文档文本内容
1
双曲线的基本量与几何意义
一、双曲线的知识总结
二、双曲线离心率问题
1.求离心率值的方法
（1）利用离心率公式
a
c
e
，先求出
c
a, ，再求出e 值。
（2）利用双曲线离心率公式的变形：
2)
(
1
a
b
a
c
e
，先整体求出a
b ，再求
出e 值。
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1
0,
0
y
x
a
b
a
b
定义
到两定点
2
1F
F
、
的距离之差的绝对值等于常数2a ，即
2
1
|
|
|
|
2
MF
MF
a
（
2
1
0
2
|
|
a
F F
）
范围
x
a
或x
a
，y
R
y
a
或y
a
，x
R
顶点
1
,0
a
、
2
,0
a
1 0, a
、
2 0,a
轴长
实轴的长
2a
虚轴的长
2b
对称性
关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
焦点
1
,0
F
c
、
2
,0
F
c
1 0,
F
c
、
2 0,
F
c
焦距
2
2
2
1
2
2
(
)
F F
c
c
a
b
离心率
2
2
2
2
2
2
2
1
(
1)
c
c
a
b
b
e
e
a
a
a
a
渐近线方程
b
y
x
a
a
y
x
b
2
（3）构造关于
c
a, 的齐次式，再转化成关于e 的一元二次方程，最后求出e 值，
即“齐次化e ”。例如：
0
1
0
2
2
2
e
e
a
ac
c
例1 已知双曲线
)
0
,0
(1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
的一条渐近线方程为
x
y
3
4
，则双曲线
的离心率为__________.
分析：双曲线
)
0
,0
(1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
的渐近线方程为
x
a
b
y
，由已知可得
3
4
a
b
解答：由已知可得
3
4
a
b
，再由
2)
(
1
a
b
a
c
e
，可得
3
5
e
.
2、求离心率的取值范围
求离心率的取值范围关键是建立不等关系。
（1）直接根据题意建立
c
b
a
,
,
的不等关系求解e 的取值范围。
（2）利用平面几何性质建立
c
a, 不等关系求解e 的取值范围。
（3）利用圆锥曲线相关性质建立
c
a, 不等关系求解e 的取值范围。
（4）运用数形结合思想建立,a c 不等关系求解e 的取值范围。
例2 若双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
b
a
），则双曲线离心率的取值范围是_________.
分析：注意到
0
b
a
的条件
解
答
：
）
，
（
2
1
)
(
1
0
1
0
2
a
b
e
a
b
b
a
例
3
双
曲
线
)
0
,0
(1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
的两个焦点为
2
1,F
F
，若P 为其上非顶点的一点，且
2
1
2 PF
PF
，则双曲线离心率的取值范围为__________.
分析：由双曲线上非顶点的点和两个焦点构成三角形，利用三角形性质构建不等
式。
解答：因为
a
PF
PF
PF
PF
2
2
2
1
2
1
a
PF
a
PF
2
,
4
2
1
，而
c
F
F
2
2
1
，又因为三角
形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
a
c
a
6
2
2
，所以
3
1
e
。
