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1
直线型
1
2 点共线线共点
2
3 四点共圆1
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4 四点共圆2
4
5 三角形特殊点1
5
6 三角形特殊点2
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7 根轴
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第1 讲
直线型
1
2019 秋高二数学实验班作业
第1 讲
第1 讲
直线型
1. 设P 为△ABC 内一点，Q 为其等角共轭点，求证：
AP·AQ·BC +BP·BQ·AC +CP·CQ·AB = AB·BC ·CA．
2. 在边长为a、b、c 和各边所对的内角为α、β、γ 的△ABC 内有点P、Q，使得∠BPC = ∠CPA =
∠APB = 120◦，∠BQC = 60◦+α，∠CQA = 60◦+β，∠AQB = 60◦+γ．
证明：(AP+BP+CP)3AQ·BQ·CQ = (abc)2．
2
2019 秋高二数学实验班作业
第2 讲
第2 讲
点共线线共点
1. 已知△ABC 的内切圆⊙I 与边BC、CA、AB 分别切于点D、E、F，直线ID 与线段EF 交于点K，
M 是边BC 的中点．证明：A、K、M 三点共线．
2. 设凸四边形的外接圆、内切圆的圆心分别为O、I，对角线AC 与BD 交于点P．证明：O、I、P 三
点共线．
第3 讲
四点共圆1
3
2019 秋高二数学实验班作业
第3 讲
第3 讲
四点共圆1
1. 在凸四边形ABCD 中，对角线BD 既不是∠ABC 的角平分线，也不是∠CDA 的平分线，点P 在
四边形ABCD 内部，满足∠PBC = ∠DBA，∠PDC = ∠BDA．证明：四边形ABCD 为圆内接四边
形的充分必要条件是AP = CP．
2. 已知BE、CF 为锐角△ABC 的两条高线，经过点A、F 的两个圆分别与BC 切于点P、Q，点B 位
于点C、Q 之间，证明：PE 与QF 的交点在△AEF 的外接圆上．
4
2019 秋高二数学实验班作业
第4 讲
第4 讲
四点共圆2
1. 在锐角△ABC 中，已知P、Q 为边BC 上的两个点，作QC1//CA，与△ABP 的外接圆交于点C1，
且C1 和Q 在直线AB 的异侧，作QB1//BA，与△ACP 的外接圆交于点B1，且B1 和Q 在直线
AC 的异侧，证明：B1、C1、Q、P 四点共圆．
2. 设△ABC 的外接圆为圆Γ，∠A = 90◦，∠B < ∠C，过点A 作圆Γ 的切线与BC 交于点D，E 是点
A 关于BC 的对称点，点A 在BE 上的投影为X，Y 为边AX 的中点，BY 与圆Γ 的第二个交点
为Z．证明：BD 与△ADZ 的外接圆相切．
第5 讲
三角形特殊点1
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2019 秋高二数学实验班作业
第5 讲
第5 讲
三角形特殊点1
1. 已知锐角△ABC 满足AB̸ = AC，H 为点A 在边BC 上的投影，P、Q 分别为AB、AC 延长线上的
点．若B、C、Q、P 四点共圆，且满足HP = HQ，证明：H 为△APQ 的外心．
2. 过⊙O 外一点P 向⊙O 作两条切线，切点分别为A、B，记AB 的中点为M，线段AM 的垂直
平分线与⊙O 交于点C(在△ABC 内部)，直线AC 与PM 交于点G，PM 与⊙O 交于点D(在
△ABC 外部)．若BD//AC，证明：G 为△ABP 的重心．
6
2019 秋高二数学实验班作业
第6 讲
第6 讲
三角形特殊点2
1. 已知△ABC 的内心为I，X、Y、Z 分别为△BIC、△CIA、△AIB 的内心．若△XYZ 为正三角形，证
明：△ABC 也为正三角形．
2. 在锐角△ABC 中，已知经过其垂心作三个圆，分别与它的三条边切于该边上高的垂足．证明：由
这三个圆的其他三个交点所形成的三角形与△ABC 相似．
第7 讲
根轴
7
2019 秋高二数学实验班作业
第7 讲
第7 讲
根轴
1. 如图，设I 是△ABC 的内心，过I 作AI 的垂线，分别交边AB，AC 于P，Q．
求证：分别与AB 及AC 相切于P 及Q 的圆L 必与△ABC 的外接圆O 相切．
2. 如图，设圆ω1 和ω2 交与点X、Y．过ω1 的圆心的直线l1 交圆ω2 于点P、Q，过ω2 的圆心的直
线l2 交ω1 于点R、S．证明：若P、Q、R、S 四点共圆，则该圆的圆心在直线XY 上．
