
实验原理
根据电阻定律R = ρ L
S ，只要测出金属导线的长度L 和它的直径d，计算出导线的横截面积S，用伏安法测
量出金属导线的电阻R，即可计算出金属导线的电阻率。
2
实验器材
螺旋测微器、毫米刻度尺、电压表、电流表、滑动变阻器、电池组、电键及导线、被测金属导线。
3
实验步骤
⑴直径测定：用螺旋测微器在被测金属导线上的三个不同位置各测一次直径，求出其平均值d，计算出导
线的横截面积S = πd2
4 。
⑵电路连接：连接好用伏安法测电阻的实验电路。
⑶长度测量：用毫米刻度尺测量接入电路中的被测金属导线的有效长度，反复测量3 次，求其平均值l。
⑷U、I 测量：把滑动变阻器的滑动片调节到使接入电路中的电阻值最大的位置，电路经检查确认无误后，
闭合开关S，改变滑动变阻器滑动片的位置，读出几组相应的电流表、电压表的示数I 和U 的值，填入记录表格
内，断开开关S，求出金属导线电阻R 的平均值。
⑸拆除电路，整理好实验器材。
4
数据处理
⑴在求R 的平均值时可用两种方法
(a) 用R = U
I 分别算出各次的数值，再取平均值。
(b) 用U-I 图线的斜率求出。
⑵计算电阻率：将记录的数据R、l、d 的值代入电阻率计算式ρ = R l
S = πd2U
4lI 。
5
误差分析
⑴金属丝的横截面积是利用直径计算而得，直径的测量是产生误差的主要来源之一。
⑵采用伏安法测量金属丝的电阻时，由于采用的是电流表外接法，测量值小于真实值，使电阻率的测量值
偏小。
⑶金属丝的长度测量、电流表和电压表的读数等也会带来偶然误差。
⑷由于金属丝通电后发热升温，会使金属丝的电阻率变大，造成测量误差。
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77
6
6
注意事项
⑴本实验中被测金属导线的电阻值较小，因此实验电路一般采用电流表外接法。
⑵测量被测金属导线的有效长度，是指测量待测导线接入电路的两个端点之间的长度，亦即电压表两端
点间的待测导线长度，测量时应将导线拉直，反复测量三次，求其平均值。
⑶闭合开关S 之前，一定要使滑动变阻器的滑片处在有效电阻值最大的位置。
⑷在用伏安法测电阻时，通过待测导线的电流强度I 不宜过大(电流表用0˜0.6A 量程)，通电时间不宜过
长，以免金属导线的温度明显升高，造成其电阻率在实验过程中逐渐增大。
⑸求R 的平均值时若采用图象法，在描点时，要尽量使各点间的距离拉大一些，连线时要尽可能地让各点
均匀分布在直线的两侧，个别明显偏离较远的点可以不予考虑。
7
游标卡尺和螺旋测微器的读数
⑴游标卡尺的读数(不估读)
①以游标尺零刻线位置为准，在主尺上读取整毫米数L。
②若游标尺上第n 条刻线与主尺上某一刻线(不管是第几条刻线) 对齐，则由游标尺上读出毫米以下的小
数为n∆L，式中∆L 为该游标卡尺的精度(0.1mm、0.05mm 或0.02mm)。
③总的读数为(L+n∆L)。
⑵螺旋测微器的读数
①先从固定刻度上读出露出的刻度值。注意：固定刻度上有整毫米和半毫米两行刻度线，若半毫米刻度线
未露出，则只读其整毫米部分；若半毫米刻度线已露出，则连半毫米读出。
②在可动刻度上读出半毫米以下部分，并估读一位。
③总的读数= 固定刻度示数(整毫米数+ 半毫米数)+ 可动刻度示数(含估读)×0.01mm，注意单位为mm。
精讲精练
例7
★★★
用螺旋测微器和游标卡尺(10 分度) 测某段圆柱形导体的直径和长度时，如图所示，直径为
mm，
长度为
mm。
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78
6
例8
在“测定金属的电阻率”实验中，所用测量仪器均已校准。待测金属丝接入电路部分的长度约为50cm。
（1）★★★★正确率：87%
用螺旋测微器测量金属丝的直径，其中某一次测量结果如图1 所示，其读数应为
mm（该值
接近多次测量的平均值）。
（2）正确率：93%
用伏安法测金属丝的电阻Rx。实验所用器材为：电池组(电动势为3V，内阻约1Ω)、电流表(内阻约
0.1Ω)、电压表(内阻约3kΩ)、滑动变阻器R (0 ∼20Ω，额定电流2A)、开关、导线若干。
某小组同学利用以上器材正确连接好电路，进行实验测量，记录数据如下：
由以上数据可知，他们测量Rx 是采用图2 中的
图(选填“甲”或“乙”)。
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79
6
（3）正确率：70%
图3 是测量Rx 的实验器材实物图，图中已连接了部分导线，滑动变阻器的滑片P 置于变阻器的一
端。请根据(2) 所选的电路图，补充完成图3 中实物间的连线，并使闭合开关的瞬间，电压表或电流
表不至于被烧坏。
（4）这个小组的同学在坐标纸上建立U −I 坐标系，如图4 所示，图中已标出了测量数据对应的4 个坐
标点。请在图4 中标出第2、4、6 次测量数据坐标点，并描绘出U −I 图线。由图线得到金属丝的阻
值Rx =
Ω(保留两位有效数字)。
（5）根据以上数据可以估算出金属丝的电阻率约为（ ）
A. 1×10−2Ω·m
B. 1×10−3Ω·m
C. 1×10−6Ω·m
D. 1×10−8Ω·m
（6）正确率：71%
任何实验测量都存在误差。本实验所用测量仪器均已校准，下列关于误差的说法中正确的选项是
（ ）
A. 用螺旋测微器测量金属丝直径时，由于读数引起的误差属于系统误差
B. 由于电流表和电压表内阻引起的误差属于偶然误差
C. 若将电流表和电压表内阻计算在内，可以消除由测量仪表引起的系统误差
D. 用U −I 图象处理数据求金属丝电阻可以减小偶然误差
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80
6
课堂总结
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81
6
直击高考
考题
实验室购买了一捆标称长度为100m 的铜导线，某同学想通过实验测其实际长度，该同学首先测得导
线横截面积为1.0mm2，查得铜的电阻率为1.7×10−8Ω·m，再利用图甲所示电路测出铜导线的电阻Rx，
从而确定导线的实际长度。可供使用的器材有：
电流表：量程0.6A，内阻约0.2Ω；
电压表：量程3V，内阻约9kΩ；
滑动变阻器R1：最大阻值5Ω；
滑动变阻器R2：最大阻值20Ω；
定值电阻：R0 = 3Ω；
电源：电动势6V，内阻可不计；
开关、导线若干。
（1）实验中，滑动变阻器应选
(填“R1”或“R2”)，闭合开关S 前应将滑片移至
端(填“a”
或“b”)。
（2）在图丙实物图中，已正确连接了部分导线，请根据图甲电路完成剩余部分的连接。
（3）调节滑动变阻器，当电流表的读数为0.50A 时，电压表示数如图乙所示，读数为
V。
（4）导线实际长度为
m(保留2 位有效数字)。
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82
6
答案（1）R2a
（2）见解析
（3）2.30
（4）94
解析（1）本实验采用限流法测电阻，所以滑动变阻器的最大阻值应为R0 和Rx 总阻值的4 倍以上，R0 = 3Ω，
所以滑动变阻器选R2，闭合开关S 前应将滑片移至阻值最大处，即a 处。
（2）根据实验电路图，连接实物图。
（3）因为电压表最小刻度是0.1V，读数时应估读到0.01V，根据图乙读出电压U = 2.30V。
（4）根据欧姆定律得：R0 +Rx = U
I = 2.30
0.5 Ω= 4.6Ω
解得：Rx = 1.6Ω根据电阻定律得：
Rx = ρ L
S
解得：L = RxS
ρ
= 1.6×1×10−6
1.7×10−8
m ≈94m。
第7 讲
电学实验Ⅱ
直击课堂
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85
7
学习目标
1. 知道描绘小灯泡的伏安特性曲线的原理，会分析曲线的变化规律；
2. 会根据小灯泡的规格选择实验器材；
3. 知道伏安法测电源电动势与内阻的原理及器材选择，会对实验误差进行分析；
4. 知道其他测电源电动势和内阻的方法。
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86
7
1
模块
1
小灯泡伏安特性曲线
知识凝炼
1
实验目的
描绘小灯泡的伏安特性曲线，分析曲线的变化规律。
2
实验原理
金属导体的电阻率随温度的升高而增大，从而使金属导体的电阻随温度的升高而增大，对一只小灯泡来
说，不发光、不正常发光和正常发光时的灯丝的电阻值可能相差几倍或几十倍。因此，它的伏安特性曲线应该是
一条曲线。
3
实验器材
4-6V 直流学生电源、小灯泡、电流表、电压表、滑动变阻器、开关和导线、坐标纸。
4
实验步骤
(1) 确定电流表、电压表的量程，使开关处于断开状态，按图所示的原理电路图连接好电路。
(2) 将滑动变阻器的滑动片调至滑动变阻器的A 端，电路检查无误后，闭合开关S。
(3) 改变滑动变阻器滑动片的位置，读出几组相应的电流表、电压表的示数I 和U，记入记录表格内，断开
开关S。
(4) 在坐标纸上建立一个直角坐标系，纵轴表示电流强度I，横轴表示电压U，对实验数据进行描点，用平滑
曲线将各数据点连接起来，便得到伏安特性曲线。
(5) 拆去实验线路，整理实验器材。
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87
7
5
注意事项
(1) 小灯泡(3.8V，0.3A) 的电阻很小，当它与0-0.6A 的电流表串联时，电流表的分压影响很大，故为准确测
出小灯泡的伏安特性曲线，即U、I 的值，电流表应采用外接法；为使小灯泡上的电压能从0 开始连续变化，滑
动变阻器应采用分压式连接。
(2) 闭合开关S 前，滑动变阻器触头应移到一端，以使开关闭合时灯泡电压能从0 开始变化，同时，这样做
也防止开关刚闭合时电灯两端电压过大而烧坏灯丝。
(3) I −U 图线在U0 = 1.0V 左右将发生明显弯曲，故在U = 1.0V 左右测绘点要密，否则将出现很大误差。
(4) 电流表选择0.6A 量程，电压表量程选择视小灯泡的额定电压而定，即使用的若是“3.8V，0.3A”的小灯
泡，选用电压表的15V 量程，若选用“2.5V，0.6A”的小灯泡，则选用电压表的3V 量程。
(5) 电压接近额定电压值时，一定要缓慢移动触头的位置，当电压表指针在额定电压处时，测出I 后，要马
上断开开关。
(6) 画I −U 曲线时不要画成折线，而应画成平滑的曲线，误差较大的点应当舍去。
6
误差分析
(1) 由于电压表的分流影响，使电流表示数总大于流过小灯泡的真实电流，使I −U 曲线产生误差。
(2) 由于灯丝的电阻率随温度升高而变化，灯泡的电阻发生变化。导致在I −U 曲线发生剧烈弯曲的部分，
所测数据不密集而使描绘的I −U 曲线产生误差。
(3) 由于人为因素(如读数、描点) 产生误差。
精讲精练
例1
★★★
某同学在做“描绘小灯泡的伏安特性曲线”的实验中，所使用电流表的内阻约为几欧姆，电压表的内阻约
为十几千欧姆。在尽量减小实验误差的基础上，该同学得到了8 组数据，在图甲所示的I −U 坐标系中，
通过描点、连线得到了小灯泡的伏安特性曲线。
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88
7
（1）请你判断实验电路的连接方式，根据你的判断在虚线框中画出实验电路图，并在图乙中连接实物图。
（2）正确率：71%
根据图甲，可确定小灯泡的功率P 与U2、I2 的关系，下列示意图中正确的是（ ）
（3）将此小灯泡与一定值电阻R 和电源串联成如图电路。电源的电动势为6.0V，内阻为1.0Ω，现测得
电路中的电流为0.40A，则定值电阻R 消耗的电功率为
W。
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89
7
例2
★★★★
有一额定电压为2.8V、额定功率为0.56W 的小灯泡，现要描绘这个小灯泡的伏安特性曲线。有下列器
材可供选用
A. 电压表（量程0 ～3V 内阻约6kΩ）
B. 电压表（量程0 ～6V 内阻约20kΩ）
C. 电流表（量程0 ～0.6A 内阻约0.5Ω）
D. 电流表（量程0 ～200mA 内阻约20Ω）
E. 滑动变阻器（最大电阻10Ω，允许最大电流2A）
F. 滑动变阻器（最大电阻200Ω，允许最大电流150mA）
G. 三节干电池（电动势约为4.5V）
H. 开关、导线若干
（1）为提高实验的精确程度，电压表应选用
；电流表应选用
；滑动变阻器应选用
。
（以上均填器材前的序号）
（2）请在图（甲）的虚线框内画出描绘小灯泡伏安特性曲线的电路图。
（3）通过实验描绘出小灯泡的伏安特性曲线如图（乙）所示，某同学将一电源（电动势E = 2V，内阻
r = 5Ω）与此小灯泡直接连接时，小灯泡的实际功率是
W。
（保留两位有效数字）
高二物理·凌云班（课改）·秋
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7
2
模块
2
伏安法测电源电动势与内阻
知识凝炼
1
实验目的
测定电源的电动势和内电阻。
2
实验原理
(1) 根据闭合电路欧姆定律有E = U +Ir。对一个给定的电池，E 和r 是一定的，I 和U 都随负载电阻R 的
改变而改变。如图，只要改变R 的阻值，即可测出两组I 和U 数据，然后代入方程组，
(2) 用作图法来处理数据。即在坐标纸上以I 为横坐标，U 为纵坐标，用测出的几组I、U 值画出U −I 图
象，图象为一条直线，如图，直线与U 坐标轴的交点表示I = 0，属于断路情况，这时的电压U 等于电源的电动
势；直线与坐标轴I 的交点表示U = 0，属于短路情况，这时的电流I 等于电源的短路电流，根据r = E
I短
可求
出电源的内阻r。
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91
7
3
实验器材
被测电池(一节旧干电池)、电流表、电压表、滑动变阻器、开关和导线。
4
实验步骤
(1) 电流表用0.6A 量程，电压表用3V 量程，按图连接好电路。
(2) 把变阻器的滑动片移动到一端使阻值最大。
(3) 闭合开关，调节变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据(I1，U1)，用同样方法测量出几组I、U 值，
记在提前设计的表格中。
(4) 断开开关，整理好器材。
(5) 处理数据，用公式法和作图法两种方法求出电动势和内电阻的值。
5
注意事项
(1) 为了使电池的路端电压变化明显，电池的内阻宜大些(选用已使用过一段时间的干电池)。
(2) 画U −I 图线时，要使较多的点落在这条直线上或使各点均匀分布在直线的两侧，个别偏离直线太远的
点可舍去不考虑，这样，就可使偶然误差得到部分的抵消，从而提高精确度。
(3) 本实验由于干电池内阻较小，路端电压U 的变化也较小，这时画U −I 图线时，纵轴的刻度可以不从零
开始，而是根据测得的数据从某一恰当值开始(横坐标I 必须从零开始)。但这时图线和横轴的交点不再是短路
电流，而图线在纵轴的截距仍为电动势E，图线斜率的绝对值仍为内阻r。
6
误差分析
(1) 由读数视差引起偶然误差。
(2) 测量电路存在系统误差，I真= I测+IV 中未考虑电压表的分流作用。
(3) 用图象法求E 和r 时，由于作图不准确造成的偶然误差。
7
测定电源电动势和内电阻的其他方法
(1) 用一只电流表和电阻箱测量，电路如图甲所示，测量原理为：E = I1(R1 +r)，E = I2(R2 +r)，由此可求出
E 和r。
(2) 用一只电压表和电阻箱测量，电路如图乙所示，测量原理为E = U1 + U1
R1
r，E = U2 + U2
R2
r，由此可求出E
和r。
高二物理·凌云班（课改）·秋
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7
精讲精练
例3
★★★
某同学采用如图甲所示的电路测定电源的电动势和内阻，已知：
干电池的电动势约为1.5V，内阻约为1Ω
电压表(量程3V，内阻3kΩ)
电流表(量程0.6A，内阻1.0Ω)
滑动变阻器R1(最大阻值10Ω，额定电流2A)
滑动变阻器R2(最大阻值100Ω，额定电流0.1A)
（1）实验中滑动变阻器应选用
。(选填“R1”或“R2”)
（2）根据图甲，在图乙中连接实物电路图。
（3）在实验中测得多组电压和电流值，得到如图丙所示的U −I 图象，根据图象可求出电源的电动势
E =
V，内阻r =
Ω。
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93
7
例4
★★★★
利用电流表和电压表测定一节干电池的电动势和内电阻，要求尽量减小实验误差。
（1）正确率：71%
应该选择的实验电路是图1 中的
（选填“甲”或“乙”）。
（2）正确率：74%
现有电流表（0 ∼0.6A）、开关和导线若干，以及以下器材：
A. 电压表（0 ∼15V）
B. 电压表（0 ∼3V）
C. 滑动变阻器（0 ∼50Ω）
D. 滑动变阻器（0 ∼500Ω）
实验中电压表应选用
；滑动变阻器应选用
。
（选填相应器材前的字母）
（3）某位同学记录的6 组数据如下表所示，其中5 组数据的对应点已经标在图2 的坐标纸上，请标出余
下一组数据的对应点，并画出U −I 图象。
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94
7
（4）正确率：52%
根据上题中所得电源的U −I 图象可得出干电池的电动势E =
V，内电阻r =
Ω。
（5）正确率：48%
实验中，随着滑动变阻器滑片的移动，电压表的示数U 以及干电池的输出功率P 都会发生变化。下
列示意图中正确反映P−U 关系的是（ ）
达标检测1
★★★
正确率：40%
测定电池的电动势和内阻，除待测电池、开关和导线外，配合下列哪些仪器，可以达到实验目的（ ）
A. 一只电压表和一个电阻箱
B. 一只电流表、一只电压表和一个滑动变阻器
C. 一只电流表和一个电阻箱
D. 一只电流表和一个滑动变阻器
例5
★★★★如图为测定电源电动势和内电阻的几个实验电路，回答下列问题。
（1）由于伏特表内阻不是无穷大，安培表内阻也不是零，这些都会对实验结果造成影响。
①四个电路图中，
(选填甲、乙、丙、丁) 电动势和内电阻测量值都偏小。
②四个电路图中，
(选填甲、乙、丙、丁) 电动势的测量值无系统误差。
（2）若甲图中安培表可视为理想电表，采用图像法处理测量数据。若纵坐标为电阻箱的读数R，则横坐
标为
(选填I 或1
I ) 此时描点连线所得才为一条直线。该直线的斜率表示
(用物理
量符号表示)；直线与纵轴截距绝对值表示
(用物理量符号表示)
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7
课堂总结
高二物理·凌云班（课改）·秋
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7
直击高考
考题
某兴趣小组探究用不同方法测定干电池的电动势和内阻，他们提出的实验方案中有如下四种器材组
合。为使实验结果尽可能准确，最不可取的一组器材是（ ）
A. 一个安培表、一个伏特表和一个滑动变阻器
B. 一个伏特表和一个电阻箱
C. 一个安培表和一个电阻箱
D. 两个安培表和一个滑动变阻器
答案
D
解析
解：A 中根据闭合回路欧姆定律可得E = U +Ir，可测量多组数据列式求解，A 正确；B 中根据欧姆定律
可得E = U
R (r +R)，测量多组数据可求解，B 正确；C 中根据欧姆定律可得E = I(R+r)，可测量多组数
据列式求解，C 正确；D 中两个安培表和一个滑动变阻器，由于不知道滑动变阻器的电阻，故无法测量，
D 错误。
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参考答案
第1 讲
动量定理
思考探究
p.8
通过动能定理求出的平均作用力与通过动量定理求出的平均作用力不相同，前者是力对空间的平
均、后者是力对时间的平均，以我们在高二下学期将要弹簧振子的简谐运动为例，该运动过程中力
随空间均匀变化、随时间的变化关系（F −t 图象）为三角函数。
p.9
流体在∆t 时间内射到某一平面上的流体质量为∆M，则∆M = ρs(v−v1)∆t，选取∆M 为研究对
象, 则F = ∆M (v−v1)
∆t
= ρs(v−v1)2。
第2 讲
动量守恒定律
思考探究
p.16
动量守恒，机械能不守恒，碰撞后机械能减少、转化成汽车的内能。
p.20
比冲的单位是“秒”，可以使用热值更高的燃料、提高燃料的燃烧效率、优化火箭发动机喷口形状
设计等方式，提高火箭的比冲。
第4 讲
类碰撞
思考探究
p.43
弹簧最长时，A、B 再次共速，由系统动量守恒可知，共速的速度大小为
m1v
m1 +m2 ，弹簧再次恢复原
长时，A、B 相互靠近，此时A、B 的速度满足弹性碰撞方程组的碰前解，即A 的速度为v。
高二物理·凌云班（课改）·秋
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第5 讲
恒定电流
思考探究
p.58
电磁炉的工作原理是，交流电通过电磁炉中线圈产生交变的磁场，引起金属锅中的涡旋电流，进而
发热，因此，电磁炉本身几乎不发热，而是通过其中的线圈将大部分电能转化成了磁场能，电磁炉
两端的电压和电阻不满足欧姆定律。
