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调和点列与调和线束
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
知识点睛
设两点C、D 内分与外分同一线段AB 成同一比例，即AC
CB = AD
DB，则称点C 和D 调和分割线段AB，或称点C 是
点D 关于线段AB 的调和共轭点，亦称点列A、B，C、D 为调和点列，若从直线AB 一点P 引射线PA、PC、PB、PD，
则称线束PA、PC、PB、PD 为调和线束．调和点列联系了众多的图形，因而它有一系列有趣的性质.
设A、C、B、D 是共线四点，点M 是线段AB 的中点，则C、D 调和分割线段AB 的充要条件是满足下述六个
条件之一：
（1）点A、B 调和分割CD；
（2）1
AC + 1
AD = 2
AB；
（3）AB·CD = 2AD·BC = 2AC ·DB；
（4）CA·CB = CM ·CD；
（5）DA·DB = DM ·DC；
（6）MA2 = MB2 = MC ·MD．
设A、C、B、D 是共线四点，过共点直线外一点P 引射线PA、PC、PB、PD，则C、D 调和分割线段AB 的充
要条件是满足下述两个条件之一：
（1）线束PA、PC、PB、PD 其中一射线的任一平行线被其他三条射线截出相等的两线段；
（2）另一直线l 分别交射线PA、PC、PB、PD 于点A′、C′、B′、D′ 时，点C′、D′ 调和分割线段A′B′．
梯形的两腰延长线的交点，两对角线的交点，调和分割两底中点的联线段．
完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割．
对线段AB 的内分点C 和外分点D，以及直线AB 外一点P，给出如下四个论断：
①PC 是∠APB 的平分线；
②PD 是∠APB 的外角平分线；
③C、D 调和分割线段AB；
④PC⊥PD．
以上四个论断中，任意选取两个作题设，另两个作结论组成的六个命题均为真命题．
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第9 讲
调和点列与调和线束
三角形的角平分线被其内心和相应的旁心调和分割．
不相等且外离的两圆圆心联线被两圆的外公切线交点和内公切线交点调和分割．
若C、D 两点调和分割圆的直径A、B，则圆周上任一点到C、D 两点的距离之比是不等于1 的常数；反之，若
一动点到两定点的距离之比为不等于1 的常数．则该动点的轨迹是一个圆.
从圆周上一点作两割线，它们与圆相交的非公共的两点联线，垂直于这条联线的直径所在的直线与两割线相交，
则这条直径被这两割线调和分割．
从⊙O 外一点A 引圆的割线交⊙O 于C、D，若割线ACD 与点A 的切点弦交于点B，则弦CD 被A、B 调和分割．
从⊙O 外一点A 引圆的两条割线交圆于四点，以这四点为顶点的四边形的对角线相交于点B，设直线AB 交⊙O
于C、D，则A、B 调和分割CD 弦．
设过⊙O 外一点A 任意引一条割线交圆周于点C 及D，则点A 对于弦CD 的调和共轭点B 的轨迹是一条
直线．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
精讲精炼
【例1】
如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD．在CD 上取一点E，BE 与AC 相交于F，延长DF 交BC 于G．
求证：∠GAC = ∠EAC．
【例2】
在凸四边形ABCD 中，边AB，DC 的延长线交于点E，边BC、AD 的延长线交于点F．若AC⊥BD 于G．
求证：∠EGC = ∠FGC．
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第9 讲
调和点列与调和线束
【例3】
如图，O、I 分别为△ABC 的外心和内心，AD 是BC 边上的高，I 在线段OD 上．
求证：△ABC 的外接圆半径等于BC 边上的旁切圆半径．
注：△ABC 的BC 边上的旁切圆是与边AB、AC 的延长线以及边BC 都相切的圆．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例4】
设O，I 分别为△ABC 的外心和内心，△ABC 的内切圆与内切圆边BC、CA、AB 分别相切于点D、E、F，直线FD
与CA 相交于点P，直线DE 与AB 相交于点Q，点M、N 分别为线段PE、QF 的中点．求证：OI⊥MN．
【例5】
在△ABC 中，AB > AC，它的内切圆切边BC 于点E，联结AE 交内切圆于点D（不同于点E）．在线段AE 上取
异于点E 的一点F 使得AB，联结CF 并延长交BD 于点G．求证：CF = FG．
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第9 讲
调和点列与调和线束
【例6】
已知AB 是⊙O 的弦，M 是弧
⌢
AB 的中点，C 是⊙O 外任一点，过点C 作⊙O 的切线CS、CT，联结MS、MT 分别
交AB 于点E、F，过点F、F 作AB 的垂线，分别交OS、OT 于点X、Y，再过点C 任作⊙O 的割线，交⊙O 于点P、
Q，联结MP 交AB 于点R．设Z 是PQR 的外心．求证：X、Y、Z 三点共线．
【例7】
在直线△ABC 中，∠B = 90◦，它的内切圆分别切边BC、CA、AB 于点D、E、F，联结AD，与内切圆相交于另一点P，
过P 作内切圆的切线与直线BC 交于点Q．联结PC、PF，且PC⊥PF．求证：D 为QC 的中点．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例8】
已知四边形ABCD 内接于以BD 为直径的圆．A′ 为点A 关于BD 的对称点，B′ 为点B 关于AC 的对称点，直线
A′C 与BD，AC 与B′D 分别交于点P、Q．证明：PQ⊥AC．
【例9】
已知△ABC 的外心为O，P 为OA 的延长线上一点，直线l 与PB 关于BA 对称，直线h 与PC 关于AC 对称，l 与
h 变于点Q．若点P 在OA 的延长线上运动，求点Q 的轨迹．
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第9 讲
调和点列与调和线束
【例10】
设△ABC 的内切圆⊙I 分别与边BC，CA，AB 切于点D，E，F，AD 与⊙I 交于点M，N 为△CDM 的外接圆与DF
的交点，CN 与AB 交于点G．即CD = 3FG．
【例11】
凸四边形ABCD 的对角线交于点P，两组对边所在直线交于点Q，R，过点P 作PH⊥QR，另过点P 的直线交对边
BC、AD 于点M．N．求证：∠PHM = ∠PHN．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
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学习心得：
本讲总结
