课改凌云班课后总结第4讲-e0c0c87adfab_学而思高二全套_2019年秋季高二_2019秋秋季凌云班高二数学直播班（课改-数列+选修2-1+导数）16讲王子悦

 
 
1
椭圆的基本量与几何性质 
一、 椭圆性质总结 
焦点的
位置 
焦点在x 轴上 
焦点在y 轴上 
图形 
 
 
标准方
程 


2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b




 


2
2
2
2
1
0
y
x
a
b
a
b




 
第一定
义 
到两定点
2
1F F
、的距离之和等于常数2a ，即
2
1
|
|
|
| 2
MF
MF
a


（
2
1
2
|
|
a
F F

） 
第二定
义 
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即
(0
1)
MF
e
e
d



 
范围 
a
x
a


且b
y
b


 
b
x
b


且a
y
a


 
顶点 


1
,0
a


、


2
,0
a

 


1 0, b


、


2 0,b

 


1 0, a


、


2 0,a

 


1
,0
b

、


2
,0
b

 
轴长 
长轴的长
2a

    短轴的长
2b

    
对称性 
关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 
焦点 


1
,0
F
c

、


2
,0
F c
 


1 0,
F
c

、


2 0,
F
c 
焦距 
2
2
2
1
2
2
(
)
F F
c
c
a
b



 
离心率 
2
2
2
2
2
2
2
1
(0
1)
c
c
a
b
b
e
e
a
a
a
a








               
焦半径 
0,
0
(
)
M x y
 
左焦半径：
1
0
MF
a
ex


 
右焦半径：
2
0
MF
a
ex


 
下焦半径：
1
0
MF
a
ey


 
上焦半径：
2
0
MF
a
ey


 
焦点三
角形面
积 
1 2
2
1
2
tan
(
)
2
MF F
S
b
F MF





（周长为2a+2c） 
通径 
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
2
b
HH
a

 
 
 
2
 
二、椭圆常用的几个方程  
（1）椭圆
上一点
处的切线方程是
. 
（2）过椭圆
外一点
所引两条切线的切点弦方程是 
. 
（3 ）椭圆
与直线
相切的条件是
. 
三、求椭圆的各类问题 
（1）共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 
共焦点，则c 相同。与椭圆
1
2
2
2
2

b
y
a
x
)
0
(

b
a
共焦点的椭圆方程可设为
1
2
2
2
2




m
b
y
m
a
x
)
(
2
b
m


，此类问题常用待定系数法求解。 
（2）判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据：  
① 若把曲线方程中的x 换成
x

，方程不变，则曲线关于y 轴对称； 
② 若把曲线方程中的y 换成
y

，方程不变，则曲线关于x 轴对称； 
③ 若把曲线方程中的x 、y 同时换成
x

、
y

，方程不变，则曲线关于原点对
称。 
（3）如何求解与焦点三角形△PF1F2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？  
思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余
弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式
2
1
2
1
sin
2
1
2
1
PF
F
PF
PF
S
F
PF





相结
合的方法进行计算解题，也需要讲义上的焦点三角形面积公式结合来看。 
将有关线段
2
1
2
1
F
F
PF
PF
、
、
，有关角
2
1PF
F

 (
2
1PF
F


2
1BF
F

)结合起来，建
立
2
1
PF
PF 
、
2
1
PF
PF 
之间的关系.  
 
 
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b




0
0
(
,
)
P x
y
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b


2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b




0
0
(
,
)
P x
y
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b


2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b




0
Ax
By
C



2
2
2
2
2
A a
B b
c

