等差数列与等比数列进阶
模块1
数列基本公式与性质
4
模块2
范围最值问题
8
数列典型题型归纳
模块1
数列求和
16
模块2
数列求通项
20
数列与不等式综合问题
模块1
数列的单调性与最值
32
模块2
数列的恒成立与存在性问题
35
模块3
放缩法在数列中的应用
37
椭圆基本量与几何性质
模块1
方程与基本量
46
模块2
三焦结论及应用
50
模块3
离心率问题
53
目录
Contents
双曲线基本量与几何性质
模块1
方程与基本量
60
模块2
三焦结论及应用
64
模块3
离心率问题
68
抛物线基本量与几何性质
模块1
抛物线的定义与焦半径问题
76
模块2
抛物线的焦点弦问题
80
模块3
圆锥曲线的综合问题
84
弦长与面积
模块1
弦长问题
90
模块2
面积问题
93
第1 讲
等差数列与等比
数列进阶
直击课堂
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3
1
学习目标
1. 熟练掌握等差数列、等比数列的基本公式与基本量的计算.
2. 掌握等差数列、等比数列的常见性质，并能利用性质简化数列的计算.
3. 能够运用函数思想、不等式思想解决等差等比数列中的一些最值问题.
考情分析
高二数学·凌云班（课改）·秋
4
1
1
模块
1
数列基本公式与性质
知识凝炼
基本公式与性质
精讲精练
考点1: 基本量计算
例1 （1）★★
记Sn 为等差数列{an} 的前n 项和．若3S3 = S2 +S4，a1 = 2，则a5 =( )
A. −12
B. −10
C. 10
D. 12
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5
1
（2）★★★
在各项均为正数的等比数列{an} 中，若a2 = 1，a8 = a6 +6a4，则a3 的值为
．
（3）★★★
已知等比数列{an} 的前n 项和为Sn (n ∈N∗)，且S6
S3
= −19
8 ，a4 −a2 = −15
8 ，则a3 的值为
．
达标检测1
★★
已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn，且a3 ·a5 = 12，a2 = 0．若a1 > 0，则S20 =( )
A. 420
B. 340
C. −420
D. −340
达标检测2
★★★
在正项等比数列{an} 中，Sn 为其前n 项和，已知2a6 = 3S4 +1，a7 = 3S5 +1，则该数列的公比q 为
．
高二数学·凌云班（课改）·秋
6
1
考点2: 性质的应用
例2 （1）★★
设等差数列{an} 的公差为d，且a1a2 = 35，2a4 −a6 = 7，则d =( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
（2）★★★
在等差数列{an} 中，若S9 = 18，Sn = 240，an−4 = 30，则n 的值为( )
A. 14
B. 15
C. 16
D. 17
达标检测3
★★★
已知等差数列{an} 满足a1 +a3 +a5 +a7 +a9 = 10，a2
8 −a2
2 = 36，则a11 的值为
．
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7
1
考点3: 混合基本量问题
例3 （1）★★★
已知{an} 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是Sn，若a3，a4，a8 成等比数列，则( )
A. a1d > 0，dS4 > 0
B. a1d < 0，dS4 < 0
C. a1d > 0，dS4 < 0
D. a1d < 0，dS4 > 0
（2）★★★★
设数列{an} 为等差数列，数列{bn} 为等比数列．若a1 < a2，b1 < b2，且bi = a2
i (i = 1,2,3)，则数列
{bn} 的公比为
．
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8
1
2
模块
2
范围最值问题
精讲精练
考点4: 等差数列Sn 的符号与最值
例4 （1）★★★
设等差数列{an} 满足3a8 = 5a15，且a1 > 0，Sn 为其前n 项和，则数列{Sn} 的最大项为( )
A. S23
B. S24
C. S25
D. S26
（2）★★★
若数列{an} 是等差数列，首项a1 < 0，a2017 +a2018 > 0，a2017 ·a2018 < 0，则使前n 项和Sn < 0 的最
大自然数n 是
．
（3）★★★★
设等差数列{an} 的前n 项和为Sn，首项a1 > 0，S12 > 0，S13 < 0．则|a1|，|a2|，|a3|，···，|a13| 中最小
的项为
．
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9
1
达标检测4
★★★★
已知Sn 是等差数列{an}(n ∈N+) 的前n 项和，且S6 > S7 > S5，给出下列五个命题：
①d < 0；②S11 > 0；③S12 < 0；④数列{Sn} 中最大项为S11；⑤|a6| > |a7|，
其中正确命题的个数为( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 1
考点5: 函数思想求数列最值
例5 （1）★★★
若公差为d 的等差数列{an}n ∈N∗，满足a3a4 +1 = 0，则公差d 的取值范围是
．
（2）★★★★
设Sn 是等比数列{an} 的前n 项和，an > 0，若S6 −2S3 = 4，则S9 −S6 的最小值为
．
达标检测5
★★★★
正项等比数列{an} 满足：2a4 +a3 = 2a2 +a1 +8，则2a6 +a5 的最小值是( )
A. 64
B. 32
C. 16
D. 8
高二数学·凌云班（课改）·秋
10
1
考点6: 不等式思想求数列最值
例6 （1）★★★★
设1 = a1 ⩽a2 ⩽··· ⩽a7，其中a1，a3，a5，a7 成公比为q 的等比数列，a2，a4，a6 成公差为1 的等差
数列，则q 的最小值是
．
（2）★★★★★正确率：62%
若等差数列{an} 满足a2
1 +a2
100 ⩽10，则S = a100 +a101 +···+a199 的最大值为( )
A. 600
B. 500
C. 400
D. 200
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11
1
课堂总结
直击高考
考题
（2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））
已知在等比数列{an} 中，a1 = 1,a5 = 4a3．
求{an} 的通项公式．
答案
见解析
解析
∵在等比数列{an} 中，a1 = 1,a5 = 4a3．
∴1×q4 = 4×(1×q2)，
解得q = ±2，
当q = 2 时，an = 2n−1，
当q = −2 时，an = (−2)n−1，
∴{an} 的通项公式为an = 2n−1，或an = (−2)n−1．
高二数学·凌云班（课改）·秋
12
1
直击自招
考题
（2014 年北约自主招生数学试题9）
a1，a2，···，a13 是等差数列，M =
{
ai +aj +ak |1 ⩽i < j < k ⩽13
}
，问：0，7
2，16
3 是否可以同时在M 中，
并证明你的结论．
答案
见解析
解析
解：不可以同时在M 中，下面给予证明．假设0，7
2，16
3 同时在M 中，
设ak = a+kd(1 ⩽k ⩽13，k ∈N∗)，其中d 为公差，则
M = {3a+(i+ j +k)d |1 ⩽i < j < k ⩽13} = {3a+md |6 ⩽m ⩽36,m ∈N∗}，
于是存在正整数6 ⩽x，y，z ⩽36，使得
3a+xd = 0
3a+yd = 7
2
3a+zd = 16
3
，从而
(y−x)d = 7
2
(z−x)d = 16
3
，
也所以y−x
z−x = 21
32，由于21，32 互质，且y −x，z −x 为整数，则有|y−x| ⩾21，|z−x| ⩾32，但
|z−x| ⩽36−6 = 30，矛盾！假设错误，即证明0，7
2，16
3 不可以同时在M 中．
第2 讲
数列典型题型归
纳
直击课堂
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15
2
学习目标
1. 掌握常见的求和方法，并能根据数列类型选择恰当的方法.
2. 掌握由递推公式求通项公式的常见方法，并能根据递推公式类型选择恰当的方法.
3. 理解an 与Sn 的关系，掌握由Sn 求通项公式的方法.
考情分析
高二数学·凌云班（课改）·秋
16
2
1
模块
1
数列求和
知识凝炼
裂项相消
1
把数列的通项拆成两项之差, 在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得其和. 用裂项相消法求和时
应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项, 也可能前面剩两项, 后面也剩两项, 前后剩余项是对称出现
的.
2
常见裂项形式：
1
n(n+1) = 1
n −
1
n+1
1
n(n+k) = 1
k (1
n −
1
n+k)
1
n2 −1 = 1
2(
1
n−1 −
1
n+1)
1
√
k +
√
k +1
=
√
k +1−
√
k
精讲精练
考点1: 裂项求和
例1
★★
求数列
{
1
(2n−1)(2n+1)
}
的前n 项和Sn 为( )
A.
2n
2n+1
B.
n
2n−1
C.
n
4n−1
D.
n
2n+1
进阶1
★★★
1
1×3 +
1
2×4 +
1
3×5 +
1
4×6 +···+
1
n(n+2) =( )
A.
1
n(n+2)
B. 1
2
(
1−
1
n+2
)
C. 1
2
(
3
2 −
1
n+1 −
1
n+2
)
D. 1
2
(
1−
1
n+1
)
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17
2
达标检测1
★★★
正确率：59%
数列an =
1
(2n−1)(2n+3) 的前n 项和为( )
A. 2n+2
2n+3
B. n+1
4n+6
C. 1
3 −
n+1
(2n+1)(2n+3)
D. 4
3 −
4n+4
(2n+1)(2n+3)
例2
★★★★
在数列{an} 中，a1 = 3
2，数列{an −2} 是公比为1
2 的等比数列，求证：1
2a1a2
+
1
22a2a3
+···+
1
2nanan+1
< 1
3．
知识凝炼
错位相减
1
此种方法主要用于数列{anbn} 的求和，其中{an} 为等差数列，{bn} 是公比为q 的等比数列，只需用
Sn −qSn 便可转化为等比数列的求和．
2
解题步骤：
第一步：展开，将前n 项和列出从第一项到最后一项的分解形式，即等差数列和等比数列乘积的形式．
第二步：乘q，将等式两边同时乘以q，得到qSn 的式子．
第三步：作差，用Sn 的式子减去qSn 的式子，此处用到错位相减．
第四步：整理，将最后作差后的结果整理，得到Sn．
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18
2
精讲精练
考点2: 错位相减求和
例3
★★★
已知数列{an} 满足an = (2n−3)·3n−4，n ∈N∗，则数列{an} 的前n 项和Sn =
．
知识凝炼
分组求和
（1）有些数列可以将每一项适当拆开，再进行分组；
（2）有些数列可以对奇偶项分别求和，此时要注意项数分奇偶讨论；
（3）有些数列可以将相邻若干项合并，然后再去求和．
精讲精练
考点3: 分组与并项
例4
★★★
正确率：94%
已知对数列{an}，有a1 = 1，a2 = 2，且an+2 −an = 2−2(−1)n，n ∈N∗，则S2017 的值为( )
A. 2016×1010−1
B. 1009×2017
C. 2017×1010−1
D. 1009×2016
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19
2
例5
★★★★
已知f (n) =
n2,n为正奇数
−n2,n为正偶数
，且an = f (n)+ f (n+1)，则a1 +a2 +a3 +···+a2017 的值为( )
A. 0
B. 2019
C. −2019
D. 2018×2019
达标检测2
★★★
正确率：52%
数列{an} 满足a1 = a2 = 1，an +an+1 +an+2 = cos 2nπ
3 (n ∈N∗)，若数列{an} 的前n 项和为Sn，则S2018
的值为( )
A. −334
B. −672
C. 674
D. 2018
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20
2
2
模块
2
数列求通项
知识凝炼
1
叠加法：若数列递推公式为an = an−1 + f(n)，则通项an = a1 +
n
∑
i=2
f(i)．
2
叠乘法：若数列递推公式为an = f(n)·an−1，则通项an = a1 · f(2)· f(3)····· f(n)．
精讲精练
考点4: 叠加法
例6
★★★
正确率：39%
已知数列{an} 满足a1 = 1
4，an −an−1 =
1
n2 −1(n ⩾2)，则an =( )
A.
2n2 −1
2n(n+1)
B.
2n−1
2(n+1)
C.
n2 +1
4n(n+1)
D.
n2 +1
4(n+1)
达标检测3
★★★
正确率：61%
已知数列{an} 的前n 项和为Sn，若a1 = 2，an+1 = an +2n−1 +1，则S10 =
．
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21
2
考点5: 叠乘法
例7 （1）★★★
已知数列{an} 满足a1 = 2，(n+1)an = (n−1)an−1 (n ⩾2,n ∈N∗)，则a3
a1
=
；数列{an} 的
通项公式为
．
（2）★★★★正确率：82%
在数列{an} 中，a1 = 1，2an+1 =
(
1+ 1
n
)2
an．求an．
知识凝炼
一阶线性递推
类型1：递推公式为an+1 = pan +q.
方法：把原递推公式转化为an+1 −t = p(an −t)，其中t =
q
1−p，再利用换元法转化为等比数列求解.
类型2：递推公式为an+1 = pan +rqn.
方法：设an+1 +A·qn+1 = p·(an +A·qn)，待定系数求出A，再利用换元法转化为等比数列求解.
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22
2
精讲精练
考点6: 一阶线性递推
例8
★★
数列{an} 中，a1 = 1，an+1 = 3an +1(n ∈N∗)，则an =
．
进阶2
★★★★正确率：63%
已知数列{an} 满足an+1 = 2an +3·2n，a1 = 2，求数列{an} 的通项公式．
知识凝炼
倒数法
当递推公式为an+1 =
pan
qan +s 时，通常两边同时取倒数，把原递推公式转化为
1
an+1
=
s
pan
+ q
p．
①若p = s，则{ 1
an
} 是以1
a1
为首项，以q
p 为公差的等差数列．
②若p̸ = s，则可转化为
1
an+1
−t = s
p( 1
an
−t)（其中t =
q
p−s）形式求解．
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23
2
精讲精练
考点7: 构造倒数数列
例9
★★
已知数列{an} 满足：a1 = 2，an−1 −an = 2anan−1 (n ∈N∗,n ⩾2)，则数列{an} 的通项公式an =
．
达标检测4
★★★
已知数列{an} 满足a1 = 1
3，an+1 =
an
2an +1 (n ∈N∗)，则a3 +a1005
a3a1005
=( )
A. 2015
B. 2016
C. 2017
D. 2018
例10 ★★★★★
如果数列{an} 满足a1 = 2，a2 = 1，且an−1 −an
an−1
= an −an+1
an+1
(n ⩾2)，则这个数列的第10 项等于( )
A.
1
210
B. 1
29
C. 1
5
D. 1
10
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24
2
知识凝炼
由Sn 求通项
1
已知Sn 求an，直接用公式：an =
S1,n = 1
Sn −Sn−1,n ⩾2
；
2
已知an 与Sn 的关系有两种处理方式：
⑴消an 留Sn：把题目中的an 用Sn −Sn−1 替换，转化为关于Sn 的递推关系，从而得到Sn 的通项公式，
再转化为an 的通项公式．
⑵消Sn 留an：分别写出Sn 和Sn−1 的表达式，两式相减转化为关于an 的递推关系．
精讲精练
考点8: 由Sn 求通项
例11
★★★
正确率：76%
已知Sn 为数列{an} 的前n 项和，a1 = 1，Sn = n2 ·an，n ∈N∗，则数列{an} 的通项公式为( )
A. an = 1
n
B. an =
1
n(n+1)
C. an =
1
n+1
D. an =
2
n(n+1)
达标检测5
★★★★正确率：83%
已知数列{an} 的前n 项和为Sn，且Sn = n−5an +23，n ∈N∗，则数列{an} 的通项公式an =( )
A. 3×
(
5
6
)n−1
−1
B. 3×
(
5
6
)n
−1
C. 3×
(
5
6
)n−1
+1
D. 3×
(
5
6
)n
+1
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25
2
进阶3 ★★★★
设数列{an} 的前n 项和为Sn，a1 = 3，对任意n ∈N∗，满足2an+1 +Sn −2 = 0，则数列{an} 的通项公
式为
．
例12 ★★★★
数列{an} 中，Sn 为数列{an} 的前n 项和，且a1 = 1，an =
2S2
n
2Sn −1 (n ⩾2)，则这个数列前n 项和
Sn =
．
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26
2
课堂总结
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27
2
直击高考
考题
（2017 高考真题新课标I12）
几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解
数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，
2，4，8，1，2，4，8，16，···，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类
推．求满足如下条件的最小整数N : N > 100 且该数列的前N 项和为2 的整数幂．那么该款软件的激
活码是( )
A. 440
B. 330
C. 220
D. 110
答案
A
解析
由题意可知：设第一项是20，第二项是接下来的两项20，21，第三项是再接下来的三项20，21，22，
根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：21 −1，22 −1，23 −1，···，2n −1，
每项含有的项数为：1，2，3，···，n，
总共的项数为N = 1+2+3+···+n = (1+n)n
2
，
所有项数的和为Sn = 21 −1+22 −1+23 −1+···+2n −1
=
(
21 +22 +23 +···+2n)
−n
= 2(1−2n)
1−2
−n = 2n+1 −2−n，
由题意可知：2n+1 为2 的整数幂，只需将−2−n 消去即可，
则①1+2+(−2−n) = 0，解得：n = 1，
N = (1+1)×1
2
+2 = 3，不满足N > 100，
②1+2+4+(−2−n) = 0，解得：n = 5，
N = (1+5)×5
2
+3 = 18，不满足N > 100，
③1+2+4+8+(−2−n) = 0，解得：n = 13，
N = (1+13)×13
2
+4 = 95，不满足N > 100，
④1+2+4+8+16+(−2−n) = 0，解得：n = 29，
N = (1+29)×29
2
+5 = 440，满足N > 100，
∴该款软件的激活码是440．
故选A．
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28
2
直击自招
考题
（清华大学2016 年自主招生笔试真题14）
数列{an} 满足a1 = 1，a2 = 2，an+2 = 6an+1 −an (n ∈N∗)．对任意正整数n，以下说法中正确的有( )
A. a2
n+1 −an+2an 为定值
B. an ≡1(mod 9) 或an ≡2(mod 9)
C. 4anan+1 −7 为完全平方数
D. 8anan+1 −7 为完全平方数
答案
A,C,D
解析
因为
a2
n+2 −an+3an+1 = a2
n+2 −(6an+2 −an+1)an+1
= a2
n+2 −6an+2an+1 +a2
n+1
= an+2 (an+2 −6an+1)+a2
n+1
= a2
n+1 −an+2an，
所以A 正确．
由于a3 = 11，故
a2
n+1 −an+2an = a2
n+1 −(6an+1 −an)an
= a2
n+1 −6an+1an +a2
n
= −7，
对任意正整数恒成立，所以4anan+1 −7 = (an+1 −an)2，8anan+1 −7 = (an+1 +an)2，故C、D 正确．
计算前几个数即可判断B 错误．
第3 讲
数列与不等式综
合问题
直击课堂
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31
3
学习目标
1. 掌握判断数列单调性的两种方法，并能利用数列单调性求最大最小项.
2. 能通过合理的转化化归，解决数列的恒成立、存在性问题.
2. 理解放缩法的基本思想，掌握数列放缩的几种常见手段.
考情分析
高二数学·凌云班（课改）·秋
32
3
1
模块
1
数列的单调性与最值
知识凝炼
数列的单调性
(1) 判断数列的单调性：两种方法
①邻项比较法：对于任意的正整数n，比较an 与an+1 的大小．若an+1 恒大于an，则{an} 单调递增，若an+1
恒小于an，则{an} 单调递减．
②函数特性法：数列是一个特殊的函数，因此判断函数单调性的方法同样适用于数列．我们可以先判断相应函
数的单调性，进而得到数列的单调性．
(2) 数列单调性的应用：求数列中的最大(小) 项问题
①利用当
an ⩾an+1
an ⩾an−1
时，an 是数列中的最大项；当
an ⩽an+1
an ⩽an−1
时，an 是数列中的最小项来求数列的最值．
②也可以先利用函数方法判断出数列的单调性，进一步求出数列的最大(小) 项．
精讲精练
考点1: 数列的单调性
例1 （1）★★
正确率：42%
已知数列{an} 的通项公式为an =
an
bn+c，其中a、b、c 均为正数，那么an
an+1．(填“>”、
“<”、
“=”)
（2）★★★
已知数列{an} 的通项公式为an = n2 −bn，若数列{an} 是单调递增数列，则实数b 的取值范围是
( )
A. (−∞,3)
B. (−∞,2)
C. (3,+∞)
D. (2,+∞)
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33
3
（3）★★★
已知数列{an} 满足an =
an−2,n < 4
(6−a)n−a,n ⩾4
，若对于任意的n ∈N∗都有an < an+1 成立，则实
数a 的取值范围为( )
A. (1,4)
B. (2,5)
C. (1,6)
D. (4,6)
达标检测1
★★★
已知单调递增数列{an} 满足an = 3n −λ ·2n（其中λ 为常数，n ∈N∗），则实数λ 的取值范围是( )
A. λ ⩽3
B. λ < 3
C. λ ⩾3
D. λ > 3
考点2: 数列的最大项最小项
例2 （1）★★★
数列{an} 的通项公式是an = (2n+1)
(
9
10
)n
，n ∈N∗，则{an} 中的最大项的序号是
．
（2）★★★★正确率：49%
已知数列{an} 的通项公式为an = (4
9)
n−1
−(2
3)
n−1
，则数列{an}( )
A. 有最大项，没有最小项
B. 有最小项，没有最大项
C. 既有最大项又有最小项
D. 既没有最大项也没有最小项
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34
3
达标检测2
★★
已知数列{an} 的通项为an =
n
n2 +58，则数列{an} 的最大值为( )
A.
1
2
√
58
B.
7
107
C. 4
61
D. 不存在
进阶1
★★★★★
已知数列{an} 的通项公式为an = 25−n，数列{bn} 的通项公式为bn = n + k，设cn =
bn,an ⩽bn
an,an > bn
，
若在数列{cn} 中，c5 ⩽cn 对任意n ∈N∗恒成立，则实数k 的取值范围是
．
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35
3
2
模块
2
数列的恒成立与存在性问题
精讲精练
考点3: 数列的恒成立、存在性问题
例3 （1）★★★★
已知数列{an} 满足a1 = 1
2，an+1 =
an
an +1 (n ∈N∗)，若不等式tan + 4
n +1 ⩾0 恒成立，则实数t 的取
值范围是
．
（2）★★★★
若不等式(−1)na < 2+ (−1)n+1
n
对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A.
[
−3, 3
2
)
B.
(
−2, 3
2
)
C.
[
−2, 3
2
)
D.
(
−3, 3
2
)
达标检测3
★★★
数列an = 2n+1，其前n 项和为Tn，若不等式nlog2 (Tn +4)−λ (n+1)+7 ⩾3n 对一切n ∈N∗恒成立，则
实数λ 的取值范围为( )
A. λ ⩽3
B. λ ⩽4
C. 2 ⩽λ ⩽3
D. 3 ⩽λ ⩽4
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36
3
例4
★★★★★
已知等比数列{an} 的公比为q ∈(0,1)，且数列第11 项的平方等于第6 项，若存在正整数k 使得
a1 +a2 +···+ak > 1
a1
+ 1
a2
+···+ 1
ak
，则k 的取值范围是
．
例5
★★★★
已知等差数列{an} 和递增的等比数列{bn} 满足：a1 = 1，b1 = 3 且b3 = 2a5 +3a2，b2 = a4 +2．
（1）分别求数列{an} 和{bn} 的通项公式．
（2）设Sn 表示数列{an} 的前n 项和，若对任意的n ∈N∗，kbn ⩾Sn 恒成立，求实数k 的取值范围．
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37
3
3
模块
3
放缩法在数列中的应用
知识凝炼
1
放缩法
为了证明不等式A ⩽B, 我们可以找一个或者多个中间变量C 作比较, 即若能判定A ⩽C,C ⩽B 同时成
立, 那么就有A ⩽B. 所谓“放”即把A 放大到C，再把C 放大到B；反之，由B 缩小经过C 而变到A，则称
为“缩”，统称为放缩法．
2
放缩法在数列不等式中的应用
在证明数列求和型的不等式时，如果{an} 的前n 项和无法求出，可以尝试对an 的每项进行放缩，放缩为
一个可以求和的数列，再去和不等式另一边作比较．常见的有两种形式：等比放缩和裂项放缩．
精讲精练
考点4: 等比放缩
例6
★★★
已知an =
1
2n−1 +1，Sn 为an 的前n 项和，求证Sn < 3
2．
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38
3
达标检测4
★★★
已知an =
1
2n−1 +1，Sn 为an 的前n 项和，求证Sn < 4
3．证明Sn < 4
3 的过程中，我们需要( )
A. 从第一项开始放缩
B. 保留第一项，从第二项开始放缩
C. 保留第一项和第二项，从第三项开始放缩
D. 以上都不对
例7
★★★★
已知an = 3n −1
2
，求证：1
a1
+ 1
a2
+···+ 1
an
< 3
2．
考点5: 裂项放缩
例8
★★★★
证明：1
2 −
1
n+1 < 1
22 + 1
32 +···+ 1
n2 < n−1
n
，n ∈N∗,n ⩾2．
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39
3
达标检测5
★★★★
已知an =
1
(3n+1)2 ，Sn 为an 的前n 项和，求证Sn < 1
6．求Sn 时，我们可以将an =
1
(3n+1)2 放缩为
( )
A.
1
(3n+1)2 <
1
3n(3n+2) = 1
2
(
1
3n −
1
3n+2
)
B.
1
(3n+1)2 <
1
3n(3n+2) <
1
(3n+2)(3n−1) = 1
3
(
1
3n−1 −
1
3n+2
)
C.
1
(3n+1)2 <
1
3n(3n+1) <
1
3n(3n+1) = 1
3n −
1
3n+1
D. 以上都不对
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40
3
课堂总结
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41
3
直击高考
考题
（2016 高考真题天津卷）
已知{an} 是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n ∈N∗，bn 是an 和an+1 的等比中项．
（1）设cn = b2
n+1 −b2
n,n ∈N∗，求证：{cn} 是等差数列．
（2）设a1 = d，Tn =
2n
∑
k=1
(−1)nb2
n,n ∈N∗，求证：
n
∑
k=1
1
Tk
<
1
2d2 .
答案（1）见解析
（2）见解析
解析（1）证明：由题意得b2
n = anan+1，有cn = b2
n+1 −b2
n = an+1an+2 −anan+1 = 2dan+1，因此cn+1 −cn =
2d (an+2 −an+1) = 2d2，所以{cn} 是等差数列．
（2）证明：Tn =
(
−b2
1 +b2
2
)
+
(
−b2
3 +b2
4
)
+
(
−b2
2n−1 +b2
2n
)
= 2d (a2 +a4 +···+a2n) = 2d · n(a2 +a2n)
2
=
2d2n(n+1)，所以
n
∑
k=1
1
Tk
=
1
2d2
n
∑
k=1
1
k(k +1) =
1
2d2
n
∑
k=1
(
1
k −
1
k +1
)
=
1
2d2 ·
(
1−
1
n+1
)
<
1
2d2 ．
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42
3
直击自招
考题
（2018 年中国科学技术大学自主招生考试11）
设a1 = 1，an+1 =
(
1+ 1
n
)3
(n+an)(n ∈N∗)．
求证：
（1）an = n3
(
1+
n−1
∑
k=1
1
k2
)
．
（2）
n
∏
k=1
(
1+ k
ak
)
< 3．
答案（1）见解析
（2）见解析
解析（1）因为an+1 =
(
1+ 1
n
)3
(n+an)，所以
an+1
(n+1)3 −an
n3 = 1
n2 ，则an = n3
(
1+
n−1
∑
k=1
1
k2
)
．
（2）因为an+1 =
(
1+ 1
n
)3
(n+an)，所以an +n = n3an+1
(n+1)3 ，即1+ n
an
=
n3an+1
(n+1)3an
，
则
n
∏
k=1
(
1+ k
ak
)
=
an+1
(n+1)3 ，而an
n3 = 1+
n−1
∑
k=1
1
k2 < 2+
n−1
∑
k=2
1
k(k −1) = 3−
1
n−1 < 3，则an < 3n3，所以
an+1 < 3(n+1)3 ⇒
an+1
(n+1)3 < 3，即
n
∏
k=1
(
1+ k
ak
)
< 3，证毕！
第4 讲
椭圆基本量与几
何性质
直击课堂
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45
4
学习目标
1. 熟练掌握椭圆的定义与标准方程，解决相关的基本量问题．
2．掌握椭圆中的一些重要二级结论，解决相关问题．
3．掌握椭圆重点题型——离心率及离心率范围的一般求解方法．
考情分析
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46
4
1
模块
1
方程与基本量
知识凝炼
1
椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
集合语言叙述为：点集P = {M ||MF1|+|MF2| = 2a,2a > |F1F2|}
2
椭圆的标准方程：
①x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0)，焦点是F1(−c,0)，F2(c,0)，且c2 = a2 −b2．
②y2
a2 + x2
b2 = 1(a > b > 0)，焦点是F1(0,−c)，F2(0,c)，且c2 = a2 −b2．
椭圆的几何性质
以中心在原点、焦点在x 轴上的方程C : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 为例，椭圆的几何性质如下：
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47
4
精讲精练
考点1: 基本量的计算问题
例1 （1）★★
若
(√
2,0
)
是椭圆kx2 +2ky2 = 1 的一个焦点，则实数k 的值是( )
A.
√
2
2
B.
√
2
4
C. 1
4
D. 1
（2）★★★
在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 过点P
(
1, 3
2
)
，离心率为1
2，则椭圆
C 的方程为
．
达标检测1
★★★
已知椭圆mx2 +4y2 = 1 的离心率为
√
2
2 ，则实数m 等于( )
A. 2
B. 2 或8
3
C. 2 或6
D. 2 或8
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48
4
考点2: 基本量的比较问题
例2 （1）★★
正确率：74%
曲线x2
25 + y2
9 = 1 与曲线
x2
25−k +
y2
9−k = 1(k < 9) 的( )
A. 长轴长相等
B. 短轴长相等
C. 离心率相等
D. 焦距相等
（2）★★★★正确率：45%
若椭圆C1：x2
a2
1
+ y2
b2
1
= 1(a1 > b1 > 0) 和椭圆C2：x2
a2
2
+ y2
b2
2
= 1(a2 > b2 > 0) 的焦点相同且a1 > a2．给
出如下四个结论：
①椭圆C1 和椭圆C2 一定没有公共点；
②a2
1 −a2
2 = b2
1 −b2
2；
③a1
a2
> b1
b2
；
④a1 −a2 < b1 −b2．
其中，所有正确结论的序号是( )
A. ②③④
B. ①③④
C. ①②④
D. ①②③
达标检测2
★★★★正确率：58%
如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1 和a2，半焦距分别为c1
和c2，椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，则下列结论不正确的是( )
A. a1 −c1 = a2 −c2
B. a1 +c1 > a2 +c2
C. a1c2 > a2c1
D. a1c2 < a2c1
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49
4
考点3: 结合几何条件的基本量问题
例3 （1）★★★
椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2 的正方形的
顶点，则椭圆E 的标准方程为( )
A. x2
2 + y2
√
2
= 1
B. x2
2 +y2 = 1
C. x2
4 + y2
2 = 1
D. y2
4 + x2
2 = 1
（2）★★★★
已知直线2x+y−4 = 0 过椭圆E：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点F2，且与椭圆E 在第一象限的
交点为M，与y 轴交于点N，F1 是椭圆E 的左焦点，且|MN| = |MF1|，则椭圆E 的方程为
．
高二数学·凌云班（课改）·秋
50
4
2
模块
2
三焦结论及应用
知识凝炼
1
焦半径
连接椭圆上任意一点M 与椭圆焦点的线段，叫做椭圆的焦半径，P(x,y) 是椭圆：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 上
任意一点，F1,F2 是椭圆的左右焦点，|PF2| = a−ex，|PF1| = a+ex，焦半径的最小值为a−c，最大值为a+c.
2
焦点弦
过椭圆焦点的直线与椭圆有两个交点，两交点之间的线段叫做椭圆的焦点弦，其中垂直于焦点所在坐标
轴的焦点弦长度最短，又叫通径，长度为2b2
a , 最长的焦点弦为长轴，长度为2a.
3
焦点三角形
以椭圆的两个焦点F1、F2 与椭圆上任意一点P（非长轴顶点）组成的三角形，叫做焦点三角形，椭圆的焦
点三角形的周长为2a+2c，面积为S△PF1F2 = 1
2 ·2c·
yp
= b2 ·tan ∠F1PF2
2
.
4
椭圆中的两个最大张角
①已知F1、F2 为椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，则当点P 为椭圆短轴的
端点时，∠F1PF2 最大．
②已知A,B 为椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 长轴上的两个顶点，Q 为椭圆上任意一点，则当点Q 为椭圆
短轴的端点时，∠AQB 最大．
精讲精练
考点4: 焦半径的应用
例4
★★★★正确率：72%
已知椭圆的标准方程为x2
4 + y2
3 = 1，F1，F2 为椭圆的左右焦点，O 为原点，P 是椭圆在第一象限的点，则
|PF1 |−|PF2|
|PO|
的取值范围( )
A.
(
0, 1
2
)
B.
(
0,
√
3
3
)
C. (0,1)
D.
(
0, 2
√
3
3
)
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51
4
进阶1
★★★★
设F1，F2 分别是椭圆E：x2 + y2
b2 = 1(0 < b < 1) 的左、右焦点，过点F1 的直线交椭圆E 于A，B 两点，
若|AF1| = 3|BF1|，AF2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为
．
达标检测3
★★★
正确率：62%
设A(x1,y1)、B(4, 9
5)、C(x2,y2) 是右焦点为F 的椭圆x2
25 + y2
9 = 1 上三个不同的点，若|AF|、|BF|、|CF|
成等差数列，则x1 +x2 =
．
考点5: 焦点弦与焦点弦三角形
例5 （1）★★
椭圆x2
16 + y2
9 = 1 的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1 的直线交椭圆于A、B 两点，则△ABF2 的
周长为
；若A、B 两点的坐标分别为(x1,y1) 和(x2,y2)，且△ABF2 的面积是4，则|y2 −y1|
的值为
．
（2）★★★
已知椭圆x2
9 + y2
m = 1(0 < m < 9) 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1 的直线交椭圆于A，B 两点，若
|AF2|+|BF2| 的最大值为10，则m 的值为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D.
√
3
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52
4
考点6: 焦点三角形的应用
例6 （1）★★★
已知P 为椭圆x2
25 + 4y2
75 = 1 上一点，F1、F2 是椭圆的焦点，∠F1PF2 = 60◦，则P 点的坐标为
．
（2）★★★★★
已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1，F2 ，点A 为椭圆的上顶点，B 是直线AF2
与椭圆的另一个交点，且∠F1AF2 = 60◦，△AF1B 的面积为40
√
3，则a 的值是
．
达标检测4
★★★
已知F1、F2 是椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且−→
PF1⊥−→
PF2．若△PF1F2
的面积为9，则b =
．
考点7: 最大张角结论的应用
例7
★★★★正确率：43%
设A，B 是椭圆C：x2
3 + y2
m = 1 长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB = 120◦，则m 的取值范
围是( )
A. (0,1]∪[9,+∞)
B.
(
0,
√
3
]
∪[9,+∞)
C. (0,1]∪[4,+∞)
D.
(
0,
√
3
]
∪[4,+∞)
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53
4
3
模块
3
离心率问题
知识凝炼
求离心率问题一般有两种方法：
（1）定义法：直接求出圆锥曲线中a 和c 的值，进而求出e 的值；
（2）列方程或不等式法：
①列式：由已知条件列出a,b,c 的关系式；
②整理：
（利用a,b,c 的关系）消去b，建立a、c 的方程或不等式；
③建方程：两边同时除以a 得最高次幂，得关于e 的方程或不等式；
④求值：解方程或不等式得e 的值或取值范围.
精讲精练
考点8: 离心率的求值问题
例8
★★★
设椭圆E : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的右顶点为A，右焦点为F，B 为椭圆在第二象限内的点，直线BO 交
椭圆于点C，O 为原点，若直线BF 平分线段AC，则椭圆的离心率为( )
A. 1
2
B. 1
3
C. 1
4
D. 1
5
进阶2
★★★★★
设椭圆C 的两个焦点是F1、F2，过F1 的直线与椭圆C 交于P、Q，若|PF2| = |F1F2|，且5|PF1| = 6|F1Q|，
则椭圆的离心率为
．
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54
4
达标检测5
★★★★
已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为F2，O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线MF2
与椭圆C 的一个交点，且|OA| = |OF2| = 2|OM|，则椭圆C 的离心率为( )
A. 1
3
B. 2
5
C.
√
5
5
D.
√
5
3
考点9: 离心率的范围问题
例9
★★★
设F1，F2 是椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左右焦点，椭圆C 上存在点M 使得|F1F2| = 3|MF2|，则
C 的离心率e 的范围是( )
A.
(
0, 3
5
)
B.
[
3
5,1
)
C.
[
1
2, 3
5
]
D.
[
1
2,1
)
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55
4
课堂总结
直击高考
考题
（2017 高考真题新课标Ⅲ）
已知椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线
bx−ay+2ab = 0 相切，则C 的离心率为( )
A.
√
6
3
B.
√
3
3
C.
√
2
3
D. 1
3
答案
A
解析
以线段A1A2 为直径的圆与直线bx −ay + 2ab = 0 相切，∴原点到直线的距离
2ab
√
a2 +b2 = a，化为：
a2 = 3b2．∴椭圆C 的离心率e = c
a =
√
1−b2
a2 =
√
6
3 ．故选：A．
高二数学·凌云班（课改）·秋
56
4
直击自招
考题
（清华大学2016 年自主招生笔试真题17）
已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 与直线l1：y = 1
2x，l2：y = −1
2x，过椭圆上一点P 作l1，l2 的平行线，分
别交l1，l2 于M，N 两点．若|MN| 为定值，则
√a
b =( )
A.
√
2
B.
√
3
C. 2
D.
√
5
答案
C
解析
设P 点坐标为(x0,y0)，可得M
(
1
2x0 +y0, 1
4x0 + 1
2y0
)
，N
(
1
2x0 −y0,−1
4x0 + 1
2y0
)
，故|MN| =
√
1
4x2
0 +4y2
0
为定值，所以a2
b2 = 4
1
4
= 16，故
√a
b = 2．
第5 讲
双曲线基本量与
几何性质
直击课堂
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59
5
学习目标
1. 熟练掌握双曲线的定义与标准方程，解决相关的基本量问题．
2．掌握双曲线中的一些重要二级结论，解决相关问题．
3．掌握双曲线重点题型——离心率及离心率范围的一般求解方法．
考情分析
高二数学·凌云班（课改）·秋
60
5
1
模块
1
方程与基本量
知识凝炼
1
双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2| 且不等于零）的点
的轨迹叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距．
2
双曲线的标准方程：
①x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)，焦点坐标为F1(−c,0)，F2(c,0)，c2 = a2 +b2；
②y2
a2 −x2
b2 = 1(a > 0,b > 0)，焦点坐标为F1(0,−c)，F2(0,c)，c2 = a2 +b2；
双曲线的几何性质
以中心在原点、焦点在x 轴上的方程C : x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 为例双曲线的几何性质如下：
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61
5
精讲精练
考点1: 基本量的计算问题
例1 （1）★★
双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的离心率为
√
3，则其渐近线方程为( )
A. y = ±
√
2x
B. y = ±
√
3x
C. y = ±
√
2
2 x
D. y = ±
√
3
2 x
（2）★★★
与双曲线x2
9 −y2
16 = 1 有共同的渐近线，且经过点
(
−3,2
√
3
)
的双曲线的方程为( )
A. x2
4 −4y2
9 = 1
B. y2
4 −4x2
9 = 1
C. 4y2
9 −x2
4 = 1
D. 4x2
9 −y2
4 = 1
达标检测1
★★★
已知双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的一条渐近线平行于直线l：y = 2x+10，双曲线的一个焦点在直
线l 上，则双曲线的方程为( )
A. 3x2
25 −3y2
100 = 1
B. 3x2
100 −3y2
25 = 1
C. x2
20 −y2
5 = 1
D. x2
5 −y2
20 = 1
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62
5
考点2: 基本量的比较问题
例2 （1）★★
若实数k 满足0 < k < 9，则曲线x2
25 −
y2
9−k = 1 与曲线
x2
25−k −y2
9 = 1 的( )
A. 离心率相等
B. 虚半轴长相等
C. 实半轴长相等
D. 焦距相等
（2）★★★★正确率：54%
将离心率为e1 的双曲线C1 的实半轴长a 和虚半轴长b(a̸ = b) 同时增加m(m > 0) 个单位长度，得
到离心率为e2 的双曲线C2，则( )
A. 对任意的a,b，e1 > e2
B. 当a > b 时，e1 > e2；当a < b 时，e1 < e2
C. 对任意的a,b，e1 < e2
D. 当a > b 时，e1 < e2；当a < b 时，e1 > e2
达标检测2
★★★
已知双曲线C1 : x2
4 −y2
3 = 1 与双曲线C2 : x2
4 −y2
3 = −1，给出下列说法，其中错误的是( )
A. 它们的焦距相等
B. 它们的焦点在同一个圆上
C. 它们的渐近线方程相同
D. 它们的离心率相等
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63
5
考点3: 结合几何条件的基本量问题
例3 （1）★★★
双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的渐近线为等边三角形OAB 的边OA，OB 所在直线，直线AB 过
双曲线的焦点F，且|AB| = 2，则a =( )
A. 2
B.
√
3
C.
√
3
2
D. 3
2
（2）★★★★
已知双曲线C : x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)，以原点为圆心，b 为半径的圆与x 轴正半轴的交点恰好是
右焦点与右顶点的中点，此交点到渐近线的距离为16
5 ，则双曲线方程是( )
A. 5x2
24 −5y2
16 = 1
B. x2
16 −y2
9 = 1
C. x2
9 −y2
16 = 1
D. x2
16 −y2
25 = 1
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64
5
2
模块
2
三焦结论及应用
知识凝炼
以焦点在x 轴上的双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1 为例
1
焦半径
①|PF1| = |ex0 +a|，|PF2| = |ex0 −a|
其中P 为双曲线上任一点，x0 为P 的横坐标，F1,F2 分别为双曲线的左右焦点.
②同侧焦半径最小值为c−a，异侧焦半径最小值为c+a.
2
焦点弦
①通径：过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦，弦长为2b2
a ．
②过焦点且端点在同一支的弦中，通径长度最短．
3
焦点三角形
双曲线上一点P 与两焦点F1,F2 围成的三角形，称为焦点三角形．
面积公式S = b2 cot θ
2 ，其中θ 为P 对F1,F2 的张角，即θ = ∠F1PF2．
同时，面积可由“1
2× 底× 高”来计算，即S = 1
2(2c)|yP| = c|yP|，因此，面积公式可写为
S = b2 cot θ
2 = c|yP|．
由此公式可得到如下推论：
①当P 点从（左）右顶点向上（下）移动时，纵坐标绝对值变大⇒面积变大⇒张角变小；
②面积，张角，坐标，三者形成一一对应：已知其一，必能求另外其二．
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65
5
精讲精练
考点4: 焦半径的应用
例4 （1）★★★
双曲线x2
16 −y2
9 = 1 的左焦点为F，P 为双曲线右支上一点，且|PF| < 14，则P 点横坐标的取值范
围是
．
（2）★★★
已知双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左，右焦点分别为F1，F2，点P 在双曲线的右支上，且|PF1|
= 4|PF2|，则此双曲线的离心率的取值范围为
．
达标检测3
★★★★
设双曲线x2 −y2
3 = 1 的左、右焦点分别为F1，F2．若点P 在双曲线上，且△F1PF2 为锐角三角形，则
|PF1|+|PF2| 的取值范围是( )
A.
(√
7,2
√
7
)
B.
(
2
√
7,8
)
C.
(
2
√
7,+∞
)
D.
[√
7,4
)
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66
5
考点5: 焦点弦与焦点弦三角形
例5 （1）★★
已知双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)，过焦点F1 的弦AB(A，B 两点在同一支上) 长为m，另一焦点
为F2，则△ABF2 的周长为( )
A. 4a
B. 4a−m
C. 4a+2m
D. 4a−2m
（2）★★★★★
已知双曲线C：x2
9 −y2
8 = 1，左、右焦点分别为F1、F2，过点F2 作一直线与双曲线C 的右半支交于
P、Q 两点，使得∠F1PQ = 90◦，则△F1PQ 的内切圆的半径r =
．
考点6: 焦点三角形的应用
例6 （1）★★★
若F1、F2 为双曲线C：x2
4 −y2 = 1 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F1PF2 = 60◦，则点P 到x 轴
的距离为( )
A.
√
5
5
B.
√
15
5
C. 2
√
15
5
D.
√
15
20
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67
5
（2）★★★★★
设O 为坐标原点，F1，F2 是双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的焦点，若在双曲线上存在点P，满足
∠F1PF2 = 60◦，|OP| =
√
7a，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. x±
√
3y = 0
B.
√
3x±y = 0
C. x±
√
2y = 0
D.
√
2x±y = 0
达标检测4
★★★
点P 是双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0，b > 0) 上的点，F1，F2 是其焦点，双曲线的离心率是5
4，且−→
PF1 ·−→
PF2 = 0，
若△F1PF2 的面积是18，则a+b 的值等于( )
A. 7
B. 9
C. 7
√
2
D. 9
√
2
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68
5
3
模块
3
离心率问题
精讲精练
考点7: 离心率的求值问题
例7 （1）★★★★
过双曲线C : x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左焦点为F1，且和圆x2 +y2 = a2 相切的直线l 交C 的右
交于点Q．若切点P 恰为线段F1Q 的中点，则双曲线C 的离心率为( )
A.
√
5
B.
√
5
2
C.
√
3
D.
√
3
2
（2）★★★★
已知双曲线C : x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2 为直径的圆与双曲线
C 的渐近线在第一象限交于点Q，QF2 与双曲线C 交于点P，若点P 恰好是QF2 的一个靠近点Q
的三等分点，则双曲线C 的离心率为( )
A.
√
3−1
B.
√
3+1
C.
√
13+2
D.
√
13−2
达标检测5
★★★★
已知F1,F2 是双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左，右焦点，过F1 的直线l 与双曲线的左右两支分别
交于点B,A，若△ABF2 为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A.
√
7
B. 4
C. 2
√
3
3
D.
√
3
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69
5
考点8: 离心率的范围问题
例8 （1）★★★
已知双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的右焦点为F，若过点F 且倾斜角为60◦的直线与双曲线的
右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
A. (1,2]
B. (1,2)
C. [2,+∞)
D. (2,+∞)
（2）★★★★
双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的两个焦点分别为F1，F2，若P 为双曲线上一点，且
a
sin∠PF1F2
=
c
sin∠PF2F1
，则双曲线离心率的取值范围为( )
A.
(
1,
√
2
)
B.
(
1,1+
√
3
]
C.
(
1,1+
√
2
)
D. (1,+∞)
高二数学·凌云班（课改）·秋
70
5
课堂总结
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71
5
直击高考
考题
（2018 年天津市高考数学试卷（理科））
已知双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B
两点．设A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1 和d2，且d1 +d2 = 6，则双曲线的方程为( )
A. x2
4 −y2
12 = 1
B. x2
12 −y2
4 = 1
C. x2
3 −y2
9 = 1
D. x2
9 −y2
3 = 1
答案
C
解析
解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线
y = b
ax，即bx−ay = 0，F (c,0)，
AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB 是梯形，
F 是AB 的中点，EF = d1 +d2
2
= 3，
EF =
bc
√
a2 +b2 = b，
所以b = 3，双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的离心率为2，可得c
a = 2，
可得：a2 +b2
a2
= 4，解得a =
√
3．
则双曲线的方程为：x2
3 −y2
9 = 1．
故选：C．
高二数学·凌云班（课改）·秋
72
5
直击自招
考题
（2016 年全国高中数学联赛）
双曲线C 的方程为x2 −y2
3 = 1，左、右焦点分别为F1、F2．过点F2 作一直线与双曲线C 的右半支交于
点P、Q，使得∠F1PQ = 90◦，则△F1PQ 的内切圆半径是
．
答案
√
7−1
解析
解：由双曲线的性质知，F1F2 = 2×√1+3 = 4，PF1 −PF2 = QF1 −QF2 = 2．
因∠F1PQ = 90◦，故PF2
1 +PF2
2 = F1F2
2 ，
因此PF1 +PF2 =
√
2
(
PF2
1 +PF2
2
)
−(PF1 −PF2)2 =
√
2×42 −22 = 2
√
7．
从而直角△F1PQ 的内切圆半径是
r = 1
2 (F1P+PQ−F1Q) = 1
2 (PF1 +PF2)−1
2 (QF1 −QF2) =
√
7−1．
第6 讲
抛物线基本量与
几何性质
直击课堂
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75
6
学习目标
1. 掌握抛物线的定义及焦半径公式，解决与焦半径相关的问题.
2. 掌握抛物线焦点弦的一些重要几何性质，能选择恰当的方法求解与焦点弦相关的问题.
3. 掌握三类圆锥曲线及圆的综合问题．
考情分析
高二数学·凌云班（课改）·秋
76
6
1
模块
1
抛物线的定义与焦半径问题
知识凝炼
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l (F /∈l) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦
点，定直线l 叫做抛物线的准线．
二、抛物线的标准方程
抛物线的焦准距(焦点离准线的距离) 为p(p > 0)，顶点在原点，对称轴为坐标轴．
三、抛物线的几何性质
以抛物线y2 = 2px(p > 0) 为例，抛物线的几何性质如下：
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77
6
精讲精练
考点1: 抛物线定义的应用
例1
★★★
抛物线C：y = 1
4x2 的焦点为F，其准线l 与y 轴交于点A，点M 在抛物线C 上，当|MA|
|MF| =
√
2 时，
△AMF 的面积为( )
A. 1
B. 2
C. 2
√
2
D. 4
达标检测1
★★★★
已知直线y = k(x+2)(k > 0) 与抛物线C：y2 = 8x 相交于A、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA| = 2|FB|，
则k =( )
A. 1
3
B.
√
2
3
C. 2
3
D. 2
√
2
3
例2
★★★
点P 为抛物线：y2 = 4x 上一动点，定点A
(
2,4
√
5
)
，则|PA| 与P 到y 轴的距离之和的最小值为( )
A. 9
B. 10
C. 8
D. 5
高二数学·凌云班（课改）·秋
78
6
进阶1
★★★★正确率：41%
已知点P(x0,y0) 是抛物线y2 = 4x 上的一个动点，Q 是圆C : (x+2)2 +(y−4)2 = 1 上的一个动点，则
x0 +|PQ| 的最小值为( )
A. 2
√
5−1
B. 2
√
5
C. 3
D. 4
考点2: 焦半径的应用
例3 （1）★★
正确率：83%
已知点A(1,y0)(y0 > 0) 为抛物线y2 = 2px(p > 0) 上一点．若点A 到该抛物线焦点的距离为3，则
y0 =( )
A.
√
2
B. 2
C. 2
√
2
D. 4
（2）★★★★
已知A、B 两点均在焦点为F 的抛物线y2 = 2px(p > 0) 上，若
−→
AF
+
−→
BF
= 4，线段AB 的中点到
直线x = p
2 的距离为1，则p 的值为( )
A. 1
B. 1 或3
C. 2
D. 2 或6
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6
（3）★★★★★正确率：58%
设抛物线y2 = 2x 的焦点为F，过点M(
√
3,0) 的直线与抛物线相交于A，B 两点，与抛物线的准线
相交于C，|BF| = 2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S△BCF
S△ACF
=( )
A. 4
5
B. 2
3
C. 4
7
D. 1
2
达标检测2
★★★★正确率：80%
设抛物线C : y2 = 2px(p > 0) 的焦点为F，点M 在C 上，|MF| = 5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则
C 的方程为( )
A. y2 = 4x 或y2 = 8x
B. y2 = 2x 或y2 = 8x
C. y2 = 4x 或y2 = 16x
D. y2 = 2x 或y2 = 16x
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80
6
2
模块
2
抛物线的焦点弦问题
知识凝炼
抛物线过焦点的弦有一些特殊的性质：
已知AB 是抛物线y2 = 2px(p > 0) 的焦点弦，F 为抛物线的焦点，AC,BD 垂直于抛物线的准线于C,D 两点，过
点B 作AC 的垂线交AC 于点P，如图，记直线AB 的倾斜角为θ，A(x1,y1)、B(x2,y2)，则有以下结论：
①x1 ·x2 = p2
4 ；y1 ·y2 = −p2；
②|AB| = x1 +x2 + p =
2p
sin2θ ；
③S△AOB =
p2
2sinθ ；
④cosθ = |AF|−|BF|
|AF|+|BF| ；
⑤
1
|AF| +
1
|BF| = 2
p；
⑥以AF（BF）为直径的圆与y 轴相切；
⑦以AB 为直径的圆与抛物线准线相切；
⑧∠CFD = 90◦
⑨A、O、D（B、O、C）三点共线．
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81
6
精讲精练
考点3: 焦点弦的几何性质
例4 （1）★★
过抛物线x2 = 2py(p > 0) 的焦点F 作倾斜角为30◦的直线，与抛物线分别交于A、B 两点(A 在y
轴左侧)，则|AF|
|FB| =
．
（2）★★★★
如图，过抛物线y2 = 2px(p > 0) 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若
|BC| = 2|BF|，且|AF| = 4，则此抛物线的方程为
．
达标检测3
★★★
已知抛物线C : y2 = 8x 的焦点为F，准线为l，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若
−→
FP = 4−→
FQ，则|QF| =( )
A. 7
2
B. 3
C. 5
2
D. 2
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82
6
例5 （1）★★★
抛物线y2 = 2px 与过焦点的直线交于两点A、B，其中点A 的坐标是
(
2,2
√
2
)
，设抛物线的焦点F，
则|AB| =
．
（2）★★★
正确率：31%
抛物线C1：y2 = 4x，圆C2：(x−1)2 +y2 = 1
4，过C1 焦点的直线l 与C1，C2 有四个交点，按纵坐标从
大到小依次记为A，C，D，B，则|AC|+|BD| 的取值范围是( )
A. [1,+∞)
B. [2,+∞)
C. [3,+∞)
D. [4,+∞)
（3）★★★★
已知F 为抛物线C：y2 = 4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1 与抛物线C 交于A、
B 两点，直线l2 与抛物线C 交于D、E 两点，则|AB|+|DE| 的最小值为( )
A. 16
B. 14
C. 12
D. 10
考点4: 焦点弦的代数解法
例6
★★★
在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y2 = 4x 的焦点F，且与该抛物线相交于A,B 两点，其中点A 在
x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60◦，则△OAF 的面积为
．
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83
6
达标检测4
★★★
已知直线y = k(x+1)(k > 0) 与抛物线C：y2 = 4x 相交于A、B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若
|FA| = 3|FB|，则k =( )
A.
√
3
3
B.
√
3
C. 1
D.
√
2
例7
★★★★★
已知过抛物线C : y2 = 4x 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A,B 两点，直线AO,BO 分别与直线
m : x = −2 相交于M,N 两点，证明△ABO 与△MON 的面积之比为定值．
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84
6
3
模块
3
圆锥曲线的综合问题
精讲精练
考点5: 圆锥曲线与圆的综合
例8
★★★★
以双曲线C：x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F，与y
轴交于P,Q 两点，若△MPQ 为正三角形，则C 的离心率等于( )
A.
√
2
B.
√
3
C. 2
D.
√
5
达标检测5
★★★★
以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A、B 两点，交C 的准线于D、E 两点．已知|AB| = 4
√
2，|DE| =
2
√
5，则C 的焦点到准线的距离为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
考点6: 圆锥曲线之间的综合
例9 （1）★★★
已知抛物线y2 = 8x 的准线与双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 相交于A、B 两点，双曲线的一条渐
近线方程是y = 4
√
3
3 x，点F 是抛物线的焦点，且△FAB 是等边三角形，则该双曲线的标准方程是
( )
A. x2
36 −y2
6 = 1
B. x2
16 −y2
3 = 1
C. x2
6 −y2
32 = 1
D. x2
3 −y2
16 = 1
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85
6
（2）★★★★
平面直角坐标系xOy 中，双曲线C1 : x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的渐近线与抛物线C2 : x2 = 2py
(p > 0) 交于点O，A，B，若△OAB 的垂心为抛物线C2 的焦点，则双曲线C1 的离心率为
．
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86
6
课堂总结
直击高考
考题
（2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））
设抛物线C：y2 = 4x 的焦点为F，过点(−2,0) 且斜率为2
3 的直线与C 交于M，N 两点，则−−→
FM ·
−→
FN =( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
答案
D
解析
解：抛物线C：y2 = 4x 的焦点为F (1,0)，过点(−2,0) 且斜率为2
3 的直线为：3y = 2x+4，
联立直线与抛物线C：y2 = 4x，消去x 可得：y2 −6y+8 = 0，
解得y1 = 2,y2 = 4，不妨M (1,2),N (4,4)，−−→
FM = (0,2),−→
FN = (3,4)．
则−−→
FM ·−→
FN = (0,2)·(3,4) = 8．
故选：D．
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87
6
直击自招
考题
（清华大学2016 年自主招生笔试真题4）
过抛物线y2 = 4x 的焦点F 作直线交抛物线于A，B 两点，M 为线段AB 的中点．下列说法中正确的有
( )
A. 以线段AB 为直径的圆与直线x = −3
2 一定相离
B. |AB| 的最小值为4
C. |AB| 的最小值为2
D. 以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切
答案
A,B
解析
对于选项A，点M 到准线x = −1 的距离为1
2 (|AF|+|BF|) = 1
2 |AB|，
于是以线段AB 为直径的圆与直线x = −1 一定相切，进而与直线x = −3
2 一定相离；对于选项B 和C，
设A
(
4a2,4a
)
，则B
(
1
4a2 ,−1
a
)
，于是
|AB| = 4a2 + 1
4a2 +2，
最小值为4．也可以|AB| 转化为AB 的中点到准线的距离的两倍取得到最小值；
对于选项D，显然BD 中点的横坐标与1
2 |BM| 不一定相等，因此命题错误．
第7 讲
弦长与面积
直击课堂
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89
7
学习目标
1．熟练掌握求弦长的方法，并能处理弦长的最值问题，掌握双弦问题的代换技巧．
2．熟练掌握求面积的各种方法，能够选择合适的方法求解面积问题，并能处理面积的最值问题．
考情分析
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90
7
1
模块
1
弦长问题
知识凝炼
弦长及其表示方法：
①将圆锥曲线与直线联立成方程组，消y 转化为关于x 的方程的形式即a
′x2 +b
′x+c
′ = 0，或者消x 转化为关
于y 的方程a
′y2 +b
′y+c
′ = 0．
②公式
|MN| =
√
1+k2∥x1 −x2| =
√
1+k2 ·
√
(x1 +x2)2 −4x1x2 =
√
1+k2 ·
√
∆
|a
′|
；
|MN| =
√
1+ 1
k2 |y1 −y2| =
√
1+ 1
k2 ·
√
(y1 +y2)2 −4y1y2 =
√
1+ 1
k2 ·
√
∆
|a
′|
．
（∆为方程的判别式）．
精讲精练
考点1: 单弦问题
例1
★★★
已知椭圆G : x2
4 +y2 = 1．过点(m,0) 作圆x2 +y2 = 1 的切线l 交椭圆G 于A，B 两点．
将|AB| 表示为m 的函数，并求|AB| 的最大值．
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91
7
例2
★★★★
如图，椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为
√
2
2 ，且经过点
(
1,
√
2
2
)
．
（1）求椭圆C 的方程．
（2）已知A，B 为椭圆上两点，直线AB 与坐标轴不垂直．设T (x0,0)，若|AT| = |BT|，且|AB| = 2，求x0
的取值范围．
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7
考点2: 双弦问题
例3
★★★★★
已知椭圆E：x2
t + y2
3 = 1 的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k > 0) 的直线交E 于A，M 两
点，点N 在E 上，MA⊥NA．当2|AM| = |AN| 时，求k 的取值范围．
达标检测1
★★★★
已知椭圆x2
4 + y2
3 = 1，过椭圆的右焦点F2 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A、B 及C、D，则
1
|AB| +
1
|CD| 的值为( )
A. 1
2
B. 7
12
C. 2
3
D. 3
4
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7
2
模块
2
面积问题
知识凝炼
（1）三角形面积
①弦底高法（以弦长为底，点到直线的距离为高）：S△ABC = 1
2|MN|·d；
②利用两边及其夹角：S△ABC = 1
2|AB|·|AC|·sinA；
③分割法：水平宽× 铅垂高．
（2）四边形ABCD 的面积
①特殊四边形：平行四边形，矩形，菱形，……；
②对角线垂直的四边形：SABCD = 1
2 ·|AC|·|BD|；
③对角线角度为θ 的四边形：SABCD = 1
2 ·|AC|·|BD|·sinθ；
④分割法：特殊图形的面积或者三角形面积等.
精讲精练
考点3: 三角形面积问题
例4
★★★★
已知曲线C 的方程：x2
4 + y2
3 = 1，曲线C 上在第一象限的点P 的横坐标为1，过点P 且斜率互为相反
数的两条直线分别交曲线C 于Q，R，求△OQR 的面积的最大值(其中点O 为坐标原点)．
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7
达标检测2
★★★
已知椭圆C：x2
4 + y2
3 = 1，若经过椭圆C 左焦点的直线l 交椭圆C 于A、B 两点，Q 为椭圆C 的右顶点，
则△ABQ 面积的最大值为( )
A. 5
2
B. 3
C. 4
D. 9
2
进阶1
★★★★★
已知△ABC 的三个顶点都在椭圆Γ：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 上，椭圆Γ 的离心率e =
√
2
2 ，且椭圆Γ 的
中心O 和右焦点F 分别在△ABC 边AB、AC 上．若△ABC 面积的最大值为2
√
2，求椭圆Γ 的方程．
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7
例5
★★★★
在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A(−1,1) 关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率
之积等于−1
3．
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）设直线AP 和BP 分别与直线x = 3 交于点M，N，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积
相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
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7
考点4: 四边形面积问题
例6
★★★★
已知椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+
√
3 和2−
√
3，直
线y = kx(k > 0) 与AB 相交于点D，与椭圆相交于E，F 两点．
（1）求此椭圆的方程．
（2）求四边形AEBF 面积的最大值．
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7
达标检测3
★★★★
已知过抛物线y2 = 2px(p > 0) 的焦点F 的直线与抛物线交于A，B 两点，且−→
AF = 3−→
FB，抛物线的准线
l 与x 轴交于点C，AA1⊥l 于点A1，若四边形AA1CF 的面积为12
√
3，则准线l 的方程为( )
A. x = −
√
2
B. x = −2
√
2
C. x = −2
D. x = −1
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7
课堂总结
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7
直击高考
考题
（2017 年北京市高考数学试卷（文科））
已知椭圆C 的两个顶点分别为A(−2,0),B(2,0)，焦点在x 轴上，离心率为
√
3
2 ．
（1）求椭圆C 的方程．
（2）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M,N，过D 作AM 的垂线交BN
于点E．求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4 : 5．
答案（1）x2
4 +y2 = 1
（2）见解析
解析（1）由椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆方程：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0)，则a = 2,e = c
a =
√
3
2 ，则c =
√
3，
b2 = a2 −c2 = 1，∴椭圆C 的方程x2
4 +y2 = 1．
（2）证明：设D(x0,0),(−2 < x0 < 2),M (x0,y0),N (x0,−y0),y0 > 0，由M,N 在椭圆上，则x2
0
4 +y2
0 = 1，则
x02 = 4−4y02，则直线AM 的斜率kAM = y0 −0
x0 +2 =
y0
x0 +2，直线DE 的斜率kDE = −x0 +2
y0
，直线
DE 的方程：y = −x0 +2
y0
(x−x0)，直线BN 的斜率kBN = −y0
x0 −2，直线BN 的方程y = −y0
x0 −2 (x−2)，
y = −x0 +2
y0
(x−x0)
y = −
y0
x0 −2 (x−2)
，解得：
x = 4x0 +2
5
y = −4
5y0
，过E 做EH⊥x 轴，△BHE∽△BDN，则EH = 4y0
5 ，
则EH
ND = 4
5，∴：△BDE 与△BDN 的面积之比为4 : 5．
高二数学·凌云班（课改）·秋
100
7
直击自招
考题
（2017 年全国高中数学联赛B 卷11 题）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1：y2 = 4x，曲线C2：(x−4)2 +y2 = 8．经过C1 上一点P 作一条倾斜
角为45◦的直线l，与C2 交于两个不同的点Q、R，求|PQ|·|PR| 的取值范围．
答案
见解析
解析
解：设P
(
t2,2t
)
，则直线l 的方程为y = x+2t −t2，代入曲线C2 的方程得，
(x−4)2 +
(
x−2t −t2)2 = 8，
化简可得
2x2 −2
(
t2 −2t +4
)
x+
(
t2 −2t
)2 +8 = 0．①
由于l 与C2 交于两个不同的点，故关于x 的方程①的判别式∆为正．计算得，
∆
4 =
(
t2 −2t +4
)2 −2
[(
t2 −2t
)2 +8
]
=
(
t2 −2t
)2 −8
(
t2 −2t
)
+16−2
(
t2 −2t
)2 −16
= −
(
t2 −2t
)2 +8
(
t2 −2t
)
= −
(
t2 −2t
)(
t2 −2t −8
)
= −t (t −2)(t +2)(t −4)，
因此有
t ∈(−2,0)∪(2,4)．②
设Q、R 的横坐标分别为x1、x2，由①知，
x1 +x2 = t2 −2t +4，x1x2 = 1
2
[(
t2 −2t
)2 +8
]
，
因此，结合l 的倾斜角为45◦可知，
|PQ|·|PR| =
√
2
(
x1 −t2)
·
√
2
(
x2 −t2)
= 2x1x2 −2t2 (x1 +x2)+2t4
=
(
t2 −2t
)2 +8−2t2 (
t2 −2t +4
)
+2t4
= t4 −4t3 +4t2 +8−2t4 +4t3 −8t2 +2t4
= t4 −4t2 +8 =
(
t2 −2
)2 +4．③
由②可知，t2 −2 ∈(−2,2)∪(2,14)，故
(
t2 −2
)2 ∈[0,4)∪(4,196)，从而由③得，
|PQ|·|PR| =
(
t2 −2
)2 +4 ∈[4,8)∪(8,200)．
