文档文本内容
答 案
C
解析
解：数列
是递减数列，
，
，
解得
，
数列
单调递增，
当
时取得最小值，
．
故选：C．
答 案
解析
解：由题意可得，
，
当
时，
，
．
是递增数列，
，解得
．
当
时，
，可得
．
又
，
．
综上，的取值范围是
．
故答案为：
．
答 案
B
模块1：拓展
：拓展习题
习题集
1 50%
1
1 64%
例题1
∵
a
{
n}
∴a
>
n
a
n+1
∴−2n +
2
λn > −2 n + 1
+
(
)2
λ n + 1
(
)
λ < 4n + 2
∵
4n + 2
{
}
∴
n = 1
6
∴λ < 6
例题2
c > 2
S
=
n
cn−1
n ⩾2
a
=
n
S
−
n
S
=
n−1
c
−
n−1
c
=
n−2
c
c −1
n−2 (
)
c > 0
∵a
{
n}
∴a
=
2
c −1 > 1 = a
1
c > 2
n ⩾2
a
>
n+1
a
n
c
c −1 >
n−1 (
)
c
c −1
n−2 (
)
c > 2
∴c > 2
c
c > 2
c > 2
例题3
解析
满足
，若对于任意的
都有
，
，
，
．
，
，
，
解得
， 故选：B．
答 案
C
解析
解：
，
，
，
，
的最大值为
，
中较大的一个，
，
，
，
，
，
，即
的最大值为
．
故选：C．
答 案
解析
当
，
时，有
，
，
．
当
，
时，有
，
，
，
．
综上，
，即实数的取值范围是
．
1
1
∵
a
=
n
{
−a n + 1 n < 6
( 2
1
)
(
)
a
n ⩾6
n−5 (
)
n ∈N∗
a
>
n
a
n+1
∴
−
2
1
a < 0
a
>
5
a
6
0 < a < 1
∴
−
2
1
a < 0
−a
×
( 2
1
)
5 + 1 > a
0 < a < 1
<
2
1
a <
12
7
例题4
∵a
=
n
13 −3n
∴a
>
1
a
>
2
a
>
3
a
>
4
0 > a
>
5
a
>
6
…
∵b
=
n
a
⋅
n a
⋅
n+1
a
n+2
∴b
>
1
b
>
2
0 > b
, b
>
3
4
0 > b
>
5
b
>
6
…
∴S
n
S
2
S
4
∵b
=
1
a
a
a
=
1
2
3
10 × 7 × 4 = 280
b
=
2
a
a
a
=
2
3
4
7 × 4 × 1 = 28
b
=
3
a
a
a
=
3
4
5
4 × 1 × −2 =
(
)
−8
b
=
4
a
a
a
=
4
5
6
1 × −2 ×
(
)
−5 =
(
)
10
∴S
=
2
280 + 28 = 308
S
=
4
280 + 28 −8 + 10 = 310
S
n
310
例题5
−3,
[
3
8 )
n = 2k
k ∈N∗
a < 3 −
2k + 1
1
∵
3 −
=
(
2k + 1
1
)
min
3
8
∴a <
3
8
n = 2k −1
k ∈N∗
−a < 3 +
2k
1
∴a > −3 −
2k
1
∵
−3 −
→
(
2k
1 )
max
−3
∴a ⩾−3
−3 ⩽a <
3
8
a
−3,
[
3
8 )
答 案
解析
由
可知，当
时，
，两式相减得：
，所以
，又因为
，
，所以
，
，
所以数列
是以为首项、为公比的等比数列，
故
，
所以
，所以
，
故
，即的最小值为
．
答 案
见解析
解析
解：由数列
满足
，
．
可知数列
为等差数列，且首项为，公差为，
则
，故
．
答 案
见解析
解析
证明：依题可知
，
，
所以
，
故
．
1
1 92%
2 78%
例题6
36
1
S
=
n+1
2S
+
n
3n + 1
n ⩾2
S
=
n
2S
+
n−1
3(n −1) + 1
a
=
n+1
2a
+
n
3
a
+
n+1
3 = 2(a
+
n
3)
a
+
1
3 = 4
a
+
1
a
=
2
S
=
2
2S
+
1
3 × 1 + 1 = 6
a
=
2
5
a
+
2
3 = 2(a
+
1
3)
a
+ 3
{
n
}
4
2
a
+
n
3 = 4 × 2
=
n−1
2n+1
c
=
n
log
(a
+
2
n
3) = n + 1
=
(n + 25)c
n
c
−1
n
(n + 25)(n + 1)
n
=
=
n + 26n + 25
2
n
⩽
n +
+ 26
n
25
1
=
2
+ 26
25
1
36
1
k ⩾36
1
k
36
1
例题7
{a }
n
a
=
1
2
1
=
a
n+1
1
+
a
n
1
2 n ∈N
(
∗)
{a
n
1 }
2
2
=
a
n
1
2 + 2(n −1) = 2n
a
=
n
2n
1
a
=
n
2
=
( 2n
1 )
2
⋅
4
1
<
n2
1
⋅
4
1
⋅
n
1
=
n −1
1
−
4
1 ( n −1
1
n
1 )
n > 1
a
+
1
2
a
+
2
2
a
+
3
2
⋯+ a
<
n
2
1 + 1 −
+
−
+ ⋯+
−
=
4
1 (
2
1
2
1
3
1
n −1
1
n
1 )
(2 −
4
1
)
n
1
a
+
1
2
a
+
2
2
a
+
3
2
⋯+ a
<
n
2
2
1
答 案
见解析
解析
，
所以
，得证．
答 案
，
解析
解：由题意，可知
，
所以可得
，
又由
，得公比
(
舍去)，
所以数列
的通项公式为
，
所以
，
故数列
的通项公式为
．
答 案
；
解析
解：由(1)知，
，
，
， 所以
． (II)因为
，
，
，
， 当
时，
， 而
， 得
， 所以当
时，
， 综上，若对任意
均有
，则
．
1
1
2
例题8
=
n
1
>
2
n
2
=
+
n
n + 1
2
2
−
(
n + 1
n)
+
2
1
+
3
1
⋯+
>
n
1
2
−
+
−
+ ⋯+
−
=
[(
3
2)
(
4
3)
(
n + 1
n)]
例题9
a
=
n
2n
b
=
n
n(n + 1)
a
a
⋯a
=
1
2
n
, b
−
(
2)
b
n
3
b
=
2
6
a
=
3
=
(
2)
b
−b
3
2
8
a
=
1
2
q = 2 q = −2
a
{
n}
a
=
n
2 (n ∈
n
N )
∗
a
a
⋯a
=
1
2
n
2
=
2
n(n+1)
(
2)
b
n
b
{ n}
b
=
n
n(n + 1)(n ∈N )
∗
S
=
n
−
n + 1
1
(n ∈
2n
1
N )
∗
k = 4
a
=
n
2n
b
=
n
n(n + 1)
c
=
n
−
2n
1
n(n + 1)
1
S
=
n
−
1 −
2
1
(1 −
)
2
1
2n
1
1 +
=
n + 1
1
−
n + 1
1
(n ∈
2n
1
N )
∗
c
=
1
0
c
>
2
0
c
>
3
0
c
>
4
0
n ⩾5
c
=
n
−1
n(n + 1)
1
[
2n
n(n + 1)
]
−
2n
n(n + 1)
=
2n+1
(n + 1)(n + 2)
>
2n+1
(n + 1)(n −2)
0
≤
2n
n(n + 1)
<
25
5 × (5 + 1)
1
n ⩾5
c
<
n
0
n ∈N∗
S
⩾
k
S
n
k = 4
答 案
见解析
解析
证明：
，
时，不等式成立，
当
时，
，所以
，
，
所以
，
所以
，得证．
1
例题10
b
=
1
1, b
=
2
5
n = 1, 2
n ⩾3
=
3n−1
2n
2 ⋅
⩽
( 3
2 )
n−1
<
9
8
1
3 −
n
2 >
n
2 ⋅3n−1
<
3 −2
n
n
1
2 ⋅3n−1
1
+
b
3
1
+
b
4
1
⋯+
<
b
n
1
×
18
1
=
1 −
3
1
1 −
( 3
1)
n−2
1 −
<
12
1 [
( 3
1 )
n−2
]
12
1
+
b
1
1
+
b
2
1
⋯+
<
b
n
1
+
b
1
1
+
b
2
1
=
12
1
60
77
