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用导数求单调性的题型
1．函数的单调性与导数注意点：
(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，即解决
问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号判断函数的单调区间．
(2)一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间．
(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中
间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
(4)注意在某一区间内f'(x)>0(或f'(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)
函数的充分不必要条件，而不是充要条件．(例如f(x)＝x
3)．
(5)如果函数在某个区间内恒有f'(x)＝0，则f(x)为常数函数．如f(x)＝3，
则f'(x)＝3'＝0.
(6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化
规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思想．
(7)若在某区间上有有限个点使f'(x)＝0，在其余的点恒有f'(x)＞0，则f(x)
在该区间上仍为增函数．
2．求函数的单调区间的方法
求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)＞0 或f′(x)＜0，这些不等式的解
就是所求的单调区间．
求函数单调区间的步骤如下：
(1)求f(x)的定义域；
(2)求出f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)可得函数的增区间(或减区间)．
题型一：利用导数求函数的单调区间
例：求下列函数的单调区间．
y＝2x
3－3x
解：由题意得y′＝6x
2－3.
令y′＝6x
2－3＞0，解得x＜－2
2 或x＞2
2 ，
当x∈(－∞，－
2
2 )时，函数为增函数，当x∈(
2
2 ，＋∞)时，函数也为增函数．
2
令y′＝6x
2－3＜0，
解得－2
2 ＜x＜2
2 ，
当x∈(－2
2 ，2
2 )时，函数为减函数．
故函数的递增区间为(－∞，－2
2 )和( 2
2 ，＋∞)，递减区间为(－2
2 ，2
2 )．
例：讨论函数f(x)＝bx
x
2－1(－1＜x＜1，b≠0)的单调性．
【思路探究】 (1)函数的定义域是怎样的？函数是奇函数还是偶函数？(2)若先
讨论x∈(0,1)上的单调性，能否判断f′(x)在(0,1)上的正负？b 的取值对其有
影响吗？
解：因f(x)的定义域为(－1,1)；函数f(x)是奇函数，∴只需讨论函数在(0,1)
上的单调性．
∵f′(x)＝
2
2
2
)1
(
)1
(
x
x
b
当0＜x＜1 时，x
2＋1＞0，(x
2－1)
2＞0，∴
0
)1
(
)1
(
2
2
2
x
x
∴当b＞0 时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在(0,1)上是减函数；
当b＜0 时，f′(x)＞0，∴函数f(x)在(0,1)上是增函数；
又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知：
当b＞0 时，f(x)在(－1,1)上是减函数；
当b＜0 时，f(x)在(－1,1)上是增函数．
规律方法：
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证
明不等式
f′(x)＞0(f′(x)＜0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数f′(x)；②
判断f′(x)的符号；③给出单调性结论．
2．导数的正负决定了函数的增减，当导函数中含有参数时，应注意对参数进行
分类讨论．
题型二：利用函数单调性求参数
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例：(2013·郑州模拟)函数f(x)＝ax＋xln x，且图象在点
))
1
(
,
1
(
e
f
e
处的切线斜
率为1(e 为i 自然对数的底数)．(1)求实数a 的值；(2)设
( )
( )
1
f x
x
g x
x
，研究
函数g(x)的单调性
解：(1)f(x)＝ax＋xln x，f′(x)＝a＋1＋ln x，依题意
)
1
(' e
f
＝a＝1，所以a
＝1.
(2)因为
( )
( )
1
f x
x
g x
x
＝xln x
x－1 ，所以g′(x)＝x－1－ln x
x－
2 .
设φ(x)＝x－1－ln x，则φ′(x)＝1－1
x.
当x>1 时，φ′(x)＝1－1
x>0，φ(x)是增函数，
对∀x>1，φ(x)>φ(1)＝0，即当x>1 时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上为增
函数；
当0<x<1 时，φ′(x)＝1－1
x<0，φ(x)是减函数，
对∀x∈(0,1)，φ(x)>φ(1)＝0，即当0<x<1 时，g′(x)>0，故g(x)在(0,1)上
为增函数．
方法规律：1．导数法求函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0 和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
2．导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：
(1)求f′(x)；
(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；
(3)作出结论：f′(x)>0 时为增函数；f′(x)<0 时为减函数．
3．导数法求参数的取值范围：已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条
件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)，转化为不等式恒成立求解．
