文档文本内容
12
代数法解几何
42
高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
知识点睛
欧拉公式
OI =
√
R(R−2r)
r = 4Rsin A
2 sin B
2 sin C
2
斯特瓦尔特定理
设D 在边BC 上, 则有
AD2 = BD·AC2 +DC ·AB2
BC
−BD·DC
sin A
2 =
√
(p−b)(p−c)
bc
S = pr = abc
4R = 2R2 sinAsinBsinC =
√
p(p−a)(p−b)(p−c)
角平分线长公式
ta =
2
b+c
√
bcp(p−a) = 2bc
b+c cos A
2
43
第12 讲
代数法解几何
精讲精炼
【例1】
设锐角△ABC 的内切圆、外接圆分别为ω、Ω，外接圆半径为R．圆ωA 与Ω内切于点A 且与ω 外切；圆ΩA 与
Ω内切于点A 且与ω 内切．设PA、QA 分别是ωA、ΩA 的圆心．同理定义点PB、QB，PC、QC．
证明：8PAQA ·PBQB ·PCQC ⩽R3，当且仅当△ABC 是正三角形时，上式等号成立．
44
高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例2】
设△ABC 的半周长为p，内切圆半径为r，内心到三个顶点A、B、C 的距离分别为lA、lB、lC．
证明：3
4 + r
lA
+ r
lB
+ r
lC
⩽
p2
12r2 ．
【例3】
在△ABC 中，∠A 的角平分线与BC 交于点D，D 在AB、AC 上的投影分别为E、F．设EF 的长等于lA，同理定义
lB、lC．若△ABC 的周长为l，证明：lAlBlC
l3
⩽1
64．
45
第12 讲
代数法解几何
【例4】
如图，给定凸四边形ABCD，∠B+∠D < 180◦，P 是平面上的动点，令f (P) = PA·BC +PD·CA+PC ·AB．
（1）求证：当f (P) 达到最小值时，P、A、B、C 四点共圆．
（2）设E 是△ABC 外接圆⊙O 的
⌢
AB 上一点，满足AE
AB =
√
3
2 ，BC
EC =
√
3−1，∠ECB = 1
2∠ECA，又DA、DC 是⊙O
的切线，AC =
√
2，求f (P) 的最小值．
46
高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例5】
设P 为△ABC 内一点，l 为经过P 的一条直线，A1、B1、C1 分别为直线PA、PB、PC 关于直线l 的对称直线与直线
BC、AC、AB 的交点．证明A1、B1、C1 三点共线．
【例6】
设四边形A1A2A3A4 不为圆内接四边形，O1 为△A2A3A4 的外心，外接圆半径为r1．类似地，定义O2、O3、O4 和
r2、r3、r4．证明：
1
O1A2
1 −r2
1
+
1
O2A2
2 −r2
2
+
1
O3A2
3 −r2
3
+
1
O4A2
4 −r2
4
= 0．
47
第12 讲
代数法解几何
【例7】
设k 为正实数，△ABC 为锐角三角形，且不为等腰三角形，O 为其外心，AD、BE、CF 分别为∠A、∠B、∠C 的
角平分线，其中，点D、E、F 分别在边BC、CA、AB 上，L、M、N 分别是射线AD、BE、CF 上的点，且满足AL
AD
= BM
BE = CN
CF = k．定义圆⊙O1、⊙O2、⊙O3 为分别经过点L、M、N 且分别与OA、OB、OC 相切于A、B、C．
（1）证明：当k = 1
2 时，⊙O1、⊙O2、⊙O3 恰有两个公共点，且△ABC 的重心G 在这三个圆的公共弦上．
（2）求所有的k，使得⊙O1、⊙O2、⊙O3 恰有两个公共点．
48
高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例8】
已知与三角形两边相切且与其内切圆外切的三个圆．证明：这三个圆的半径和不小于三角形内切圆的半径．
【例9】
已知两个圆⊙O1、⊙O2 交于P、Q 两点，且这两个圆离点P 较近的公切线分别与⊙O1 切于点A，与⊙O2 切于点B，
一条与⊙O1 切于点P 的直线与⊙O2 再次交于点C，同时，直线AP、BC 交于点R．证明：△PQR 的外接圆与直线
BP、BR 相切．
49
第12 讲
代数法解几何
【例10】
在△ABC 中，已知∠A 内的旁切圆与BC、CA、AB 分别切于点A1、B1、C1．∠B 内的旁切圆与BC、CA、AB 分别切于
点A2、B2、C2，∠C 内的旁切圆与BC、CA、AB 分别切于点A3、B3、C3．求△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3 的周长之
和与△ABC 的外接圆半径之比的最大值．
【例11】
已知不等边△ABC 的内切圆分别与边AB、CA 切于点M、N，∠B，∠C 内的旁切圆分别与直线BC 切于点P、Q．
证明：M、N、P、Q 四点共圆当且仅当∠CAB = 90◦．
50
高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
本讲重点：
学习心得：
本讲总结
