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三角形特殊点1
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
精讲精炼
【例1】
如图，已知圆Γ1 与圆Γ2 交于点P、Q，A1、B1 为圆Γ1 上不同于P、Q 的两个点，直线A1P、B1P 分别与圆Γ2 交于
点A2、B2，直线A1B1 与A2B2 交于点C．证明：当点A1、B1 变化时，△A1A2C 的外心总在一个定圆周上．
【例2】
如图1，在△ABC 的内部有四个半径相等的⊙K1、⊙K2、⊙K3、⊙K4，其中，⊙K1、⊙K2、⊙K3 均与△ABC 的两条边相
切，且与⊙K4 外切．证明：△ABC 的内心、外心和点K4 在一条直线上．
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第5 讲
三角形特殊点1
【例3】
设点O 为锐角△ABC 的外心，分别以△ABC 三边的中点为圆心作过点O 的圆，这三个圆两两的异于O 的交点
分别为K、L、M．证明：O 为△KLM 的内心．
【例4】
在△ABC 中，已知∠C < ∠A < 90◦，D 为边AC 上一点，且BD = BA，△ABC 的内切圆与AB、AC 分别切于点K、L，
△BCD 的内心为J．证明：KL 平分线段AJ．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例5】
已知O 为△ABC 内心，O1、O2、O3 分别为△BCO、△CAO、△ABO 外接圆的圆心．证明：△ABC 的外接圆的圆心
与△O1O2O3 的外接圆的圆心重合．
【例6】
已知△ABC(AB̸ = AC) 的内切圆分别与BC、CA、AB 切于点D、E、F，H 为线段EF 上的点，使得DH⊥EF．若
AH⊥BC，证明：H 为△ABC 的垂心．
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第5 讲
三角形特殊点1
【例7】
在△ABC 中，已知AB = AC，D 为边AC 的中点，∠BAC 的平分线与过点D、B、C 的圆交于△ABC 内一点E，直
线BD 与过点A、E、B 的圆交于两点B、F，直线AF 与BE 交于点I，CI 与BD 交于点K．证明：I 为△KAB 的内心．
【例8】
设A′、B′、C′ 分别为△ABC 三边BC、CA、AB 上的点，满足△ABC 与△A′B′C′ 的内心重合，且△A′B′C′ 的内切圆
半径等于△ABC 的内切圆半径的一半．证明：△ABC 为正三角形．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例9】
已知锐角△ABC 的垂心为H，内心为I，且满足AC̸ = BC，CH、CI 分别与△ABC 的外接圆交于点D、L．证明：
∠CIH = 90◦的充分必要条件是∠IDL = 90◦．
【例10】
已知△A1B1C1 的三个顶点A1、B1、C1 分别是△ABC 三边所在直线BC、AC、AB 上的点，且满足△A1B1C1∽△ABC．
证明：△A1B1C1 的垂心与△ABC 的外心重合．
