第三章　§3.6　利用导数证明不等式_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_一轮复习_2025高考大一轮复习讲义+课件（完结）_2025高考大一轮复习数学（人教A版）_学生用书Word版文档_951

§3.6 利用导数证明不等式 课标要求 导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、 数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针 对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果． 题型一 将不等式转化为函数的最值问题 例1 (12分)(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x. (1)讨论f(x)的单调性；[切入点：求导，讨论a的正负] (2)证明：当a>0时，f(x)>2ln a＋. [方法一 关键点：作差法比较f(x) 与2ln a＋的大小] min [方法二 关键点：利用不等式ex≥x＋1把函数f(x)中的指数换成一次函数] [思路分析] (1)求f′(x)→分a>0，a≤0判断f′(x) 的符号→f(x) 的单调性 (2)方法一：求f(x) →构造函数g(a)＝f(x) －→求g(a)最小值 min min 方法二：证明不等式ex≥x＋1→aex＝ex＋ln a≥x＋ln a＋1→f(x)≥a2＋ln a＋1→构造函数g(a) ＝a2＋ln a＋1－→求g(a)最小值 思维升华 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数， 有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和 最值即可得证． (1)解 因为f(x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R， 所以f′(x)＝aex－1，(1分) 当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故f′x＝aex－1<0恒成立， ①处判断f′(x)的符号 所以f(x)是减函数；(2分) 当a>0时，令f′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－ln a， (4分) ②处判断f′(x)的符号 综上，当a≤0时，f(x)是减函数； 当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减， 在(－ln a，＋∞)上单调递增．(5分)(2)证明 方法一 由(1)得，当a>0时， (7分) ③处利用单调性求f(x) min 要证f(x)>2ln a＋，即证1＋a2＋ln a>2ln a＋， 即证a2－－ln a>0恒成立，(8分) (9分) ④处构造函数ga＝fx － min 则g′(a)＝2a－＝， 令g′(a)<0，则00，则a>， 所以g(a)在上单调递减， 在上单调递增，(11分) ⑤处求ga 并判断其符号 min 则g(a)>0恒成立， 所以当a>0时，f(x)>2ln a＋恒成立，证毕．(12分) 方法二 ⑥处构造函数证明ex≥x＋1 则h′(x)＝ex－1，由于y＝ex是增函数， 所以h′(x)＝ex－1是增函数， 又h′(0)＝e0－1＝0，所以当x<0时，h′(x)<0； 当x>0时，h′(x)>0，所以h(x)在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)＝0， 则ex≥x＋1，当且仅当x＝0时，等号成立，(6分) ⑦处通过不等式ex≥x＋1放缩函数fx 当且仅当x＋ln a＝0，即x＝－ln a时，等号成立， 所以要证f(x)>2ln a＋，即证x＋ln a＋1＋a2－x>2ln a＋， 即证a2－－ln a>0，(8分) (9分) ⑧处构造函数ga 则g′(a)＝2a－＝， 令g′(a)<0，则00，则a>， 所以g(a)在上单调递减，在上单调递增，(11分) 所以g(a) ＝g＝2－－ln＝ln >0， min⑨处求ga 并判断其符号 min 则g(a)>0恒成立， 所以当a>0时，f(x)>2ln a＋恒成立，证毕．(12分) 跟踪训练1 (2023·咸阳模拟)已知函数f(x)＝(x∈R)． (1)求 f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求证：当x∈[0，π]时，f(x)≤x. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 题型二 将不等式转化为两个函数的最值进行比较 例2 已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而 找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含 ln x与ex，不能直接构造函数， 把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明． 跟踪训练2 (2023·合肥模拟)已知函数f(x)＝ex＋x2－x－1. (1)求f(x)的最小值； (2)证明：ex＋xln x＋x2－2x>0. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 题型三 双变量不等式的证明 例3 已知函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)设a≤－2，证明：对任意x，x∈(0，＋∞)，|f(x)－f(x)|≥4|x－x|. 1 2 1 2 1 2 ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 跟踪训练3 已知函数f(x)＝ax＋1(x>0)，g(x)＝ln x－＋2a. (1)若a＝，比较函数f(x)与g(x)的大小； (2)若m>n>0，求证：>. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________