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理论攻坚-数学运算 4
（讲义+笔记）
主讲教师：尹燕
授课时间：2021.01.04
粉笔公考·官方微信理论攻坚-数学运算 4（讲义）
第八节 最值问题
一、构造数列
【例 1】（2018 年新疆）某公司为5名员工发共计 3000元奖金，已知每名员
工的奖金数额均为整数且各不同，那么获得奖金数额最多的员工至少可以得到多
少元钱？（ ）
A.605 B.602
C.1510 D.2990
【例 2】（2020 公务员）从某物流园区开出 6 辆货车，这 6 辆货车的平均装
货量为 62 吨。已知每辆货车载重量各不相同且均为整数，最重的装载了 71 吨，
最轻的装载了54吨。问这 6辆货车中装货第三重的卡车最少要装多少吨？（ ）
A.59 B.60
C.61 D.62
【例 3】（2019 宿迁）10个箱子总重 100公斤，且重量排在前三位的箱子总
重不超过重量排在后三位的箱子总重的 1.5 倍，问最重的箱子重量最多是多少公
斤？（ ）
A.200/11 B.500/23
C.20 D.25
二、最不利构造
1【例 4】（2018 台州）某盒子内装 50只球，其中 10只是红球，10只是绿球，
10只是黄球，10只是蓝球，6只是白球，4只是黑球。为了确保取出的球中至少
包含7只同色的球，则最少必须从袋中取出多少只球？（ ）
A.32 B.33
C.34 D.35
【例 5】（2018 长沙）某班级设立了数学、物理、化学、生物 4 个学习兴趣
小组，要求每位同学参加其中 1个或参加其中 2个小组，无论如何安排，都有至
少4名同学参加的兴趣小组完全相同，则该班级至少有（ ）名同学。
A.31 B.37
C.43 D.45
2理论攻坚-数学运算 4（笔记）
第八节 最值问题
【注意】最值问题：题型特征非常明显，涉及最值问题，题目中一定有最大
/最小/至多/至少，只要出现，就是最值问题。
1.构造数列。
2.最不利构造。
一、构造数列
【知识点】数列构造：
1.题型特征：最……最……，排名第几……最……。
2.解题思路：
（1）排序定位：从多到少或从少到多，按照一个方向排。
（2）反向构造数列：问谁假设谁为未知数。
（3）加和求解：
①若为整数：算出多少，就是多少。
②若为非整数：反向取整，求最多往少取，求最少往多取。
3.例：5个人分 26个苹果，每个人分得的苹果均为正整数。问：
（1）若每个人分得的苹果数各不相同，则分得苹果数最多的人最多分得多
少个？
答：出现“最……最……”，数列构造类最值问题。因“均为正整数”，即没
有半个的。①排序定位：从多到少或从少到多都可以，老师从从多少排序定位。
问谁设谁为x，设第一名为 x。②反向构造数列：5个人分26个苹果，说明总苹
果数一定。要是x 尽可能大，则其他的要尽可能小，但其他的再小，不能一个都
没有，故第五名为 1个。因“苹果数各不相同”，第四名为 2个，第三名为 3个，
第二名为 4 个。问最多，从小往大找。③加和求解：因一共 26 个苹果，列式：
x+4+3+2+1=26，x+10=26，解得x=16。
3（2）若分得苹果最多的人比其它人分得的苹果都多，则分得苹果最多的人
至少分得多少个？
答：“至少”即最少，问“最……最……”，数列构造类最值问题。①排序定
位：从多到少排序定位，问谁假设谁为 x，设第一名为 x。②反向构造数列：加
和一定，x要尽可能小，则其他的要尽可能的多。其他要多，则要从多的往下找，
排名第二的再多不能比 x 多，因此第二为 x-1。此题没有“苹果各不相同”，则
默认可以相同，故第三、第四、第五都为 x-1。③加和求解：x+（x-1）+（x-1）
+（x-1）+（x-1）=26，解得x=6。若正整数为 8，则小一个的为 7，因此最大的
为x，则比 x小的为 x-1。
（3）若每个人分得的苹果数各不相同，则分得苹果数第三多的人最多分得
多少个？
答：问“排名第几……最……”，最值问题。①排序定位：从多到少排序，
问排名第三的最多多少个，设为 x，问最多，则 x尽可能大，其他的数尽可能少。
②反向构造数列：x在正中间，则往两边找，因是正整数，故第五最少为 1个。
因苹果数各不相同，则第四为 2 个。左边的数大于 x，则最小的为 x+1，即第二
为x+1，第一为x+2。③加和求解：（x+2）+（x+1）+x+2+1=26，3x=20，解得x=6.6，
答案不是正整数，反向取整。求最多，反向则往少取；若问最少，反向则往多取。
最多为6.6个，想要取整，需要向下取整，最大的为6，因此最多 6个。若最小
值为7.3，反向取整，最小的整数为8。
4【例 1】（2018 年新疆）某公司为5名员工发共计 3000元奖金，已知每名员
工的奖金数额均为整数且各不同，那么获得奖金数额最多的员工至少可以得到多
少元钱？（ ）
A.605 B.602
C.1510 D.2990
【解析】例1.“至少”等价于最少，问“最……最……”，构造数列类最值
问题。（1）排序定位：求从多到少排序，谁设谁，设第一名为x，第一要尽可能
多，其他要尽可能少。（2）反向构造数列：比x小，最大的为x-1，因“各不相
同”，则第三名为 x-2，第四名为x-3，第五名为 x-4。（3）加和求解：x+（x-1）
+（x-2）+（x-3）+（x-4）=3000，5x-10=3000，5x=3010，解得 x=602，对应 B
项。【选B】
【例 2】（2020 公务员）从某物流园区开出 6 辆货车，这 6 辆货车的平均装
货量为 62 吨。已知每辆货车载重量各不相同且均为整数，最重的装载了 71 吨，
最轻的装载了54吨。问这 6辆货车中装货第三重的卡车最少要装多少吨？（ ）
A.59 B.60
C.61 D.62
【解析】例2.问“排名第几……最……”，构造数列类最值问题。（1）排序
5定位：从多到少进行排序定位，问谁假设谁为未知数，问第三名，设为 x。（2）
反向构造数列：已知最重的为 71，即第一名为 71，最轻的为59，即第六名为 59。
因 6 辆车平均装 62 吨，则 6 辆车一共装 62*6=372，x 要尽可能少，则其他要尽
快多，x 在中间，需要往两边构造。因“每辆货车载重量各不相同”，最重的为
71 吨，则第二名最多只能为 70。第四名不能比 x 多，则第四名为 x-1，第五名
为x-2。（3）加和求解：71+70+x+（x-1）+（x-2）+59=372，3x+192=372，3x=180，
解得x=60，对应B 项。【选B】
【例 3】（2019 宿迁）10个箱子总重 100公斤，且重量排在前三位的箱子总
重不超过重量排在后三位的箱子总重的 1.5 倍，问最重的箱子重量最多是多少公
斤？（ ）
A.200/11 B.500/23
C.20 D.25
【解析】例3.问“最重的最多”，构造数列类最值问题。（1）排序定位：从
多到少排序定位，求谁设谁为未知数，设第一名为 x。（2）反向构造数列：10
个箱子总重100公斤，x要尽可能大，其他的数要尽可能少，从少往多反向构造
数列。第十名要尽可能少，再少不能是 0，存在就是有重量，题目没有说箱子的
重量必须是整数，则箱子的重量可能为整数、可能为小数，故设第十名为 y。题
目没有说箱子重量不能相等，则默认箱子重量可能相等，故其他箱子重量都为 y。
（3）加和求解：x+9y=100①，因“重量排在前三位的箱子总重不超过重量排在
后三位的箱子总重的 1.5 倍”，则 x+y+y≤1.5*（y+y+y），解得 x≤2.5y，则 x
最大值为 2.5y。代入①式：2.5y+9y=100，解得 y=100/11.5，则 x 最大为 2.5*
（100/11.5）=500/23，题目没有要求为整数，因此不用反向取整，对应 B 项。
【选B】
6【注意】重量都一样，如何排序：在生活中，数字一样，需要排序则一定有
规则。如考试，有笔试、有面试，如果只招一个人，则按照 1：3 的比例进入面
试，如果面试结束，有一个人和你并列第一，则需要将两个名次进行区分，以笔
试分数高的为准。出现并列的，一定会进行区分。称箱子会按照称重的先后顺序
进行排序。
二、最不利构造
【知识点】最不利构造：
1.题型特征：至少……保证……。
2.引例：袋子中装有 10个红球，8个蓝球，5个黄球。问：
（1）至少取出（ ）个球，才能保证（至少）有 4个球的颜色相同？
答：出现“至少……保证……”，最不利构造类问题。若10 元取出一个球，
取出四个球颜色相同则能中奖 60元。如果取四个球颜色相同，花费 40元，则能
中 60 元。不能保证直接就四个球的颜色相同，如果手里有三个红球，又取三个
蓝球，再取为三个黄球，此时有九个球，再取一个球，无论是什么颜色的，都能
凑到四个球颜色相同。列式：3+3+3+1=10。
（2）至少取出（ ）个球，才能保证（至少）有 7个球的颜色相同？
答：出现“至少……保证……”，最不利构造类问题。如果取出 7 个球颜色
相同则能中奖100 元。先取到6个红球，再来一个红球则中奖，但取了 6个蓝球，
下面取到了黄球，黄球一共有 5个，因此最多为 5个，再取一个球，一定为红球
或蓝球，此时能满足。列式：6+6+5+1=18。
3.解题思路：最不利+1。与构造数列问题相反，构造数列类如果求最多，其
他要少。现实生活中不一定都顺着大家来，可能会反着来。如想要四个球颜色相
同，则偏没有四个球颜色相同；想要七个球颜色相同，则偏没有七个球颜色相同。
设置各种障碍，如果所有不利的情况都解决，再努力一些则成功。
4.方法：要保证同种情况至少 n 个，应每种情况各取（n-1）个（如果有不
够n-1的有多少取多少），最后再加 1。
【例 4】（2018 台州）某盒子内装 50只球，其中 10只是红球，10只是绿球，
710只是黄球，10只是蓝球，6只是白球，4只是黑球。为了确保取出的球中至少
包含7只同色的球，则最少必须从袋中取出多少只球？（ ）
A.32 B.33
C.34 D.35
【解析】例4.“最少”即至少，“确保”即保证，故问题等价于“至少从袋
中取出多少只球，才能保证取出的球中至少包含 7 只同色的球”，最不利构造问
题。要至少保证7 只同色的球，则每种取 7-1=6只，黑球一共只有 4只，取不到
6只，取4只，列式：6+6+6+6+6+4+1=35，对应D项。【选D】
【例 5】（2018 长沙）某班级设立了数学、物理、化学、生物 4 个学习兴趣
小组，要求每位同学参加其中 1个或参加其中 2个小组，无论如何安排，都有至
少4名同学参加的兴趣小组完全相同，则该班级至少有（ ）名同学。
A.31 B.37
C.43 D.45
【解析】例 5.此题有难度，出现“至少”，“无论如何安排”即保证，题目
转换为“该班级至少有多少名同学，才能保证至少 4名同学参加的兴趣小组完全
相同”，最不利构造问题。兴趣小组完全相同：如果甲只参加数学，乙只参加数
学，此时两人完全相同；若甲参加数学和物理，乙参加数学和物理，此时两人完
全相同；如果甲参加数学和物理，乙参加的物理和化学，此时不完全相同。先找
兴趣小组情况数，如果选择物理和化学，先选物理再选化学和先选化学再选物理，
打乱没有影响，用组合，参加一个为 C（4,1），参加二个为 C（4,2），要么参加
一个兴趣小组、要么参加两个兴趣小组，分类相加，兴趣小组数=C（4,1）+C（4,2）
=4+（4*3）/（2*1）=10。要保证至少有 4 名同学相同，则每组先有 4-1=3 名报
名，列式：3*10+1=31，对应A项。【选A】
【注意】
1.要 n种情况完全一样，则要取n-1 名，要4名一样，则取 3名。
2.每种兴趣小组都有 3个同学参加的基础上，再有 1 个同学参加兴趣小组。
8【注意】最不利构造：要记住方法，最不利的情况是人为制造的，假设袋子
中有 10 个红球，8 个蓝球，5 个黄球，假设 10 元取 1 次球，如果取到 7 个球颜
色相同，就会中奖 100 元，你的目的是中奖，抽取 7 个颜色的球，老师是老板，
不想让你中奖，会一直给红球，红球不停的取，达到 6个的时候，再取一个球就
可以中奖了，再取球，老师开始给你蓝球，取了 6个蓝色的球，再取一个蓝球就
成功了，此时老师再让你取 5个黄球，此时再取一个，要么是红色，要么是蓝色，
此时就满足了有 7 个球颜色相同。这就是结论的由来，要保证同种情况至少 n
个，应每种情况各取 n-1个（如果有不够 n-1的有多少取多少），最后再加 1。
【注意】
1.题型特征：至少……保证……。
2.解题思路：最不利+1。
3.例：袋子中装有 10个红球，8个蓝球。
（1）至少取出（ ）个球，才能保证（至少）有 4个球的颜色相同？
答：出现了至少……保证……，最不利问题，每种颜色都取 3 个，再加 1，
为3+3+1=7 个。
（2）至少取出（ ）个球，才能保证（至少）有红球、蓝球各 4个？
答：满足红球、蓝球各 4个，这两种球都需要有，先不停的取出红球，就给
了 10 个红球，再取就是蓝球，给了 3 个蓝球，此时再取一个球，一定是蓝球，
为10+3+1=14。如果先给的是蓝球，最后给了 8个蓝球，再给了 3个红球，再取
一个，就一定是红球，为 8+3+1=12。假设取 1 个球需要 10 元，中奖为 100 元，
第一种情况取14个球，花费 140元，中奖 100元，第二种情况是取 12个球，花
费 120 元，中奖 100 元，对大家来说，花钱越多越不利，从最不利的角度考虑，
取14个。
4.方法：要保证所有情况各至少 n个，应先把多的全取，再把少的情况取（n-1）
+1=n个。
【例 6】（2015 联考）某公司有 38 名男员工、27 名女员工。现要参加集团
组织的羽毛球比赛，如采取自由报名的形式，至少有多少名员工报名才能保证一
9定能从报名者中选出男、女选手各 8名参赛？（ ）
A.65 B.46
C.35 D.16
【解析】例6.出现了“至少……保证……”，最不利问题，要求至少有多少
名员工报名才能保证一定能从报名者中选出男、女选手各 8 名参赛，记住结论，
应先把多的全取，再把少的情况取（n-1）+1=n个。男员工最多，先把男员工全
部取出来，再把少的女员工取 8-1+1=8个，为 38+8=46，对应B 项。【选B】
【注意】最值问题：
1.构造数列：
（1）题型特征：最……最……，排名第几……最……。
（2）解题思路：排序定位——反向构造数列——加和求解。
（3）注意事项：主体是否各不相同，非整数时，最少向上取整，最多向下
取整。
2.最不利构造：
（1）题型特征：至少……保证……。
（2）解题思路：最不利情况+1.
（3）方法：
①要保证同种情况至少 n 个，应每种情况各取（n-1）个。 （如果有不够
n-1的有多少取多少），最后再加 1。
②要保证所有情况各至少 n 个，应先把多的全取，再把少的情况取（n-1）
10+1=n个。
第九节 容斥原理问题
【知识点】容斥原理问题：
1.常用题型：两集合容斥、三集合容斥，实质就是求覆盖面积。
2.容斥原理本质：去重补漏(不重不漏、每部分只加一次)。
3.常用方法：公式法（在文氏图的基础上得出来的，帮助快速计算）、画图
法（画文氏图）。
【知识点】
1.两集合容斥：A+B-A∩B=总-都不。
2.例：方框代表的是总数，两个圆圈分别是 A 和B，空白地方为都不，集合
A是红色斜线部分，集合 B是蓝色斜线部分，A+B过程中，中间的 A∩B出现了两
次，保证不重不漏，需要减去一层，再加上都不就是总数。
3.例：总：20 人，用淘宝：15人，用京东：12人，都用：10 人，问都不用
的有多少人？
答：设都不为 x，代入两集合的公式，为 15+12-10=20-x。
【例 1】（2019 福建）在一批旅客中，有 3/4 的人懂法语，有 4/5 的人懂英
语，两种语言都懂的占 13/20，另有 10 人这两种语言都不懂。那么这批旅客共
有多少人？（ ）
11A.60 B.80
C.100 D.120
【解析】例1.正确率68%，在一批旅客中，有 3/4的人懂法语，有 4/5的人
懂英语，两种语言都懂的占 13/20，把人分成了两个集合，会英语的和会法语的，
出现了分数，总人数是 4的倍数、5的倍数、20的倍数，看选项均满足，无法排
除。设总人数为 20x，为两集合容斥原理问题，代入两集合公式，为 A+B-A∩B=
总-都不，懂法语的有（3/4）*20x=15x，懂英语的有（4/5）*20x=16x，两者都
懂的有（13/20）*20x=13x。列式：15x+16x-13x=20x-10，18x=20x-10，解得x=5，
那么总人数为20x=20*5=100 人，对应C项。【选 C】
【注意】设总人数为 20x，是为了简化计算。
【知识点】三集合容斥：
1.标准型：
（1）标准型公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。
（2）特征：既……又……、题目长。看起来题目很长很复杂，其实就是代
入公式做题。
（3）如图所示，三个集合为 A、B、C，方框为总数，空白为都不，问三个
集合的覆盖面积？
答：集合 A为红色斜线部分，集合 B 为蓝色斜线部分，集合 C为黑色斜线部
分，A+B+C的时候，A∩B、A∩C、B∩C出现了两次，需要减掉一次，中间交叉的
部分，A+B+C 的时候加了三次，减去 A∩B、A∩C、B∩C 的时候，减了三次，需
要补上A∩B∩C。
12（4）例：总：100人，玫瑰：50人，百合：40人，棉花：30 人，既玫又百：
10人既玫又棉：8 人既百又棉：7人三种都喜欢：3人都不喜欢的有多少人？
答：玫瑰、百合、棉花是三个集合，既玫又百是 A∩B，既玫又棉是 A∩C，
既百又 棉 是 B∩C ，属于 既 …… 又…… ，用 三集 合标 准 型公式 ，为
50+40+30-10-8-7+3=100-x。
2.非标准型：
（1）公式：A+B+C-满足两项-满足三项×2=总数-都不。
（2）特征：满足两项、至少满足两项，相比较标准型而言，题目比较短。
（3）注：满足两项=只满足两项，满足两项是默认只满足两项，不论是否出
现“只”这个词，都是默认只满足两项。例如大学选修课，你问你舍友选了几门
课，舍友说选2门，就是默认只满足 2门课，如果上课的时候舍友上了 3门选修
课，就会认为舍友逗人，没有只选 2门课，如果舍友说，至少会选 2门，就不是
只满足2项，此时选3门课上就不是骗人了。至少满足两项=满足两项+满足三项。
（4）如图所示，三个圆圈分别为 A、B、C 三个集合，红色区域为只满足 2
项，中间蓝色区域为满足 3 项的，红色区域部分在计算 A+B+C 的时候，加了 2
次，需要减掉1次，蓝色部分在计算 A+B+C 的时候，加了3次，要做到不重不漏，
需要减2次。
13（5）例：总：100人，玫瑰：50人，百合：40人，棉花：30 人，喜欢两种：
25人，三种都喜欢：3人，问都不喜欢的有多少人？
答：三集合，出现了喜欢两种的，满足两项的，用非标准型公式，设 3人都
不喜欢的有x人，为 50+40+30-25-3*2=100-x。
3.区分：
（1）标准型：既……又……、A 和 B 都……、同时选 A 和 B；题干较长
A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。
（2）非标准型：满足两项、至少满足两项；题干较短；A+B+C-满足两项-
满足三项×2=总数-都不。
【例 2】（2015 联考）31个学生参加体育课期末考评，学生可以从铅球、100
米短跑和跳远三个项目中任选至多两个项目。参加铅球、100米短跑和跳远的人
数分别是15人、22 人、20人，其中铅球和 100米短跑都参加的有 9人，铅球和
跳远都参加的有6 人，则100米短跑和跳远都参加的有几人？（ ）
A.10 B.12
C.15 D.11
【解析】例2.出现了铅球、100米短跑和跳远三个项目，属于三个集合，给
了 A∩B 、 A∩C ， 出 现 了 既 …… 又 …… ， 属 于 标 准 型 公 式 ， 为
A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。设100米短跑和跳远都参加的有 x
人，题目说至多参加两个项目，说明不存在三个项目都参加的，不存在 A∩B∩C，
为 0 人，31 个学生参加体育课期末考评，说明都不为 0 人，列式：
15+22+20-9-6-x+0=31-0，42-x=31，解得 x=11，对应 D 项。也可以运用尾数法
14来计算。【选D】
【例 3】（2017 大连）100位医务人员中，有 75人懂法语，83 人懂英语，65
人懂日语，懂三种语言的有 50人，三种语言都不懂的有 10人，那么懂两种语言
的有（ ）人。
A.88 B.86
C.38 D.33
E.90
【解析】例3.懂法语、懂英语、懂日语为三个集合，出现了懂三种语言的，
就是满足三项的，问懂两种语言的，就是满足两项的，用三集合非标准型公式，
公式为A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。设懂两种语言的有x人，列式：
75+83+65-x-50*2=100-10，尾数法做题，3-x 的尾数为 0，说明 x 的尾数为 3，
对应D项。【选 D】
【例 4】（2017 河北）某班开展甲、乙、丙三项课外兴趣活动，有 46名同学
参加，其中甲、乙两个课外兴趣活动的报名人数分别是 22人、16 人，且知只报
两项的有17人，那么报丙项活动的最少有多少人？（ ）
A.23 B.25
C.27 D.29
【解析】例4 出现了甲、乙、丙三项，三个集合，已知的是 A和B，出现了
只报两项，是满足两项，用三集合非标准型公式，A+B+C-满足两项-满足三项×2=
总数-都不。设报丙项活动的最少有 x 人，不知道有没有满足三项的，设为 y，
有 46 名同学参加，说明都不为 0，列式：22+16+x-17-2y=46-0，推出 x=25+2y。
问的是最少，不定方程，要使 x最小，25 不能变，y取最小值，满足三项的人数
最少是0人，x最小为 25+0=25人，对应 B项。【选B】
【注意】当题目中出现了满足两项或者至少满足两项，就是非标准型的公式，
求谁设谁，设报名丙为 x 人，满足三项的人数没有给，不知道是否存在设为 y，
若求 x 最多，x=25+2y，要保证 y 最大，此时题干还会给其他的条件，找到 y 的
15最大值，因此不能直接满足三项的人数为 0。
【知识点】画图法：
1.何时用：“只A或只B或只C”、复杂且绕（公式用不上）。
2.怎么用：画圆圈，标数据。要做到不重不漏，每个部分只加一次。
3.例：已知总：20 人，用淘宝：13 人，只用京东：5 人，问都不用的有多
少人？
答：此时和前面的公式条件不一样，无法用公式，画图分析，只用京东为标
红区域，5 人，用淘宝的为标记蓝色区域，13 人，要找淘宝和京东的覆盖面积，
做到不重不漏，为 13+5，设都不为x，即 13+5=总数-都不=20-x。
【例 5】（2016 江西法检）某单位派出 80名职工参加三个项目的比赛：篮球、
乒乓球、排球。其中有 8 个人只能参加乒乓球比赛，有 52 人能参加篮球比赛，
62 人能参加排球比赛。那么既能参加篮球比赛又能参加排球比赛的有多少人？
（ ）
A.42 B.28
C.78 D.34
【解析】例 5.方法一：给了篮球、乒乓球、排球三个集合，出现了“只参
加乒乓球比赛”，标准型和非标准型公式都用不上，画图法做题，只参加乒乓球
为红色部分，8 个人，下面剩下的两个集合，为篮球和排球的两集合容斥问题，
要求的是就是两集合 A∩B 的部分，设既能参加篮球比赛又能参加排球比赛的有
16x人，列式：52+62-x=80-8，解得x=42，对应 A项。
方法二：如果看不出来是两集合，就一层一层标数据，设既能参加篮球比赛
又能参加排球比赛的有 x 人，有 52 人能参加篮球比赛，包括只参加篮球的和既
能参加篮球比赛又能参加排球比赛的，说明只参加篮球的有 52-x人。62人能参
加排球比赛，包括只参加排球的和既能参加篮球比赛又能参加排球比赛的，说明
只参加排球的有62-x人，列式：8+52-x+x+62-x=80，解得x=42，对应 A项。【选
A】
【注意】容斥原理问题：
171.公式法：
（1）两集合：A+B-A∩B=总-都不。
（2）三集合：
①标准型：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。
②非标准型：A+B+C-满足两项-满足三项×2=总数-都不。
2.画图法：“只 A或只B或只 C”、复杂且绕，公式用不上，画圆圈，标数据。
【注意】数学运算怎么学：
1.识别送分题。代入排除、数字特性、基础方程。
2.稳住可得分。不定方程、工程问题、经济利润、最值问题、容斥原理。
3.攻克薄弱题。行程问题、排列组合与概率、其他题型。
4.每天刷 10题错题本本用起来；数量关系进步快！
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6.送给同学们一句话：幸运之神降临，往往只是因为你，多看了一眼，多想
了一下，多走了一步。成功的上岸可能就是因为多记住了一个结论，多练习了一
道题，多听了一节课，最后祝福大家成功上岸。
【答案汇总】最值问题：1-5：BBBDA；6：B；容斥原理问题：1-5：CDDBA
18遇见不一样的自己
Be your better self
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