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课改凌云班课后总结第8讲-7448689da173_学而思高二全套_2019年秋季高二_2019秋秋季凌云班高二数学直播班（课改-数列+选修2-1+导数）16讲王子悦

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《课改凌云班课后总结第8讲-7448689da173_学而思高二全套_2019年秋季高二_2019秋秋季凌云班高二数学直播班（课改-数列+选修2-1+导数）16讲王子悦》第1页预览
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1
圆锥曲线中常见的几种向量题型 
一、问题的条件以向量的形式呈现 
例题1.已知椭圆的方程为
，它的一个焦点与抛物线
的
焦点   
重合，离心率
，过椭圆的右焦点
作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆
于
、
两 
点．（1）求椭圆的标准方程；  
（2）设点
，且
，求直线的方程； 
         
解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为
，因为
的焦点坐标为
，所以
  
              
因为
，则
，
 
故椭圆方程为：
  
（Ⅱ）由（I）得
，设的方程为
（
） 
代入
，得，  
设
则
，  
 
   
  
  
  
所以直线的方程为
  
二、所求问题以向量的形式呈现 
例2、已知椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线
2
4 5
y
x

的焦点，离心率是
6
3 
（1）求椭圆E 的方程； 
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b




2
8
y
x

2 5
5
e 
F
l
A
B
(1,0)
M
(
)
MA
MB
AB


l
( ,0)
c
2
8
y
x

(2,0)
2
c 
2 5
5
c
e
a


2
5
a 
2
1
b 
2
2
1
5
x
y


(2,0)
F
l
(
2)
y
k x


0
k 
2
2
1
5
x
y


1
1
2
2
( ,
), (
,
),
A x y
B x y
2
2
1
2
1
2
2
2
20
20
5
,
5
1
5
1
k
k
x
x
x x
k
k






1
2
1
2
1
2
1
2
(
4),
(
)
y
y
k x
x
y
y
k x
x








1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
(
1,
)
(
1,
)
(
2,
),
(
,
)
MA
MB
x
y
x
y
x
x
y
y
AB
x
x y
y













1
2
2
1
2
1
1
2
(
)
0,
(
2)(
)
(
)(
)
0
MA
MB
AB
x
x
x
x
y
y
y
y











2
2
2
2
2
20
4
3
2
0,
3
1
0,
5
1
5
1
3
k
k
k
k
k
k








l
3
2
0
3
2
0
x
y
x
y




或 
 
 
2
（2）过点C（—1，0），斜率为k 的动直线与椭圆E 相交于A、B 两点，请问x
轴上是否存在点M，使
MB
MA
为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，
请说明理由。 
解：（1）根据条件可知椭圆的焦点在x 轴， 
且
6
30
5,
5
,
3
3
a
c
ea





又
 
2
2
b
a
c


故
10
5
5
,
3
3



 
故所求方程为
2
2
1,
5
5
3
x
y


即
5
3
2
2

y
x
， 
（2）假设存在点M 符合题意，设AB：
),
1
( 

x
k
y
代入
5
3
:
2
2

y
x
E
 
得：
0
5
3
6
)1
3
(
2
2
2
2





k
x
k
x
k
    
)
0,
(
),
,
(
),
,
(
2
2
1
1
m
M
y
x
B
y
x
A
设
则
1
3
5
3
,
1
3
6
2
2
2
1
2
2
2
1







k
k
x
x
k
k
x
x
  
2
2
2
2
1 2
1
1
(
1)
(
)(
)
MA MB
k
x x
k
m x
x
k
m








 
2
2
1
6
14
2
3
3(3
1)
m
m
m
k






  
要使上式与k 无关，则有6
14
0,
m

 
解得
7
3
m 
，存在点
)
0,
3
7
(
M
满足题意。  
三、问题的条件及待求的问题均已向量的形式呈现 
例题3、在直角坐标系xOy 中，长为
2
1
的线段的两端点C、D 分别在x 轴、
y 轴上滑动，
2
CP
PD

．记点P 的轨迹为曲线E． 
（I）求曲线E 的方程； 
（II）经过点（0，1）作直线l 与曲线E 相交于A、B 两点，
,
OM
OA
OB


当点
M 在曲线E 上时，求cos
,
OA OB

的值． 
解：（Ⅰ）设C (m，0)，D (0，n)，P (x，y)． 
 
 
3
由CP
→＝2PD
→，得(x－m，y)＝2(－x，n－y)， 
∴x－m＝－2x，
y＝2(n－y)，得
m＝( 2＋1)x，
n＝2＋1
2 y，
  
 
 
  
由|CD
→|＝2＋1，得m2＋n2＝( 2＋1)2，∴( 2＋1)2x2＋( 2＋1)2
2
y2＝( 2＋1)2，
整理，得曲线E 的方程为x2＋y2
2＝1． 
（Ⅱ）设A (x1，y1)，B (x2，y2)，由OM
→＝OA
→＋OB
→，知点M 坐标为(x1＋x2，y1＋
y2)．设直线l 的方程为y＝kx＋1，代入曲线E 方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0， 
则x1＋x2＝－2k
k2＋2，x1x2＝－
1
k2＋2． 
 
 
 
  
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝
4
k2＋2， 
由点M 在曲线E 上，知(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2
2
＝1， 
即
4k2
(k2＋2)2＋
8
(k2＋2)2＝1，解得k2＝2．  
 
  
这时x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋k(x2＋x2)＋1＝－ 3 
4 ， 
(x21＋y21)(x22＋y22)＝(2－x21)(2－x22)＝4－2(x21＋x22)＋(x1x2)2 
                 ＝4－2[(x1＋x2)2－2x1x2]＋(x1x2)2＝33
16， 
cos OA
→，OB
→＝
x1x2＋y1y2
(x21＋y21)(x22＋y22)＝－33
11 ．
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