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1
对称与中垂线问题解法技巧(点差法)
一、弦中点问题的基本解法及技巧
1、与椭圆的弦的中点有关的问题，我们称之为椭圆的中点弦问题。
2、解椭圆的中点弦问题的一般方法是：
（1）判别式法：联立直线和椭圆的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、
根与系数的关系、中点坐标公式求解。
（2）点差法：若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为
)
,
(
1
1 y
x
A
、
)
,
(
2
2 y
x
B
，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中
点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为
“点差法”。
3、设直线的技巧：
（1）直线过定点时引入参数斜率，利用点斜式设方程，注意讨论斜率存在与不
存在两种情况。
（2）直线斜率一定时引入参数截距，利用斜截式设方程。
（3）已知一般直线可设直线的斜截式方程，利用条件寻找k 与b 的关系。
二、重点题型例题及总结
（一）、求过中点的弦所在直线方程问题
注意：解决过中点的弦的问题时判断点M 位置非常重要。
（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；
（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。
结论：（1） 设椭圆
的弦AB 的中点为P
（
，则
2
2
AB
op
b
k k
a
（2） 设双曲线
的弦AB 的中点为P
（
则
。
（3）设抛物线
的弦AB 的中点为P
（
则
。
例题1、过椭圆
1
4
16
2
2
y
x
内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这
条弦所在的直线方程。
解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：
0
16
)1
2
(
4
)
2
(
8
)1
4
(
2
2
2
2
k
x
k
k
x
k
又设直线与椭圆的交点为A(
1
1, y
x
)，B（
2
2, y
x
），则
2
1, x
x
是方程的两个根，于
1
2
2
2
2
b
y
a
x
)
,
(
0
0 y
x
)
0
0
y
0
0
2
2
y
x
a
b
kAB
1
2
2
2
2
b
y
a
x
)
,
(
0
0 y
x
)
0
0
y
0
0
2
2
y
x
a
b
kAB
px
y
2
2
)
,
(
0
0 y
x
)
0
0
y
0y
p
k AB
2
是
1
4
)
2
(
8
2
2
2
1
k
k
k
x
x
，
又M 为AB 的中点，所以
2
1
4
)
2
(
4
2
2
2
2
1
k
k
k
x
x
，解得
2
1
k
，故所求直线方程
为
0
4
2
y
x
。
解法二：设直线与椭圆的交点为A(
1
1, y
x
)，B（
2
2, y
x
），M（2，1）为AB 的中点，
所以
4
2
1
x
x
，
2
2
1
y
y
，
又A、B 两点在椭圆上，则
16
4
2
1
2
1
y
x
，
16
4
2
2
2
2
y
x
，
两式相减得
0
)
(
4
)
(
2
2
2
1
2
2
2
1
y
y
x
x
，
所以
2
1
)
(
4
2
1
2
1
2
1
2
1
y
y
x
x
x
x
y
y
，即
2
1
AB
k
，
故所求直线方程为
0
4
2
y
x
。
（二）、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例2、已知中心在原点，一焦点为
)
50
,0
(
F
的椭圆被直线
2
3
:
x
y
l
截得的弦
的中点的横坐标为2
1
，求椭圆的方程。
解：设椭圆的方程为
1
2
2
2
2
b
x
a
y
，则
50
2
2
b
a
┅┅①
设弦端点
)
,
(
1
1 y
x
P
、
)
,
(
2
2 y
x
Q
，弦PQ 的中点
)
,
(
0
0 y
x
M
，则
2
1
0
x
，
2
1
2
3 0
0
x
y
1
2
0
2
1
x
x
x
，
1
2
0
2
1
y
y
y
又
1
2
2
1
2
2
1
b
x
a
y
，
1
2
2
2
2
2
2
b
x
a
y
两式相减得
0
)
)(
(
)
)(
(
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
x
x
x
x
a
y
y
y
y
b
即
0
)
(
)
(
2
1
2
2
1
2
x
x
a
y
y
b
2
2
2
1
2
1
b
a
x
x
y
y
3
2
2
b
a
┅┅②
联立①②解得
75
2
a
，
25
2
b
所求椭圆的方程是
1
25
75
2
2
x
y
