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等差等比数列深入
一、本讲重点概括
等差等比数列的各个基本量之间的关系（首项，公差，通项公式，前n 项和）；
等差等比数列的性质，以及等差等比性质之间的比较。
二、等差与等比数列的比较
等差数列
等比数列
定义
𝑎𝑛−𝑎𝑛−1 = 𝑑(𝑛≥2)
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1=𝑞(𝑛≥2)
通项公
式
𝑎𝑛= 𝑎1 + （𝑛−1）𝑑
𝑎𝑛= 𝑎1𝑞𝑛−1
前n 项
和
𝑆𝑛= 𝑛(𝑎1 + 𝑎𝑛)
2
Sn={
𝑛𝑎1 𝑞= 1
𝑎1(1−𝑞𝑛)
1−𝑞
𝑞≠1
下标和
公式
若𝑚1+𝑚2+…+𝑚k= 𝑛1+ 𝑛2+…+ 𝑛k
则𝑎𝑚1+𝑎𝑚2+…+𝑎𝑚𝑘=𝑎𝑛1+𝑎𝑛2+…+𝑎𝑛𝑘
若𝑚1+𝑚2+…+𝑚k= 𝑛1+ 𝑛2+…+ 𝑛k
则𝑎𝑚1𝑎𝑚2…𝑎𝑚𝑘=𝑎𝑛1𝑎𝑛2…𝑎𝑛𝑘
首尾项
公式
等差数列的第𝑘项与倒数第𝑘项的和等于首
尾两项的和,即
𝑎1 + 𝑎𝑛= 𝑎𝑘+ 𝑎𝑛−(𝑘−1)
等比数列的第k 项与倒数第k 项的
积等于首尾两项的积,即
𝑎1𝑎𝑛= 𝑎𝑘𝑎𝑛−(𝑘−1)
结论
{an}为等差数列，若𝑚, 𝑛, 𝑝成等差数列，则
𝑎𝑚，𝑎𝑛，𝑎𝑝成等差数列。
{an}为等比数列，若𝑚, 𝑛, 𝑝成等差
数列，则𝑎𝑚，𝑎𝑛，𝑎𝑝成等比数列。
结论
两个等差数列的和仍是等差数列,公差为这
两个等差数列的和。
两个等比数列的积仍是等积数列,
公比为这两个等比数列的积。
若𝑎𝑚= 𝑛, 𝑎𝑛= 𝑚则𝑎𝑚+𝑛= 0
无此性质
若𝑆𝑚= 𝑛, 𝑆𝑛= 𝑚则𝑆𝑚+𝑛=-( 𝑚+ 𝑛)
无此性质
若𝑆𝑚= 𝑆𝑛,则𝑆𝑚+𝑛= 0
无此性质
等差数列的连续n 项和也构成一个等差数
列，即Sn, S2n−Sn, S3n−S2n,⋯为等差数列，公
差为𝑛2d
当Sn, S2n−Sn, S3n−S2n,⋯都非零时，
它们构成等比数列，公比为q𝑛
当项数为偶数2𝑛时，𝑆偶−𝑆奇= 𝑛𝑑
𝑆奇
𝑆偶
=
𝑎𝑛
𝑎𝑛+1
当项数为奇数2𝑛−1时， 𝑆奇−𝑆偶=𝑎𝑛
𝑆奇
𝑆偶
=
𝑛
𝑛−1
当项数为偶数2𝑛时，𝑆偶= 𝑞𝑆奇
当项数为奇数2𝑛−1时，
𝑆奇= 𝑎1 + 𝑞𝑆偶
共性
非零常数列既是等差数列又是等比数列
三、范围最值问题
1.等差数列Sn的最值问题
2
法一：利用𝑎𝑛，当𝑎𝑛的符号将要改变时，𝑆𝑛取到最值。即当𝑎𝑛> 0，𝑎𝑛+1 ≤0时，
𝑆𝑛取到最大值。当𝑎𝑛< 0，𝑎𝑛+1 ≥0时，𝑆𝑛取到最小值。
法二：利用𝑆𝑛的形式为关于𝑛的二次函数，根据对称轴求出最值。
2.函数的思想求最值
1）将题目中给到的关系式进行转化，利用等差数列或者等比数列的性质将其向
所求的值靠拢。
2）利用等差或者等比的性质减少变量。
3）利用角标的性质，用最简单的方法表示所求的值，为此可以构造出一个新的
数列。
