课改凌云班课后总结第11讲-24226ae78449_学而思高二全套_2019年秋季高二_2019秋秋季凌云班高二数学直播班（课改-数列+选修2-1+导数）16讲王子悦

 
 
1
用导数求切线方程的四种类型 
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求
出切点
0
0
(
)
P x
y
，
及斜率，其求法为：设
0
0
(
)
P x
y
，
是曲线
( )
y
f x

上的一点，则以P
的切点的切线方程为：
0
0
0
(
)(
)
y
y
f
x
x
x




．若曲线
( )
y
f x

在点
0
0
(
(
))
P x
f x
，
的切线
平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为
0
x
x

． 
下面例析四种常见的类型及解法． 
类型一：已知切点，求曲线的切线方程 
此类题较为简单，只须求出曲线的导数
( )
f
x

，并代入点斜式方程即可． 
例1 曲线
3
2
3
1
y
x
x


在点(1
1)

，
处的切线方程为（  ） 
Ａ．
3
4
y
x

  
Ｂ．
3
2
y
x

 
Ｃ．
4
3
y
x

  
Ｄ．
4
5
y
x

 
解：由
2
( )
3
6
f
x
x
x



则在点(1
1)

，
处斜率
(1)
3
k
f 

，故所求的切线方程为
( 1)
3(
1)
y
x



，即
3
2
y
x

，因而选Ｂ． 
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 
此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 
例2 与直线2
4
0
x
y


的平行的抛物线
2
y
x

的切线方程是（  ） 
Ａ．2
3
0
x
y



 
 
 
Ｂ．2
3
0
x
y


 
Ｃ．2
1
0
x
y

 
 
 
Ｄ．2
1
0
x
y

 
解：设
0
0
(
)
P x
y
，
为切点，则切点的斜率为
0
0
2
2
x x
y
x




|
． 
0
1
x 
∴
． 
由此得到切点(11)
，．故切线方程为
1
2(
1)
y
x


，即2
1
0
x
y

，故选Ｄ． 
评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程
为
2
y
x
b

， 
代入
2
y
x

，得
2
2
0
x
x
b


，又因为
0
，得
1
b ，故选Ｄ． 
 
 
2
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待
定切点法． 
例3  求过曲线
3
2
y
x
x


上的点(1
1)

，
的切线方程． 
解：设想
0
0
(
)
P x
y
，
为切点，则切线的斜率为
0
2
0
3
2
x x
y
x




|
． 
∴切线方程为
2
0
0
0
(3
2)(
)
y
y
x
x
x




． 
3
2
0
0
0
0
(
2
)
(3
2)(
)
y
x
x
x
x
x





． 
又知切线过点(1
1)

，
，把它代入上述方程，得
3
2
0
0
0
0
1 (
2
)
(3
2)(1
)
x
x
x
x





． 
解得
0
1
x ，或
0
1
2
x 
． 
故所求切线方程为
(1
2)
(3
2)(
1)
y
x





，或
1
3
1
1
2
8
4
2
y
x



















，即 
2
0
x
y


，或5
4
1
0
x
y

． 
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 
例4 求过点(2 0)
，且与曲线
1
y
x

相切的直线方程． 
解：设
0
0
(
)
P x
y
，
为切点，则切线的斜率为
0
2
0
1
x x
y
x



|
． 
∴切线方程为
0
0
2
0
1 (
)
y
y
x
x
x



，即
0
2
0
0
1
1 (
)
y
x
x
x
x



． 
又已知切线过点(2 0)
，，把它代入上述方程，得
0
2
0
0
1
1 (2
)
x
x
x



． 
解得
0
0
0
1
1
1
x
y
x



，
，即
2
0
x
y


． 
例5 已知函数
3
3
y
x
x


，过点
(016)
A ，作曲线
( )
y
f x

的切线，求此切线方
程． 
解：曲线方程为
3
3
y
x
x


，点
(016)
A ，不在曲线上． 
设切点为
0
0
(
)
M x
y
，
， 
则点M 的坐标满足
3
0
0
0
3
y
x
x


． 
因
2
0
0
(
)
3(
1)
f
x
x



， 
 
 
3
故切线的方程为
2
0
0
0
3(
1)(
)
y
y
x
x
x




． 
点
(016)
A ，在切线上，则有
3
2
0
0
0
0
16
(
3
)
3(
1)(0
)
x
x
x
x





． 
化简得
3
0
8
x
，解得
0
2
x ． 
所以，切点为
( 2
2)
M 

，
，切线方程为9
16
0
x
y


． 
评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，
化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．