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数列典型题型归纳
一、本讲重点归纳
数列求和和求通项的常用方法。
二、数列求和
1.分组求和
1）拆项求和
有些数列可以将每一项适当拆开，再进行分组，假分数等两个或多喝式子相
加的情况。
拆项求和之后，可直接利用等差数列，等比数列的求和公式来求解，另外还可以
利用常见数列的求前N 项和的公式，如：
2
2
2
2
2
2
1
1
2
3 ...
(
1)
2
1 3
5
...
2 -1)
2
4
6
...
2
1
1
2
3
...
(
1)(2
1)
6
n
n n
n
n
n
n
n
n
n n
n
（
13+23 + 33+……+𝑛3=[
𝑛（𝑛+1）
2
]2
2）倒序相加
如果一个数列的前n 项和中，距首末两项等距离的两项之和都相等，即可用
倒序相加法求数列的前n 项和。
3）分奇偶项求和
有些数列奇数项和偶数项分别都可以构成一个新的数列，此时可以分奇偶项
分别求和，但是此时一定要注意数列求和时，一定要分项数的奇偶。若项数n 为
奇数时，则数列中有
𝑛+1
2 个奇数项，有
𝑛−1
2 个偶数项。当项数n 为偶数时，则数列
中有
𝑛
2个奇数项，
𝑛
2个偶数项。
2.裂项相消
若数列的通项可拆成结构相同的两式之差，则数列的前n 项和可由裂项相消
法求解，使用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的
项有前后对称的特点，裂项相消法的指导思想很明确，关键是实现
1
n
n
n
a
b
b
，
因此对代数变形能力要求较高，但只要把握了指导思想，这类问题便不难解决，
2
此外，掌握一些常用的裂项技巧也能事半功倍，常用的技巧有：
1
1
1
1
1 1
1
,
(
)
(
1)
1
(
2)
2
2
1
1 1
1
(
)
(
)
n n
n
n
n n
n
n
n n
t
t n
n
t
1
log
log (
1)
log
1
1
1
1
,
(
)
1
a
a
a
n
n
n
n
n
n
a
b
a
b
n
n
a
b
若数列为等差数列，D 为公差，其中都不为0，则
1
1
1
1
1
1
(
)
n
n
n
n
a a
d a
a
1
1
1
1
[
]
(
1)(
2)
2
(
1)
(
1)(
2)
1
1
1
1
[
]
(2
1)(2
1)
2 2
1
2
1
n n
n
n n
n
n
n
n
n
n
2
(2 )
1
1
1
1
[
]
(2
1)(2
1)
2 2
1
2
1
n
n
n
n
n
1
1
2
2
2
2
2
1
1
(2
1)(2
1)
2
1
2
1
2
2
2
(
1)(
2)
1
2
1
1 1
1
[
]
(
2)
4
(
2)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n
n
3.错位相减
错位相减是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用
于求数列{an⋅bn}的前n 项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列（公比
q≠1）（这种数列被称为差比数列）．
基本步骤：
第一步巧拆分：根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式；
第二步乘公比：写出Sn 的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比，得到qSn
的结果；
第三步构差式：将Sn 与qSn 作差；
3
第四步求和：根据差式的特征准确求和.
差比数列的结论:对数列{（An+B）𝑞𝑛−1}q 求和
我们可以直接记住答案（直接套用公式即可，但还是建议大家自己推算得到答案）：
（1-q）Sn=(等差首项)+(
𝐴
1−𝑞) q −(An + B +
𝐴
1−𝑞)𝑞𝑛
三、数列求通项
1.叠加法和叠乘法
叠加法：对于数列有形如an=an−1+f(n)的递推式，且f(2)+…+f(n)的和是可求
的，我们可以用叠加法来求an
an=a1+∑
𝑓(𝑖)
𝑛
𝑖=2
（n≥2，n∈𝑁+）
叠乘法: 对于数列有形如an=an−1·f(n)的递推式，且f(2) f(3)…f(n)的积是可
求的，我们可以用叠乘法来求an
an=a1 f(2) f(3)…f(n)（n≥2，n∈𝑁+）
2.由Sn求an
已知Sn求an，直接套用公式：an={𝑆1 𝑛= 1
𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 𝑛≥2
已知an与Sn的关系有两种处理方式：
（1）消an 留Sn ：把题目中的an 用Sn−Sn-1替换，转化为关于Sn 的递推关系，
从而得到Sn 的通项公式，再转化为an 的通项公式．
（2）消Sn留an ：分别写出Sn和Sn-1的表达式，两式相减转化为关于an 的递推
关系．
3.构造新数列（待定系数法）
（1）若递推数列公式为an=ban-1+c(b,c∈R，且b≠1，c≠0)，可以设an+λ=b(an-
1+λ)成立，解之得λ=
𝑐
𝑏−1，即{an+
𝑐
𝑏−1}是等比数列。
（2）an=ban-1+c(n)(b≠1，b≠0，c(n)是关于n 的多项式函数)，可设an+g(n)=b(an-
1+g(n--1)),其中g(n)为与c(n)的次数相等的多项式函数，各项的系数都待定，
通过比较bg(n-1)-g(n)与c(n)的各项系数待确定系数，即{an+g(n)}为等比数列。
（3）an=ban-1+c∙𝑞𝑛,其中b,c,q∈R，且b≠0，c≠0，q≠0，q≠1
①若b=q，则
𝑎𝑛
𝑞𝑛=
𝑎𝑛−1
𝑞𝑛−1 + 𝑐,即{
𝑎𝑛
𝑞𝑛}为等差数列
②若b≠q，则可以设𝑎𝑛+ 𝐴∙𝑞𝑛= 𝑏(𝑎𝑛−1 + 𝐴∙𝑞𝑛−1)
4
也可以两边同除以𝑏𝑛或𝑞𝑛：得到
𝑎𝑛
𝑏𝑛=
𝑎𝑛−1
𝑏𝑛−1 + 𝑐(
𝑞
𝑏)𝑛或
𝑎𝑛
𝑞𝑛=
𝑏
𝑞∙
𝑎𝑛−1
𝑞𝑛−1 + 𝑐
4.形式转换
（1）取倒数
若递推公式为𝑎𝑛=
𝑎𝑛−1
𝑏𝑎𝑛−1+𝑐,两边式子取倒数，然后转化为方法3 的情形。
（2）取对数
若递推公式为𝑎𝑛= c𝑎𝑛−1
𝑏,两边式子取对数，然后转化为方法3 的情形。
