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几何不等式
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
精讲精炼
【例1】
对于任意三角形均有两条边的边长之差不超过这个三角形周长的六分之一．请判断此命题是否成立．
【例2】
证明：三角形的三条中线和的大于其三边之和的3
4 倍．
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第13 讲
几何不等式
【例3】
设与△ABC 的外接圆内切并与边AB、AC 相切的圆为圆Γa，记ra 为Γa 的半径，r 为△ABC 的内切圆半径．类似
地定义rb、rc．证明：ra +rb +rc ⩾4r．
【例4】
由小三角形H1，H2，…，Hn 拼成三角形H，其内切圆半径分别为r1，r2，…，rn 和r．证明：r ⩽r1 +r2+…+rn．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例5】
证明：对于所有的正实数a、b、c 均有
√
a2 +b2 −
√
2ab+
√
b2 +c2 −
√
2bc ⩾
√
a2 +c2．
【例6】
已知四边形A1A2A3A4 既有外接圆又有内切圆，内切圆与边A1A2、A2A3、A3A4、A4A1 分别切于点B1、B2、B3、B4．
证明：
(
A1A2
B1B2
)2
+
(
A2A3
B2B3
)2
+
(
A3A4
B3B4
)2
+
(
A4A1
B4B1
)2
⩾8
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第13 讲
几何不等式
【例7】
在锐角△ABC 中，已知点A、B、C 在边BC、CA、AB 上的投影分别为D、E、F，点A、B、C 在边EF、FD、DE 上的投
影分别为P、Q、R．
证明：2(PQ+QR+RP) ⩾DE +EF +FD．
【例8】
设△ABC 的内切圆与三边AB、BC、CA 分别切于点P、Q、R．
证明：BC
PQ + CA
QR + AB
RP ⩾6
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例9】
已知四边形ABCD 为凸四边形，其面积记为S．
证明：S ⩽AB2 +BC2 +CD2 +DA2
4
．
【例10】
已知M、N、P 分别为△ABC 三边BP、CA、AB 的中点，点M1、N1、P1 在△ABC 的边上，且满足MM1、NN1、PP1 分
别平分△ABC 的周长．证明：
（1）MM1、NN1、PP1 交于同一点K．
（2）KA
BC 、KB
CA 、KC
AB 中至少有一个不小于
1
√
3．
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第13 讲
几何不等式
【例11】
已知△ABC 的外接圆为圆Γ，内切圆为圆Γ′，外接圆半径为R，圆ΓA 与Γ 内切于点A 且与圆Γ′ 外切，圆ΓA′ 与
Γ 内切于点A 且与圆Γ′ 内切，记圆ΓA，ΓA′ 的圆心分别为PA、QA．类似地定义点PB、QB、PC、QC．
证明：8PAQA ·PBQB ·PCQC ⩽R3．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
本讲重点：
学习心得：
本讲总结
