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完全四边形
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
知识点睛
两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，叫做完全四边形．六个交点可分成三对相
对的顶点，它们的连线是三条对角线．如图，直线ABC，BDE，CDF，AFE 两两相交于A、B、C、D、E、F 六点，即为完
全四边形ABCDEF．线段AD、BF、CE 为其三条对角线．设AD 与BF 交于点G，则△GCE 称其为对角三角形．
完全四边形中，既有凸四边形，凹四边形，还有折四边形以及四个三角形．即凸四边形ABDF，凹四边形ACDE，折
四边形BCFE，四个三角形是△ACF，△BCD，△DEF，△ABE．每个四边形的对边称为完全四边形的对节，一个完
全四边形共有六对对节．
完全四边形的三条对角线的中点共线，此线称为牛顿线．
完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割．
完全四边形ABCDEF 的四个三角形△ACF，△BCD，△DEF，△ABE 的外接圆共点M，点M 称为它的密克
尔点．
过完全四边形对角线所在直线的交点作另一条对角线的平行线，所作直线与平行对角线的同一端点所在的边
（或其延长线）相交，所得线段被此对角线所在直线的交点平分．
四个三角形△BCD，△DEF，△ABE，△ACF 的外心四点共圆（施坦纳圆）．
以三角对角线为直径的圆共轴，这个轴过四个三角形的垂心．
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第10 讲
完全四边形
精讲精炼
【例1】
已知圆S1，与圆S2 交于P、Q 两点，A1、B1 为圆S1，上不同于P、Q 的两个点，直线A1P，B1P 分别交圆S2 于A2、
B2，直线A1B1 和A2B2 交于点C．证明：当点A1 和B1．变化时，△A1A2C 的外心在一个圆上．
【例2】
设一条直线l 截△ABC 的三边BC、CA、AB 所在直线于D、E、F 三点，O1、O2、O3 分别是△AEF、△BFD、△CDE
的外心．求证：△O1O2O3 的垂心H 位于直线l 上．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例3】
已知E，F 是△ABC 边AB，AC 的中点，CM，BN 是边AB，AC 上的高，联结EF，MN 交于点P．又设O，H 分别
是△ABC 的外心、垂心，联结AP，OH．求证：AP⊥OH．
【例4】
在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，BE，CF 分别为AC，AB 上的高，设BE，CF 交于点M．直线BC，EF 交于点
N．求证：MN⊥AD．
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第10 讲
完全四边形
【例5】
已知锐角△ABC(AB̸ = AC)，过点B、C 的⊙O 与边AC、AB 分别交于点D，E，P 为△ABC 外接圆的弧
⌢
BAC 上一
点．证明：BD、CE、OP 三线共点的充分必要条件是△PBD 的内心与△PCE 的内心重合．
【例6】
两圆⊙O1 与⊙O2 相交于P、Q 两点，过点P 的割线段AB、CD 分别交⊙O1 于A、C，交⊙O2 于B、D，直线CA 与
直线BD 交于点S．求证：QA·QD = QB·QC = QP·QS．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例7】
两圆⊙O1 与⊙O2 相交于P，Q 两点，过点Q 的割线段AB，CD 分别交⊙O1 于A，C，交⊙O2 于B，D．若过P，
D(或C) 的圆交直线QD 于E，交直线BD(或直线AC) 于点F(或S)，直线EF(或ES) 交直线QB 于点T，交直线
AC 于点S(或交直线BD 于点F)，则E，T，Q，P 四点共圆，且S，C，E，P (或F，D，E，P) 四点共圆．
【例8】
在完全四边形ABCDEF 中，BC = EF．点G 是点A 关于CE 中点的中心对称点，则DG 是∠CGE 的平分线．
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第10 讲
完全四边形
【例9】
如图，在完全四边形ABCDEF 中，AC > AE，BE⊥AC，CF⊥AB．过B 作CE 的垂线交CE 于M，交CD 于H，与EA
的延长线交于点P，过F 作CE 的垂线交CE 于N，交DE 于G，与CA 的延长线交于点Q．求证：四直线PQ、BF、
HG、MA 共点．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例10】
如图，在完全四边形ABCDEF 中，∠CAE = 90◦．AB = AF 且过B、F 分别作AC、AE 的垂线的交点G 在CE 上．
设BG 交CF 于M，FG 交BE 于N．求证：
（1）FN = GM；
（2）MN//CE；
（3）AD⊥CE
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第10 讲
完全四边形
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学习心得：
本讲总结
