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根轴
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
知识点睛
从一点A 作一圆周的任一割线，从A 起到和圆周相交为止两线段之积，称为A 点对于此圆周的幂．
由相交弦定理及切割线定理，知点A 的幂是定值.
若这点在圆内，则这点的幂等于以该点为中点的弦的半弦长的平方; 则若这点在圆外，则这点的幂等于从这点所
引圆周切线长的平方; 若这点在圆周上, 则这点的幂等于0．
点A 对于以O 为圆心的圆周的幂，等于OA 及半径的平方差.
对于两已知圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线.
这条直线称为两圆的根轴或等幂轴.
若两圆相交，其根轴就是公共弦所在的直线．
若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线．
三个圆，其两两的根轴或相交于一点，或互相平行．
若两圆相离，则两圆的四条公切线段（切点之间的连线段）的中点在根轴上．
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第7 讲
根轴
精讲精炼
【例1】
两个大圆⊙A，⊙B 相等且相交，两个小圆⊙C 和⊙D 不等亦相交，且交点为P，Q．若⊙C，⊙D 既同时与⊙A 内切，
又同时与⊙B 外切，求证：直线PQ 平分线段AB．
【例2】
已知△ABC 的内心为I，⊙O1，⊙O2，⊙O3 分别为过B，C；A，C 和A，B 且与⊙I 正交的圆，⊙O1 与⊙O2 相交于另
一点C
′．同理可得点B
′ 和A
′．证明：△A
′B
′C
′ 的外接圆半径等于⊙I 半径的1
2．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例3】
设圆O 的内接凸四边形ABCD 的两条对角线AC、BD 的交点为P，过P、B 两点的圆O1 与过P、A 两点的圆O2
相交于两点P 和Q，且圆O1、圆O2 分别与圆O 相交于另一点E、F．求证：直线PQ、CE、DF 或者共点或者相互
平行．
【例4】
证明：圆外切六边形ABCDEF 的对角线AD，BE，CF 共点．
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第7 讲
根轴
【例5】
已知锐角△ABC 的外接圆为圆Γ′，边AC、AB 的中点分别为B0、C0，点A 在边BC 上的投影为D，G 为△ABC 的
重心．设过点B0、C0 的圆Γ 与圆Γ′ 切于点X(点X 与A 不重合)．证明：D、G、X 三点共线．
【例6】
凸四边形ABCD 的外接圆的圆心为O，已知AC̸ = BD，AC 与BD 交于点E，若P 为四边形ABCD 内部一点，使得
∠PAB+∠PCB = ∠PBC +∠PDC = 90◦．求证：O、P、E 三点共线．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例7】
已知△ABC 的内切圆分别与边AB，AC 切于点Z，Y，BY 与CZ 交于点G，点R，S 满足四边形BCYR 和四边形
BCSZ 是平行四边形．证明：GR = GS．
【例8】
已知下底边为BC（即BC//AD，且BC > AD）的梯形ABCD 内接于⊙O．P 是在直线BC 上移动的点，且使得
PA 不与⊙O 相似．以PD 为直径的圆交⊙O 于点E(E̸ = D)，记BC 与DE 交于点M，N 是PA 与⊙O 的交点
（N̸ = A）．求证：直线MN 通过一定点．
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第7 讲
根轴
【例9】
设O 和I 分别为△ABC 的外心和内心，△ABC 的内切圆与边BC、CA、AB 分别相切于点D、E、F，直线FD 与CA
相交于点P，直线DE 与AB 相交于点Q，点M、N 分别为线段PE、QF 的中点，求证：OI⊥MN．
【例10】
△ABC 的外接圆的圆心为O，A
′ 是边BC 的中点，AA
′ 与外接圆交于点A
′′，A
′Qa⊥AO，点Qa 在AO 上，过点A
′′ 的
外接圆的切线与A
′Qa 相交于点Pa．用同样的方式，可以构造点Pb 和Pc．证明：Pa、Pb、Pc 三点共线．
