答 案
见解析
解析
解：
，
则
．
令
，则
，函数
在
上单调递增．
，当
时，
；当
时，
．
当
时，
，当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，
，函数
在
上单调递减．
当
时，函数
取得极小值，
，无极大值.
当
时，令
．
解得
，
．
当
时，
时，
，
，函数
单调递增；
当
时，
，
，函数
单调递减；
当
时，
，
，函数
单调递增．
当
时，函数
取得极小值，
．
当
时，函数
取得极大值，
；
当
时，
，
时，
，函数
在
上单调递增，无极值；
当
时，
时，
，函数
单调递增；
时，
，函数
单调递减；
时，
，函数
单调递增．
当
时，函数
取得极大值，
．
当
时，函数
取得极小值，
．
综上所述，当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减．
当
时，函数
取得极小值，即
，无极大值；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上
单调递增．当
时，函数
取得极小值，即
．当
时，函数
取得极大值，即
；
当
时，函数
在
上单调递增，无极值；
当
时，函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减．当
时，函数
取得极大值，即
．当
时，函数
取得极小
值， 即
．
模块1：
1
例题1
h x =
( )
g x −
( )
af x =
( )
e (cos x −
x
sinx + 2x −2) −a(x +
2
2 cos x)
h
x =
′ ( )
e (cos x −
x
sinx + 2x −2) + e (−sinx −
x
cos x + 2) −a 2x −2 sinx
(
)
= 2 x −sinx
e −a
(
) ( x
)
u x =
( )
x −sinx
u
x =
′ ( )
1 −cos x ⩾0
∴
u x
( )
R
∵u 0 =
( )
0
∴
x > 0
u x >
( )
0
x < 0
u x <
( )
0
①
a ⩽0
e −
x
a > 0
∴
x > 0
h
x >
′ ( )
0
h x
( )
(0, +∞)
x < 0
h
x <
′ ( )
0
h x
( )
(−∞, 0)
∴
x = 0
h x
( )
h 0 =
( )
−1 −2a
②
a > 0
h
x =
′ ( )
2 x −sinx
e −e
=
(
) ( x
ln a)
0
x
=
1
lna
x
=
2
0
0 < a < 1
x ∈(−∞, lna)
e −
x
e
<
ln a
0
h
x >
′ ( )
0
h x
( )
x ∈lna, 0
(
)
e −
x
e
>
ln a
0
h
x <
′ ( )
0
h x
( )
x ∈(0, +∞)
e −
x
e
>
ln a
0
h
x >
′ ( )
0
h x
( )
∴
x = 0
h x
( )
h 0 =
( )
−2a −1
x = lna
h x
( )
h lna =
(
)
−a[ln a −
2
2 lna + sin lna +
(
)
cos lna +
(
)
2]
a = 1
lna = 0
x ∈R
h
x ⩾
′ ( )
0
∴
h x
( )
R
a > 1
lna > 0, x ∈(−∞, 0)
e −
x
e
<
ln a
0, h
x >
′ ( )
0
h x
( )
x ∈0, lna
(
)
e −
x
e
<
ln a
0, h
x <
′ ( )
0
h x
( )
x ∈(lna, +∞)
e −
x
e
>
ln a
0, h
x >
′ ( )
0
h x
( )
∴
x = 0
h x
( )
h 0 =
( )
−2a −1
x = lna
h x
( )
h lna =
(
)
−a[ln a −
2
2 lna + sin lna +
(
)
cos lna +
(
)
2]
a ⩽0
h x
( )
(0, +∞)
(−∞, 0)
x = 0
h x
( )
h 0 =
( )
−1 −2a
0 < a < 1
h x
( )
(−∞, lna)
lna, 0
(
)
(0, +∞)
x = 0
h x
( )
h 0 =
( )
−2a −1
x = lna
h x
( )
h lna =
(
)
−a[ln a −
2
2 lna + sin lna +
(
)
cos lna +
(
)
2]
a = 1
h x
( )
R
a > 1
h x
( )
(−∞, 0)
(lna, +∞)
0, lna
(
)
x = 0
h x
( )
h 0 =
( )
−2a −1
x = lna
h x
( )
h lna =
(
)
−a[ln a −
2
2 lna + sin lna +
(
)
cos lna +
(
)
2]
答 案
解析
解：由
，
得
，
，即
，
解得
或
，
当
时，
，
当
时，
；当
时，
，
故函数
在
的两边都是增函数，
此时，函数在
时没有极值，应舍去．
当
时，
，
当
时，
；当
时，
，
故函数
在
的两边导数值异号，
此时，函数
在
时有极值．
，
，
故答案为：
．
答 案
解析
解：由题意得，函数
的导数为
在
内有零点，
且
，
，即
，且
．
，
故答案为：
．
1 84%
1
例题2
−
4
9
f x =
( )
x +
3
ax +
2
bx + b2
f
x =
′ ( )
3x +
2
2ax + b
{f
−1 = 0
′ (
)
f −1 = 8
(
)
{−2a + b + 3 = 0
b + a −b −1 = 8
2
{a =
4
1
b = −
2
5
{a = 3
b = 3
{a = 3
b = 3
f
x =
′ ( )
3x +
2
6x + 3 = 3 x + 1
(
)2
x < −1
f
x >
′ ( )
0
x > −1
f
x >
′ ( )
0
f x
( )
−1
x = −1
{a =
4
1
b = −
2
5
f
x =
′ ( )
3x +
2
x −
2
1
=
2
5
x + 1
6x −5
2
1 (
) (
)
x < −1
f
x >
′ ( )
0
>
6
5
x > −1
f
x <
′ ( )
0
f x
( )
−1
f x
( )
x = −1
∴
{a =
4
1
b = −
2
5
∴a + b = −
4
9
−
4
9
例题3
0,
(
2
1 )
f x =
( )
x −
3
6bx + 3b
f
x =
′ ( )
3x −
2
6b
0, 1
(
)
f
0 <
′ ( )
0
f
1 >
′ ( )
0
−6b < 0
3 −6b > 0
∴0 < b <
2
1
0,
(
2
1 )
答 案
解析
解：可令
，解得
，
令
，
由
和
在
上单调递增，
可得
，
设
，
导数
，
可得
时，
递增，
时，
递减，
可得
的最小值为
，
故答案为：
．
答 案
见解析
解析
解：由
，得
，
函数
在点
处的切线与直线
垂直，
，即
．
答 案
见解析
解析
解：由
知，当
时，
在
上恒成立，
在
上为增函数，
，得
(舍)；
当
时，由
，解得，
；
1 69%
1
2
例题4
5
9 −4 ln2
5x −5 = m
x =
5
5 + m
m = 2e +
n
n
y = 5x −5
y = 2e +
x
x
R
MN =
∣
∣
−
5
5 + m
n
= 1 +
(2e +
5
1
n
n) −n
= 1 +
e −
5
2
n
n
5
4
f(n) = 1 +
e −
5
2
n
n
5
4
f (n) =
′
e −
5
2
n
5
4
n > ln2
f n
( )
n < ln2
f n
( )
f n
( )
f ln2 =
(
)
1 +
−
5
4
ln2
5
4
=
5
9 −4 ln2
5
9 −4 ln2
例题5
f x =
( )
lnx −
x
x −a
f
x =
′ ( )
−
x
1
=
x2
x −x + a
x2
x −a
∵
y = f x
( )
1, f 1
(
( ))
y = x + 1
∴f
1 =
′ ( )
1 −a = −1
a = 2
1
( )
a ⩽1
f
x ⩾
′ ( )
0
1, 3
[
]
f x
( )
1, 3
[
]
∴f x
=
( )min
f 1 =
( )
a −1 =
3
1
a =
>
3
4
1
1 < a < 3
f
x =
′ ( )
0
x = a
当
时，
，当
时，
，
在
上为减函数，在
上为增函数，
，解得
；
当
时，
在
上恒成立，
在
上为减函数，
，解得
(舍)．
综上，
．
答 案
见解析
解析
解：
，
函数
是单调递减函数，
对
恒成立，
对
恒成立，
即
对
恒成立，
(当且仅当
，即
时取等号)，
．
答 案
见解析
解析
函数
在
上既有极大值又有极小值．
在
上有两个相异实根，
即
在
上有两个相异实根，
令
，则
，得
，
即
．
1
2
x ∈1, a
(
)
f
x <
′ ( )
0
x ∈a, 3
(
)
f
x >
′ ( )
0
∴f x
( )
1, a
(
)
a, 3
(
)
∴f x
=
( )min
f a =
( )
lna =
3
1
a = e
3
1
a ⩾3
f
x <
′ ( )
0
1, 3
(
)
f x
( )
1, 3
(
)
∴f x
=
( )min
f 3 =
( )
ln3 +
−
3
a
1 =
3
1
a = 4 −3 ln3 < 1
a = e
3
1
例题6
f
x =
′ ( )
−2x + a −
=
x
1
x > 0
x
−2x + ax −1
2
(
)
∵
f x
( )
∴f
x ⩽
′ ( )
0
x ∈0, +∞
(
)
∴−2x +
2
ax −1 ⩽0
x ∈0, +∞
(
)
a ⩽2x + x
1
x ∈0, +∞
(
)
∵2x +
⩾
x
1
2
=
2x ⋅
x
1
2
2
2x =
x
1
x =
2
2
∴a ⩽2
2
∵
f x
( )
0, 3
(
)
∴f
x =
′ ( )
=
x
−2x + ax −1
2
0
0, 3
(
)
2x −
2
ax + 1 = 0
0, 3
(
)
g x =
( )
2x −
2
ax + 1
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎧Δ > 0
0 <
< 3
4
a
g 0 > 0
( )
g 3 > 0
( )
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧a < −2
或a > 2
2
2
0 < a < 12
a <
3
19
2
<
2
a <
3
19
例题7
答 案
见解析
解析
解：
，
当
时，对于
，
恒成立，
当
时，
；
当
时，
，
函数
的单调增区间为
，单调减区间为
．
答 案
见解析
解析
解：若
在
内有极值，则
在
内有解．
令
，
，
，
设
，
，则
，
当
时，
恒成立，
单调递减，又
，
当
时，
，即
在
上的值域为
，
当
时，
在
上有解．
设
，则
，
，
，
在
上单调递减，
由
，
，
知
在
时有唯一解
，
当
时，
在
内有极值且唯一．
当
时，若
，则
恒成立，
单调递减，无极值点，不合题意，
综上，的取值范围为
．
1
2
f
x =
′ ( )
−
x2
e
x −1
x (
)
a
1 −
=
(
x
1 )
(x >
x2
e −ax
x −1
( x
) (
)
0)
a ⩽0
∀x ∈0, +∞
(
)
e −
x
ax > 0
∴
f
x >
′ ( )
0
x > 1
f
x <
′ ( )
0
0 < x < 1
∴
f x
( )
1, +∞
(
)
0, 1
(
)
f x
( )
0, 1
(
)
f
x =
′ ( )
0
0, 1
(
)
f
x =
′ ( )
0
e −
x
ax = 0
a =
x
ex
g x =
( )
x
ex
x ∈0, 1
(
)
g
x =
′ ( )
x2
e
x −1
x (
)
x ∈0, 1
(
)
g
x <
′ ( )
0
g x
( )
g 1 =
( )
e
x →0
g x →
( )
+∞
g x
( )
0, 1
(
)
e, +∞
(
)
∴
a > e
f
x =
′ ( )
0
0, 1
(
)
H x =
( )
e −
x
ax
H
x =
′ ( )
e −
x
a
x ∈0, 1
(
)
∴H
x <
′ ( )
H
1 =
′ ( )
e −a < 0
∴H x
( )
0, 1
(
)
H 0 =
( )
1 > 0
H 1 =
( )
e −a < 0
H x =
( )
0
x ∈0, 1
(
)
x
0
∴
a > e
f x
( )
0, 1
(
)
a ⩽e
x ∈0, 1
(
)
f
x <
′ ( )
0
f x
( )
a
e, +∞
(
)
