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几何最值
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
精讲精炼
【例1】
已知△ABC 的外接圆半径为R，周长为p，面积为S．求Sp
R3 的最大值．
【例2】
已知矩形ABCD 的边AB、AD 的长分别为2a、a．设E 为边AB 的中点，F 为AD 上任一点，且△ECF 的面积依
赖于点F 的选取．求△ECF 面积的最小值与最大值，同时指出相应的点F 的位置．
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第14 讲
几何最值
【例3】
在△ABC 中，已知AD、BE、CF 交于点Q，且满足∠BAD = ∠CBE = ∠ACF．证明：AQ2
BC2 + BQ2
CA2 + CQ2
AB2 ⩾1．
【注】满足条件的点Q 称为布罗卡尔点，这样的点Q 在任意三角形中均存在．
【例4】
在具有单位面积的等边△ABC 外作△APB、△BQC、△CRA，使得∠P、∠Q、∠R 均等于60◦．求
（1）△PQR 的最大面积．
（2）顶点为△APB、△BQC、△CRA 的内心的三角形的最大面积．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例5】
设S 为锐角△ABC 边AB 上的点，P、Q 分别为△ASC、△BSC 外接圆的圆心．问：点S 在边AB 上的什么位置时，
使得△PQS 的面积最小？
【例6】
若一个平面多边形各顶点的距离至多为1，证明：它的面积严格小于
√
3
2 ．
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第14 讲
几何最值
【例7】
求内接于单位圆且有两条对角线互相垂直的七边形面积的最大值．
【例8】
在直角三角形内部给定有限个点．证明：这些点可以连成一条线(不必要封闭)，使得该线中所有线段长度的平方
和不大于此直角三角形斜边长度的平方．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例9】
设P 为凸多边形A1A2 ···An 内一点，使得P 分别在直线A1A2，A2A3，···，AnA1 上的投影P1，P2，···，Pn 均在凸
多边形的边上．证明：对于分别在边A1A2，A2A3，···，AnA1 上的任意点X1，X2，···，Xn，有max
{
X1X2
P1P2
, X2X3
P2P3
,··· ,
XnX1
PnP1
}
⩾1．
【例10】
设n ⩾3 为整数，圆Γ1，Γ2，…，Γn 为平面上半径为1 的圆，圆心分别为O1，O2，…，On．假设任一直线至多和两个
圆相交或相切，证明：∑
1⩽i⩽j⩽n
1
OiO j
⩽(n−1) π
4
．
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第14 讲
几何最值
【例11】
设P1、P2、P3、P4 是单位球面上的四个点．证明：∑
i̸=j
1
Pi −Pj
取最小值的充分必要条件为这四个点是一个正四面体
的顶点．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
本讲重点：
学习心得：
本讲总结
