文档文本内容
答 案
见解析
解析
解：设椭圆
的方程为
，由已知，
得
，解得
．
所以椭圆
的标准方程为
．
答 案
见解析
解析
证明：设
，
，由椭圆的标准方程为
，
可知
，
同理
，
，
，
，
，
①当
时，由
，得
，
．
设线段
的中点为
，由
，
得线段
的中垂线方程为
，
，则该直线恒过一定点
，
②当
时，
，
或
，
，
模块1：
1
2
例题1
C
+
a2
x2
=
b2
y2
1
{
+
= 1
a21
b2
4
6
a −b = 2
2
2
{a = 4
2
b = 2
2
C
+
4
x2
=
2
y2
1
P x
, y
(
1
1)
Q x
, y
(
2
2)
+
4
x2
=
2
y2
1
PF =
∣
∣
=
x
+
+ y
(
1
2)
2
1
2
=
x
+
+ 2 −
(
1
2)
2
2
x
1
2
2 +
x
2
2
1
QF =
∣
∣
2 +
x
2
2
2
MF =
∣
∣
2 +
2
2
∵2 MF =
∣
∣
PF +
∣
∣
QF
∣
∣
∴2
2 +
=
(
2
2 )
4 +
x
+ x
2
2 (
1
2)
∴x +
1
x
=
2
2
x =x
1/
2
{x + 2y
= 4
1
2
1
2
x + 2y
= 4
2
2
2
2
x
−
1
2
x
+
2
2
2 y
−y
=
( 1
2
2
2)
0
∴
=
x
−x
1
2
y
−y
1
2
−
⋅
2
1
y
+ y
1
2
x
+ x
1
2
PQ
N 1, n
(
)
k
=
P Q
=
x
−x
1
2
y
−y
1
2
−
2n
1
PQ
y −n = 2n x −1
(
)
∴2x −1 n −
(
)
y = 0
A
, 0
( 2
1
)
x
=
1
x
2
P
1, −
(
2
6 )
Q
1,
(
2
6 )
P
1,
(
2
6 )
Q
1, −
(
2
6 )
线段
的中垂线是轴，也过点
，
线段
的中垂线过
．
答 案
见解析
解析
解：
，
是椭圆
上两点，
，则
，代入
，
得
，
由韦达定理得
，推导出
，
，
得到
的中点为
，
由
，解得
，
椭圆
的方程为
．
答 案
见解析
解析
解：由
得
，
设
，
，
，
直线
，代入
，得
，
直线
，代入
，得
，
则
．
1
2
PQ
x
A
, 0
( 2
1
)
∴
PQ
A
, 0
( 2
1
)
例题2
∵A 2, 0
(
)
B x
, y
(
0
0)
C :
+
a2
x2
=
b2
y2
1 a > b > 0
(
)
∴a = 2
AB : y = −
x −2
4
3 (
)
+
4
x2
=
b2
y2
1
4b + 9 x −
(
2
)
2
36x + 4 9 −4b
=
(
2)
0
x
+
0
2 = 4b + 9
2
36
x
=
0
4b + 9
2
18 −8b2
y
=
0
4b + 9
2
12b2
AB
,
( 4b + 9
2
18
4b + 9
2
6b2
)
=
4b + 9
2
18
4b + 9
2
6b2
b =
2
3
∴
C
+
4
x2
=
3
y2
1
(1)
B
−
,
(
7
2
7
12 )
P x , y
(
′
′)
M x
, y
(
1
1)
N x
, y
(
2
2)
AP : y =
x −2
x −2
′
y′
(
)
y = x
x
=
1
x −y −2
′
′
−2y′
BP : y −
=
7
12
x +
x +
′
7
2
y −
′
7
12
(
7
2 )
y = x
x
=
2
x −y + 2
′
′
x +
y
7
12
′
7
2
′
⋅
OM
=
ON
2x
x
=
1
2
−
⋅
7
8
x −y
−4
(
′
′)2
y
6x + y
′ (
′
′)
= −
⋅
7
8
x
−2x y + y
−4
(
′)2
′ ′
( ′)2
6x y + y
′ ′
( ′)2
= −
⋅
7
8
=
4 −
y
−2x y + y
−4
3
4( ′)2
′ ′
( ′)2
6x y + y
′ ′
( ′)2
7
24
24
为定值
．
答 案
见解析
解析
解：
，
是离心率为
的椭圆
的左、右焦点，
设椭圆
的方程为：
，
设抛物线
和椭圆
在第一象限的交点为
，
抛物线
与椭圆
在第一象限的交点到
的距离为
，
，
，
代入椭圆方程得：
，解得
，
椭圆
的方程为
．
答 案
见解析
解析
解：存在．当直线
垂直于轴时，直线
的方程为
，
此时
，
，
，不合题意．
当直线
不垂直于轴时，设存在点
，
．
设直线
的斜率为，
，
，
由
，得
，
则
，
，此时，直线
的斜率为
，
直线
的方程为
，即
．
1
2
∴
⋅
OM
ON
7
24
例题3
∵F
1
F
2
2
2
C :
+
a2
x2
=
b2
y2
1 a > b > 0
(
)
∴
C
+
2b2
x2
=
b2
y2
1
y =
2
4x
C
x, y
(
)
∵
y =
2
4x
C
x = −1
−3 + 3
2
∴x = −4 + 3
2
y =
2
−16 + 12
2
+
2b2
−4 + 3
(
2)
2
=
b2
−16 + 12
2
1
b = 1
∴
C
+
2
x2
y =
2
1
AB
x
AB
x = −
2
1
P
−
, 0
(
2
)
Q
, 0
(
2
)
⋅
F
P
2
=
F
Q
2
−1
AB
x
M
−
, m
(
2
1
)
m=
0
/
AB
k
A x
, y
(
1
1)
B x
, y
(
2
2)
{
+ y
= 1
2
x
1
2
1
2
+ y
= 1
2
x
2
2
2
2
x
+ x
+
(
1
2)
2 y
+ y
⋅
( 1
2)
=
x
−x
1
2
y
−y
1
2
0
−1 + 4mk = 0
∴k =
4m
1
PQ
k
=
1
−4m
PQ
y −m = −4m
x +
(
2
1 )
y = −4mx −m
联立
，消去，整理得
．
，
，
由题意
，
，解得
．
在椭圆内，
，
符合条件．
综上所述，存在两点
符合条件，坐标为
和
．
答 案
见解析
解析
解：由题意椭圆
的离心率
，
，
，
椭圆
方程为
，又点
在椭圆上，
，
，
椭圆
的方程为
．
答 案
见解析
解析
解：设
，
，由
，
消去并整理得
．
直线
与椭圆有两个交点，
，
可得
①．
又
，
的中点
的坐标为
．
设
的垂直平分线方程为
．
1
2
{y = −4mx −m
+ y = 1
2
x2
2
y
32m + 1 x +
(
2
)
2
16m x +
2
2m −
2
2 = 0
∴x
+
1
x
=
2
−
32m + 1
2
16m2
x
x
=
1
2
32m + 1
2
2m −2
2
⋅
F
P
2
=
F
Q
2
0
∴
⋅
F
P
2
=
F
Q
2
x
−1
x
−1 +
(
1
) (
2
)
y
y
1
2
= x
x
−
1
2
x
+ x
+
(
1
2)
1 + 4mx
+ m
4mx
+ m
(
1
) (
2
)
= 1 + 16m
x
x
+
(
2)
1
2
4m −1
x
+ x
+
(
2
) (
1
2)
1 + m2
=
+
32m + 1
2
1 + 16m
2m −2
(
2) (
2
)
+
32m + 1
2
4m −1
−16m
(
2
) (
2)
1 + m2
=
=
32m + 1
2
19m −1
2
0
m = ±
19
19
∵M
∴m <
2
8
7
∴m = ±
19
19
M
M
−
, −
(
2
1
19
19 )
M
−
,
(
2
1
19
19 )
例题4
C
e =
=
a
c
2
1
∴a = 2c
∴b =
2
a −
2
c =
2
3c2
∴
C
+
4c2
x2
=
3c2
y2
1
1,
(
2
3 )
∴
+
4c2
1
=
3c2
( 2
3)
2
1
∴c =
2
1
∴
C
+
4
x2
=
3
y2
1
M x
, y
(
1
1)
N x
, y
(
2
2)
{
+
= 1
4
x2
3
y2
y = kx + m
y
3 + 4k
x +
(
2)
2
8kmx + 4m −
2
12 = 0
∵
y = kx + m
∴Δ = 8km
−
(
)2
4 3 + 4k
4m −12 >
(
2) (
2
)
0
m <
2
4k +
2
3
x
+
1
x
=
2
−3 + 4k2
8km
∴MN
P
−
,
(
3 + 4k2
4km
3 + 4k2
3m
)
MN
l
′
y = −
x −
k
1 (
8
1 )
在上，
，化简，得
，
，
将上式代入①得
，
，
即
或
，
的取值范围为
．
答 案
见解析
解析
解：设
，
，则
，
，
两式相减得
，
，
，
，
．
答 案
见解析
解析
解：联立
，化为
，
直线
与抛物线
无公共点，
，解得
．
设直线
的方程为：
，
联立
，化为
，
则
，
．
．
直线与
之间的距离
．
，化为
．
，令
，解得
．
当
时，
，函数
单调递减；当
时，
，函数
1
2
∵P
l
′
∴
=
3 + 4k2
3m
−
−
−
k
1 (
3 + 4k2
4km
8
1 )
4k +
2
8km + 3 = 0
∴m = −
4k + 3
8k
1 (
2
)
<
64k2
4k + 3
(
2
)
2
4k +
2
3
∴k >
2
20
1
k > 10
5
k < −
10
5
∴k
−∞, −
∪
(
10
5 )
, +∞
( 10
5
)
例题5
M x
, y
(
1
1)
N x
, y
(
2
2)
y
=
1
2
4x
1
y
=
2
2
4x
2
y
+ y
y
−y
=
( 1
2) ( 1
2)
4 x
−x
(
1
2)
∵y
+
1
y
=
2
2 × 2 = 4
k
=
M N
x
−x
1
2
y
−y
1
2
∴4k
=
M N
4
∴k
=
M N
1
{y = x + m
y = 4x
2
x +
2
2m −4 x +
(
)
m =
2
0
∵
l : y = x + m
y =
2
4x
∴Δ = 2m −4
−
(
)2
4m <
2
0
m > 1
CD
y = x + t t < 1
(
)
{y = x + t
y = 4x
2
x +
2
2t −4 x +
(
)
t =
2
0
x
+
1
x
=
2
4 −2t
x
x
=
1
2
t2
∴CD =
∣
∣
=
1 + 1
x
+ x
−4x
x
(
2) [(
1
2)2
1
2]
=
2
4 −2t
−4t
[(
)2
2]
4
2 1 −t
(
)
l
CD
d =
=
2
m −t
∣
∣
2
m −t
∴
=
2
m −t
4
2 1 −t
(
)
m = 8
+
1 −t
t t < 1
(
)
m
t =
′ ( )
1 −
=
1 −t
4
1 −t
−4
1 −t
m
t =
′ ( )
0
t = −15
−15 < t < 1
m
t <
′ ( )
0
m t( )
t < −15
m
t >
′ ( )
0
单调递增．
当
时，
取得最大值，
．
因此实数
的取值范围是
．
m t( )
∴
t = −15
m t( )
m −15 =
(
)
17
m
1, 17
(
]
