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空间向量解立体几何的题型与方法
一、平行垂直问题基础知识
直线l 的方向向量为𝐚⃗ ＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量𝐮⃗⃗ ＝(a3，b3，c3)，𝒗⃗⃗ ＝
(a4，b4，c4)
(1)线面平行：l∥α⇔ 𝐚⃗ ⊥𝒖⃗⃗ ⇔ 𝐚⃗ 𝒖⃗⃗ ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0
(2)线面垂直：l⊥α⇔ 𝐚⃗ ∥𝒖⃗⃗ ⇔ 𝐚⃗ ＝k𝒖⃗⃗ ⇔ a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3
(3)面面平行：α∥β⇔ 𝒖⃗⃗ ∥𝒗⃗⃗ ⇔ 𝒖⃗⃗⃗⃗ ＝k𝒗⃗⃗ ⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4
(4)面面垂直：α⊥β⇔ 𝒖⃗⃗⃗ ⊥𝒗⃗⃗ ⇔ 𝒖⃗⃗ ·𝒗⃗⃗ ＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0
例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD 中，PA⊥底面ABCD，E，F 分别
是PC，PD 的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.
[证明] 以A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为x 轴，
y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，
B(1,0,0) ，C(1,2,0) ，D(0,2,0) ，P(0,0,1) ，所以
E
1
2，1，1
2 ，F
0，1，1
2 ，EF ＝
－1
2，0，0 ，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，
－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)．
(1)因为EF ＝－1
2 AB ，所以EF ∥AB ，即EF∥AB.
又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB.
(2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，
所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP⊥DC，AD⊥DC.
2
又AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因为DC⊂平面
PDC，
所以平面PAD⊥平面PDC.
使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直
线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直
线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使
用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.
二、利用空间向量求空间角基础知识
(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b 的方向向量分别为𝐚⃗ ，𝒃⃗⃗ ，异面
直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈𝐚⃗ ，𝒃⃗⃗ 〉|＝
|𝑎⃗ ∙𝑏⃗ |
|𝐚⃗ ||𝒃⃗⃗ |
(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量𝐧⃗⃗ ，直线的方向向量𝐚⃗ ，设线面所
成的角为θ，则sin θ＝|cos〈𝐧⃗⃗ ，𝐚⃗ 〉|＝
|𝑎⃗ ∙𝑛⃗ |
|𝐚⃗ ||𝒏⃗⃗ |
(3)向量法求二面角：求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量𝐧1⃗⃗⃗⃗⃗ ，
𝐧2⃗⃗⃗⃗⃗ ，
若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos〈𝐧1⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝐧2⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|＝
|𝑛1⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝑛2⃗⃗⃗⃗⃗ |
|𝐧𝟏⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝒏𝟐⃗⃗⃗⃗⃗ |；
若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos〈𝐧1⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝐧2⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|＝－
|𝑛1⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝑛2⃗⃗⃗⃗⃗ |
|𝐧𝟏||𝒏𝟐⃗⃗⃗⃗⃗ |
例2、如图，在直三棱柱A1B1C1ABC 中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D 是BC
的中点．
(1)求异面直线A1B 与C1D 所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．
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[解] (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，
0,4)，C1(0,2,4)，所以
1
A B ＝(2,0，－4)，
1
C D ＝(1，－1，
－4)．
因为cos〈
1
A B ，1
C D 〉＝
1
A B ·
1
C D
|
1
A B ||
1
C D |＝
18
20× 18＝3 10
10 ，
以异面直线A1B 与C1D 所成角的余弦值为3 10
10 .
(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为AD ＝(1,1,0)，
1
AC ＝(0,2,4)，
所以n1· AD ＝0，n1·
1
AC ＝0，即x＋y＝0 且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y
＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面ABA1的一个法
向量为n2＝(0,1,0)．设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.
由|cos θ|＝
n1·n2
|n1||n2| ＝
2
9× 1＝2
3，得sin θ＝5
3 .
因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为5
3 .
(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：
①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合
公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．
(2)求空间角应注意：
①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝
|cos β|.
②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为
所求．
