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理论攻坚-数学运算 3
（讲义+笔记）
主讲教师：尹燕
授课时间：2021.01.03
粉笔公考·官方微信理论攻坚-数学运算 3（讲义）
第六节 经济利润问题
一、基础经济
【例 1】（2018 昌吉）某商品按规定出售，每件可获得利润 30元，如果按规
定的 8 折售出 10 件，与按定价每个减 20 元出售 14 件所获得的利润一样多，这
种商品每件进价为（ ）元。
A.80 B.60
C.50 D.40
【例 2】（2019 福建）甲商品的成本比乙商品少 100 元，将甲、乙商品分别
按30%和 20%的利润定价。后来又都按定价的 9折出售，共获利 40元。那么乙商
品的成本是多少元？（ ）
A.205 B.228
C.270 D.280
【例 3】（2017 临汾）某商店购进一批土豆，以高于进价 10%的定价出售，
在售出2/3后，以定价的 8折将剩下的土豆全部售出，该商店预计盈利为成本的
（ ）。
A.3.2% B.不赚也不亏
C.1.6% D.2.7%
【例 4】（2018 成都）某工厂进行改革，今年产品出厂价与去年相比增加 5%，
产品成本价与去年相比降低 10%，产品利润率是去年的两倍，那么该企业今年的
利润率为（ ）。
A.60% B.20%
1C.40% D.80%
二、分段计费
【例 5】（2017 阳泉）某市根据用电情况实行阶梯电价，当月用电量在 100
度之内（包括 100 度），按 0.48 元/度收取；用电量超过 100 度，超出部分每度
电价上涨 10%；用电量超过 200 度，超出部分每度电在原价基础上提价 0.2 元。
若该市某居民当月交电费 121.2元，请问当月该居民用了多少度电？（ ）
A.230 B.232
C.250 D.261
三、函数最值
【例 6】（2019 深圳辅警）某玩具厂生产一种玩具，每件的成本是 144 元，
售价是 200 元。某经销商订购了该玩具 120 件，并提出：如果售价每降低 2 元，
就多订购6件。按经销商的要求，该玩具厂售出（ ）件时可以获得最大利润。
A.144 B.120
C.150 D.138
第七节 排列组合与概率
一、排列组合
【例 1】（2017 广东国税）一个书柜共六层。小张计划选择相邻的两层，一
2层放哲学书，一层放历史书，则他可选择的放法有（ ）种。
A.3 B.6
C.10 D.15
【例 2】（2017 联考）某车间有50 名工人装配零件，男工每人装配 4个，女
工每人装配 2 个，最终男工装配的零件数比女工多 20 个。车间准备从男工和女
工中各任意选择 1名参加技能比赛，问共有多少种不同的组合？（ ）
A.400 B.500
C.600 D.800
【例 3】（2018 军队文职）从 19、20、21、……、98、99 这 81 个数中选取
两个不同的数，使其和为偶数的选法有（ ）种。
A.1620 B.1580
C.1540 D.1600
【例 4】（2016 深圳）在从 O 点出发的两条射线上各取 4 个不同的点，连同
O点一共9个点，以此 9个点为顶点最多可以构成（ ）个三角形。
A.64 B.40
C.84 D.72
【例 5】（2019 公务员）某场科技论坛有 5G、人工智能、区块链、大数据和
云计算5个主题，每个主题有 2位发言嘉宾。如果要求每个主题的嘉宾发言次序
必须相邻，问共有多少种不同的发言次序？（ ）
A.120 B.240
C.1200 D.3840
【例 6】（2018 浙江）某地组织 9 名政协委员负责调研农民工子弟小学教学
情况。调研结束合影前有 3名委员因紧急工作已经离开，学校决定安排 3名小学
生代表与委员一起坐在前排。现要求每位小学生的两边都坐着政协委员，一共有
3（ ）种不同的方式。
A.7200 B.29600
C.43200 D.362880
二、概率
【例 7】（2019 深圳）某项目由甲、乙二人竞标，以所报单价高者胜，甲从
10元，11元，12 元，13元，16元，17 元六个单价中随机选择一个作为合作价，
乙从13 元，14 元，15元中随机选取一个作为报价，则乙中标的概率为（ ）。
A.7/18 B.11/18
C.2/3 D.5/6
【例 8】（2019 联考）某单位派甲、乙两名选手组队参加乒乓球比赛，其中
甲每场比赛均有 40%的可能性获胜，乙每场比赛均有 70%的可能性获胜。现安排
甲参加1场比赛，乙参加 2场比赛，总计获胜 2场及以上即可出线。问该单位代
表队出线的概率为（ ）。
A.48.8% B.56.4%
C.61.4% D.65.8%
【例 9】（2019 桂林）小王开车上班需要经过 4 个交通路口，假设经过每个
路口遇到红灯的概率分别是 0.1，0.2，0.25，0.4，他上班经过的 4 个路口至少
有一处遇到绿灯的概率是多少？（ ）
A.0.899 B.0.988
C.0.989 D.0.998
4理论攻坚-数学运算 3（笔记）
第六节 经济利润问题
【注意】经济利润问题：这类问题比较简单，属于考场上可得分的题型。
1.基础经济——考的最多。
2.分段计费——简单（直来直去）。
3.函数最值——送分套路题（看上去比较难，掌握方法就会很简单，直接代
数即可）。
一、基础经济
【知识点】基础经济：
1.基本公式（数量关系的经济利润公式比较简单）：
（1）利润=售价-成本=收入-进价。比如已知一件商品的进价是 100 元，售
价为120 元，利润=120-100=20元。
（2）利润率=利润/成本。在数量关系中默认是成本利润率，如已知一件商
品的进价是100 元，售价为120元，利润率=20/100=20%。
（3）售价=成本*（1+利润率）。比如商品的进价为100 元，若商家期望的利
润率为20%，则售价=100*（1+20%）=120元。
（4）折扣（打几折）=折后价/折前价。考试时算折后价比较多，折后价=
折前价*折扣，比如售价 120元，打七折之后售价=120*0.7=84 元。
（5）总价=单价*数量。比如商品的售价为 120 元，一共买了 100 件，总价
=120*100。
（6）总利润=单利*数量。总利润=（120-100）*100。
2.常用方法：
（1）给具体带单位的数值，方程法。比如涉及到利润、售价、数量，是具
体带单位的数值。
（2）无具体带单位的数值，赋值法。比如给的都是百分数、分数、比例、
倍数，用赋值法；若题干中有成本出现，优先赋成本。
5【例 1】（2018 昌吉）某商品按规定出售，每件可获得利润 30元，如果按规
定的 8 折售出 10 件，与按定价每个减 20 元出售 14 件所获得的利润一样多，这
种商品每件进价为（ ）元。
A.80 B.60
C.50 D.40
【解析】例 1.题干中出现了利润和进价，经济利润问题，给的是具体带单
位的数值，用方程法。求谁设谁，假设进价为 x，由题可知，定价=x+30。找等
量关系列式，“如果按规定的 8折售出 10件，与按定价每个减 20元出售14件所
获得的利润一样多”，总利润相等，列式：[（x+30）*0.8-x]*10=（x+30-20-x）
*14→24-0.2x=14→0.2x=10，解得x=50，对应C项。【选C】
【注意】题目说的是利润一样多，需要减去成本x。
【例 2】（2019 福建）甲商品的成本比乙商品少 100 元，将甲、乙商品分别
按30%和 20%的利润定价。后来又都按定价的 9折出售，共获利 40元。那么乙商
品的成本是多少元？（ ）
A.205 B.228
C.270 D.280
【解析】例 2.经济利润问题，有出现具体带单位的数值，用方程法。求谁
设谁，假设乙商品的成本为 x，由题可知，甲商品的成本=x-100；甲商品的定价
=（x-100）*（1+30%）=1.3*（x-100），乙商品的定价=x*（1+20%）=1.2x；“后
来又都按定价的 9 折出售，共获利 40 元”，甲商品的折后价=1.3*（x-100）
*0.9=1.17*（x-100），乙商品的折后价=1.2x*0.9=1.08x。利润=售价-成本，列
式：0.17*（x-100）+0.08x=40→0.25x-17=40→0.25x=57，解得 x=228，对应 B
项。【选 B】
【注意】题目中给的条件比较多，建议考试时列一个简单的表格。
【例 3】（2017 临汾）某商店购进一批土豆，以高于进价 10%的定价出售，
6在售出2/3后，以定价的 8折将剩下的土豆全部售出，该商店预计盈利为成本的
（ ）。
A.3.2% B.不赚也不亏
C.1.6% D.2.7%
【解析】例 3.题目中无具体带单位的数值，用赋值法。成本也叫进价，设
进价为100，则定价=100*（1+10%）=110，折后价=110*0.8=88；“在售出2/3后”，
避免出现分数，假设数量为 3，根据题意可知，按照定价出售 3*（2/3）=2 份，
折后价售出 3-2=1份。（总收入-总成本）/总成本=（110*2+88*1-3*100）/（3*100）
=8/300，首位商 2，对应D项。【选D】
【例 4】（2018 成都）某工厂进行改革，今年产品出厂价与去年相比增加 5%，
产品成本价与去年相比降低 10%，产品利润率是去年的两倍，那么该企业今年的
利润率为（ ）。
A.60% B.20%
C.40% D.80%
【解析】例 4.有成本有利润，经济利润问题，题目中无具体带单位的数值，
用赋值法。出厂价即售价，有成本，优先赋值成本，假设去年的成本价=100，则
今年的成本价=100*（1-10%）=90，“产品利润率是去年的两倍”，利润率=利润/
成本=（出厂价-成本价）/成本价=出厂价/成本价-1。此时已经赋值了成本价，
就不能再赋值出厂价，设去年的出厂价为 100x，今年出厂价=100x*（1+5%）=105x，
则去年的利润率=100x/100-1=x-1，今年的率润率=105x/90-1=（7/6）*x-1。列
式：（7/6）*x-1=2*（x-1）→（5/6）*x=1，解得 x=6/5=1.2；所求=（7/6）
*1.2-1=1.4-1=0.4=40%，对应C项。【选 C】
【注意】出厂价也可以直接设为 x，但是后面会出现分数，为了好算，将出
厂价设为 100x。
二、分段计费
【知识点】分段计费：
71.在生活中，水电费、出租车计费、快递费、税费等，每段计费标准不等。
2.问：
（1）在不同收费标准下，一共需要的费用？
（2）在不同收费标准下，总费用已知，问总电量/总里程/总重量？
3.计算方法：
（1）先按标准分开看。
（2）计算之后再汇总。
4.例：某地出租车收费标准为：3 公里内起步价8元；超出 3公里的部分，
每公里2元。小明打车坐了 12公里，共花费多少钱？
答：3公里之内8元，超出了12-3公里，花费（12-3）*2，所求=8+（12-3）
*2=26。
【例 5】（2017 阳泉）某市根据用电情况实行阶梯电价，当月用电量在 100
度之内（包括 100 度），按 0.48 元/度收取；用电量超过 100 度，超出部分每度
电价上涨 10%；用电量超过 200 度，超出部分每度电在原价基础上提价 0.2 元。
若该市某居民当月交电费 121.2元，请问当月该居民用了多少度电？（ ）
A.230 B.232
C.250 D.261
【解析】例 5.正确率 63%，分段计费问题，观察选项，发现都超过了 200
度，假设用电量为 200+x 度。第一段≤100 度：0.48*100=48 元；第二段 100～
200度：0.48*（1+10%）*100=52.8 元；“用电量超过200度，超出部分每度电在
原价基础上提价 0.2 元”，第三段＞200 度：（0.48+0.2）*x=0.68x；列式：
48+52.8+0.68x=121.2→100.8+0.68x=121.2→0.68x=121.2-100.8=20.4，解得
x=30，所求=200+30=230，对应A项。【选 A】
三、函数最值
【知识点】函数最值：
1.题型特征：单价或单利和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高？此消
彼长指单价和销量有增有减。
82.例：单价为 3000元，可卖出16 万件。若单价每提升 300元，销量会降低
1万件。请问当单价定为多少元时，销售总额最高？
答：“单价每提升 300元，销量会降低 1万件”，有增长有降低，问销售总额
（总价格）最高，属于函数最值问题。假设提价 x 次，总价=单价*销量=
（3000+300x）*（16-x），展开是 y=ax²+bx+c 的形式，a＜0，为开口向下的抛物
线，在 x=-b/2a 时取得最大值 y=（4ac-b²）/4a，计算比较麻烦，x=-b/2a 是对
称轴，抛物线在对称轴的两边有两个值 x、x，当x=（x+x ）/2取得最值。
1 2 1 2
令总价=0，3000+300x=0，解得 x=-10；16-x=0，解得x=16，则当x=（-10+16）
1 2
/2=3时取得最值，定价=3000+300*3=3900 时取得最值。
3.计算方法（两点式）：设提价或降价次数为 x（注：无论问谁，设的都是
提、降价次数为）。
（1）列方程：
①总价/总利润=（ ）*（ ）。
②令总价/总利润为0，解得x、x。
1 2
（2）当x=（x+x）/2时，取得最值。
1 2
【例 6】（2019 深圳辅警）某玩具厂生产一种玩具，每件的成本是 144 元，
售价是 200 元。某经销商订购了该玩具 120 件，并提出：如果售价每降低 2 元，
就多订购6件。按经销商的要求，该玩具厂售出（ ）件时可以获得最大利润。
A.144 B.120
C.150 D.138
9【解析】例 6.“如果售价每降低 2元，就多订购 6件”，出现单价和销量此
消彼长，符合函数最值的题型特征，用两点式。设降价x次，总利润=单利*销量，
问谁就找谁的等量关系，单利=售价-成本，列式：总利润=（200-2x-144）*（120+6x），
令总利润=0，解得 x=28，x=-20，当 x=[28+（-20）]/2=4 时取得最大值，所求
1 2
=120+6x=120+6*4=144，对应A项。【选 A】
【注意】经济利润：
1.基础经济：
（1）公式：
①利润=售价-成本。
②利润率=利润/成本。
③定价=成本*（1+利润率）。
④折扣=折后价/折前价。
⑤总价=单价*个数。
⑥总利润=单利*销量。
（2）方法：
①给具体带单位的数值，方程法。
10②无具体带单位的数值，赋值法。
2.分段计费：
（1）水电费、出租车费、税费、快递费等。
（2）分段计算、汇总求和。
3.函数最值：
（1）识别：单价或单利和数量此消彼长；求总价或总利润最大；两点式。
（2）设提价或降价次数为 x（注：无论问谁，设的都是提、降价次数为）。
①列方程：总价/总利润=（ ）*（ ）；令总价/总利润为 0，解得 x 、x 。
1 2
②当 x=（x +x）/2时，取得最值。
1 2
第七节 排列组合与概率
【注意】排列组合与概率：这类问题大家会感觉比较陌生，因为排列组合与
概率是在高中学习的，很多同学在高中放弃了数学，即使学习数学，排列组合与
概率在高考中也是非重点，很多学校文科没有学习排列组合与概率，大家感觉很
陌生，但是这部分并不是很难，课上跟上老师认真听，可以掌握 70%～80%的题
目。
1.排列组合：概念公式、加乘原理、常用方法。
2.概率问题：公式、常考题型。
一、排列组合
【知识点】排列与组合：
1.概念：排列、组合的共性是从 n个不同的元素中选出 m个元素。
（1）排列：从 n 个不同的元素中选出 m 个元素进行排列。与顺序有关——
有序排列。
（2）组合：从 n 个不同的元素中选出 m 个元素进行组合。与顺序无关——
无序组合。
2.判定标准：从主体当中任意的挑出两个，调换顺序，结合生活实际考虑。
（1）对结果有影响，与顺序有关（A）。
（2）对结果无影响，与顺序无关（C）。
11（3）例：
①从七个葫芦娃中，任选两个一起去救爷爷。
答：从7个中选 2个，假设先选水娃再选火娃，打乱顺序，先选火娃再选水
娃，都是这两个去救爷爷，对结果没有影响，与顺序无关，用组合，为 C（7,2）。
②从七个葫芦娃中，任选两个一起去救爷爷（第一个去打妖怪，第二个去救
爷爷）。
答：从 7个中选 2个，假设先选水娃再选火娃，水娃打妖怪、火娃救爷爷；
打乱顺序，先选火娃再选水娃，火娃打妖怪、水娃救爷爷，对结果有影响，与顺
序有关，用排列，为 A（7,2）。
3.排列数与组合数的公式：
（1）排列：用A或P表示。
①A（n,m）=P（n,m）=n*（n-1）*（n-2）*……*（n-m+1）。如A（10,5），
n=10，m=5，n-m+1=10-5+1=6，即A（10,5）=10*9*8*7*6。
②A（n,1）=n。
③A（n,n）=n*（n-1）*（n-2）*……*1=n！（n的阶乘）。如A（6,6）=6*5*4*3*2*1。
（2）组合：用 C表示。
①C（n,m）=[n*（n-1）*（n-2）*……*（n-m+1）]/[m*（m-1）*（m-2）*……
*1]=A（n,m）/m！。如C（10,5）=（10*9*8*7*6）/（5*4*3*2*1）。
②C（n,1）=n，A（n,1）=n。从n 个元素中选1个，无论排列还是组合，均
为n。
③C（n,n）=1，如C（10,10）=1。
④C（n,m）=C（n,n-m），可以减少计算量。如C（9,7）=C（9,9-7）=C（9,2）
=（9*8）/（2*1）=36。
4.加乘原理：
（1）分类相加→要么……要么……，任意一种方法都可以把事情完成。
（2）分步相乘→既……又……，每一步都不可或缺。
（3）例：
①从 8个语文教师、7个数学教师、5个英语教师中任选一人。
答：从若干个元素中选 1个，先判断用排列还是用组合，假设选的是甲乙，
12先选甲再选乙，打乱顺序，先选乙再选甲，对结果没有影响，用组合。从 8个语
文教师中选 1 人，为 C（8,1）；从 7 个数学教师中选 1 人，为 C（7,1）；从 5 个
英语教师中选1 人，为 C（5,1）。要么从 8个语文教师中选 1人、要么从 7个数
学教师中选1人、要么从 5个英语教师中选 1人，分类相加，即 C（8,1）+C（7,1）
+C（5,1）。
②从 8个语文教师、7个数学教师、5个英语教师中各选一人。
答：从8个语文教师中选 1人，为 C（8,1）；从7个数学教师中选 1人，为
C（7,1）；从 5 个英语教师中选 1 人，为 C（5,1）。各选一个，既要从 8 个语文
教师中选1人、又要从 7个数学教师中选 1人、又要从5个英语教师中选 1人，
每一步都不可或缺，分步相乘，即 C（8,1）*C（7,1）*C（5,1）。
【例 1】（2017 广东国税）一个书柜共六层。小张计划选择相邻的两层，一
层放哲学书，一层放历史书，则他可选择的放法有（ ）种。
A.3 B.6
C.10 D.15
【解析】例 1.书柜一共有六层，从六层中选两层，先确定用排列还是用组
合，假设选的是第一、二层，第一层放哲学书、第二层放历史书，打乱顺序，第
一层放历史书、第二层放哲学书，结合生活实际考虑，对结果有影响，用排列。
选择相邻的两层，要么选一、二层，要么选二、三层，要么选三、四层，要么选
四、五层，要么选五、六层，一共有 5 种选择。选出的两层一层放哲学书、一层
放历史书，为A（2,2）。既要选相邻的两层，又要放书，分步相乘，即5*A（2,2）
=5*2*1=10，对应 C项。【选C】
【注意】n、m用字母代表数字，如 A（7,2），n=7，m=2，A（7,2）=7*6。
【例 2】（2017 联考）某车间有50 名工人装配零件，男工每人装配 4个，女
工每人装配 2 个，最终男工装配的零件数比女工多 20 个。车间准备从男工和女
工中各任意选择 1名参加技能比赛，问共有多少种不同的组合？（ ）
A.400 B.500
13C.600 D.800
【解析】例 2.问有多少种不同的组合，确定是组合，不需要打乱顺序判断。
设男工有 x 人，女工有 y 人，根据题意列式：x+y=50，4x-2y=20，解得 x=20、
y=30。男工有 20 人、女工有30人，从男工和女工中各任意选择 1名参加技能比
赛，既要选一名男工，又要选一名女工，分步相乘，即 C（20,1）*C（30,1）
=20*30=600，对应 C项。【选C】
【例 3】（2018 军队文职）从 19、20、21、……、98、99 这 81 个数中选取
两个不同的数，使其和为偶数的选法有（ ）种。
A.1620 B.1580
C.1540 D.1600
【解析】例 3.从81个数中选2个数，确定用排列还是用组合，假设选的两
个数是19和21，先选19再选21，加和=19+21=40，打乱顺序，先选 21 再选19，
加和=21+19=40，打乱顺序对结果没有影响，用组合。要满足两个数加和为偶数，
则这两个数要么都为奇数，要么都为偶数，分类相加。相邻的两个数看成一组，
（19、20）、（21、22）、……（97、98），一共 80 个数，每组数中各一奇一偶，
有40个奇数、40个偶数，多的99为奇数，则一共 41个奇数、40个偶数。
（1）两个奇数：从 41个奇数中选 2个，C（41,2）=（41*40）/（2*1）=820。
（2）两个偶数：从 40个偶数中选 2个，C（40,2）=（40*39）/（2*1）=780。
分类相加，即 820+780=1600，对应 D项。【选D】
【注意】常用方法：
1.捆绑法（要相邻）。
2.插空法（不相邻）。
3.反分类（正难则反）。
【知识点】捆绑法——相邻。
1.方法（捆绑法）：
（1）先捆绑，把相邻的捆绑起来看成一个整体。
14（2）再排列组合，把捆后的“整体”与其他进行排列组合。
（3）注意：捆绑过程需要考虑内部有无顺序。
2.例：三个男生和三个女生站成一排照相，要求三个女生必须相邻，有几种
情况？
答：出现“相邻”，用捆绑法。先判断用排列还是用组合，“三个男生和三个
女生站成一排照相”相当于 6个人站成一排照相，假设选出两个主体为甲乙，甲
在左边第一个、乙在左边第二个，打乱顺序，乙在左边第一个、甲在左边第二个，
结合生活实际，照出来的照片不一样，打乱顺序对结果有影响，用排列。（1）先
捆，将三个女生捆绑在一起，看成一个大整体，内部有顺序，为 A（3,3）；（2）
再排：将捆绑起来的大整体，与剩下的三个男生一起排列，相当于 4个主体排列，
为A（4,4）。既要将三个女生捆绑起来，又要与男生排列，分步相乘，即 A（3,3）
*A（4,4）。
【注意】跳过例 4，先看例5、例 6。例4用的方法不一样，在后面讲解。
【例 5】（2019 公务员）某场科技论坛有 5G、人工智能、区块链、大数据和
云计算5个主题，每个主题有 2位发言嘉宾。如果要求每个主题的嘉宾发言次序
必须相邻，问共有多少种不同的发言次序？（ ）
A.120 B.240
C.1200 D.3840
【解析】例 5.出现“次序”，说明有顺序，用排列。出现“相邻”，用捆绑
法。5G主题的2 位发言嘉宾捆在一起看成一个大整体，为 A（2,2）；人工智能主
题的2位发言嘉宾捆在一起看成一个大整体，为 A（2,2）；区块链主题的 2位发
言嘉宾捆在一起看成一个大整体，为 A（2,2）；大数据主题的 2位发言嘉宾捆在
一起看成一个大整体，为 A（2,2）；云计算主题的 2位发言嘉宾捆在一起看成一
个大整体，为 A（2,2）。捆完之后五个大整体排序，为 A（5,5）。分步相乘，A
（2,2）*A（2,2）*A（2,2）*A（2,2）*A（2,2）*A（5,5）=25*5*4*3*2*1=32*120
＞3000，对应 D 项。【选D】
15【知识点】插空法——不相邻。
1.方法（插空法）：
（1）先排列组合：先把其他元素排列组合，形成若干空位。
（2）再插空：再将不相邻的元素插入到形成的空位中去。
2.例：三个男生和三个女生站成一排照相，要求三个女生互不相邻，有几种
情况？
答：出现“不相邻”，用插空法。根据捆绑法例题已知，三个男生和三个女
生站成一排照相用排列。（1）先排：先安排三个男生，为 A（3,3）；（2）再插空：
3 个男生形成 4 个空位，从 4 个空位中选 3 个空位插入三个女生，为 A（4,3）。
既要把三个男生排好，又要把三个女生排好，“既……又……”，分步相乘，即 A
（3,3）*A（4,3）。
【例 6】（2018 浙江）某地组织 9 名政协委员负责调研农民工子弟小学教学
情况。调研结束合影前有 3名委员因紧急工作已经离开，学校决定安排 3名小学
生代表与委员一起坐在前排。现要求每位小学生的两边都坐着政协委员，一共有
（ ）种不同的方式。
A.7200 B.29600
C.43200 D.362880
【解析】例 6.一共 9 名委员，已知“调研结束合影前有 3 名委员因紧急工
作已经离开，学校决定安排 3 名小学生代表与委员一起坐在前排”，即有 6 名委
员、3 名小学生坐在前排。例题中所说的“照相”就是“合影”，打乱顺序拍出
来的照片不一样，有顺序，用排列。要求“每位小学生的两边都坐着政协委员”，
即小学生不相邻，用插空法。（1）先排：先安排 6名委员，为 A（6,6）；（2）再
插：6 名委员形成 7 个空位，但是要求“小学生的两边都坐着政协委员”，则小
学生不能坐在两端，只能从中间 5 个空位中选 3 个空插入小学生，为 A（5,3）。
既要安排委员，又要安排小学生，分步相乘，即 A（6,6）*A（5,3）
=6*5*4*3*2*1*5*4*3=720*60，结果是 4开头，对应C项。【选 C】
16【知识点】反分类——正难则反。
1.方法（反分类）：当正向思考分类较多（分类大于等于 3 种）或者是不好
思考时，可以考虑反向思考，用总数减去不满足条件的即可。
2.例：三个男生和三个女生站成一列排队，要求至少有一个男生站在前三个
位置，有几种情况？
答：排队有顺序，用排列。要求“至少有一个男生站在前三个位置”，正向
思考，可能是1 个男生在前三个位置、可能是 2个男生在前三个位置、可能是 3
个男生在前三个位置，有三类，分类情况较多，考虑反向，“至少有一个男生站
在前三个位置”的反向为没有一名男生在前三个位置，即前三个位置都是女生，
只有一种情况，用“总数-没有一名男生在前三个位置的情况数”。总数：6人全
排列，为 A（6,6）；反向：前三个位置都是女生，为 A（3,3），后三个位置都是
男生，为 A（3,3），既要安排前三个位置又要安排后三个位置，分步相乘，即 A
（3,3）*A（3,3），所求=A（6,6）-A（3,3）*A（3,3）。
【例 4】（2016 深圳）在从 O 点出发的两条射线上各取 4 个不同的点，连同
O点一共9个点，以此 9个点为顶点最多可以构成（ ）个三角形。
A.64 B.40
C.84 D.72
【解析】例 4.如图所示，两条射线为 OA、OB，OA上的四个点为 A、A、A、
1 2 3
A，OB 上的四个点为 B、B、B、B，从 9 个点中选 3 个点构成三角形，判断用
4 1 2 3 4
排列还是组合，假设选的三个点是O、A、B，先选O点、再选 A 点、再选B 点，
1 1 1 1
打乱顺序，先选 A 点、再选 O 点、再选 B 点，都组成同一个三角形，打乱顺序
1 1
对结果没有影响，用组合。正向考虑，构成的三角形可能包括含 O点、也可能不
含 O 点，如果不含 O 点，要么先从 A ～A 中选 2 个点、再选 B～B 中选 1 个点，
1 4 1 4
要么先从B～B 中选2个点、再从A～A 中选1个点，正向思考一共分3类情况，
1 4 1 4
分类较多，考虑反面。反面为选择三个点不构成三角形，即三个点在同一条线上。
17总数：从9个点中选 3个，为C（9,3）；反面：OA上5个点中选 3个，为C（5,3）。
OB上5 个点中选 3个，为C（5,3），所求=C（9,3）-C（5,3）-C（5,3）=C（9,3）
-C（5,2）*2=（9*8*7）/（3*2*1）-（5*4）/2*2=84-20=64，对应 A项。【选 A】
二、概率
【知识点】概率问题：
1.给情况求概率：运用排列组合作为基础。
（1）基本公式：概率=满足条件的情况数/总情况数。
（2）例：3 个绿球、2个黄球、5 个红球，随便摸两个，都是绿球的概率？
答：给情况数求概率，随便摸两个，假设摸的两个球是一个红球和一个黄球，
先摸出红球再摸出黄球，打乱顺序，先摸出黄球再摸出红球，对结果没有影响，
用组合。满足条件情况是摸出的两个球都是绿球，从 3 个绿球中摸 2 个，为 C
（3,2）；总情况：一共3+2+5=10个球，从 10个球中摸2个，为 C（10,2）。P=C
（3,2）/C（10,2）。
2.给概率求概率。
3.正难则反——逆向公式。
【例 7】（2019 深圳）某项目由甲、乙二人竞标，以所报单价高者胜，甲从
10元，11元，12 元，13元，16元，17 元六个单价中随机选择一个作为合作价，
乙从13 元，14 元，15元中随机选取一个作为报价，则乙中标的概率为（ ）。
A.7/18 B.11/18
C.2/3 D.5/6
【解析】例 7.给情况数求概率，P=满足要求情况数/总情况数。满足要求情
况：已知“所报单价高者胜”，要想乙中标，则乙的报价＞甲的报价，都只需要
选一个作为合作价。如果乙报价为 13 元，则甲报价只能是10 元、11元、12元，
有3种情况；如果乙报价为 14元，则甲报价只能是 10元、11 元、12元、13元，
18有4种情况；如果乙报价为 15元，则甲报价只能是 10元、11 元、12元、13元，
有 4 种情况。则满足要求情况数（乙中标的情况数）=3+4+4=11。总情况：甲从
6个单价中选1 个，有 6种情况，乙从 3个单价中选 1个，有 3种情况，既要选
甲又要选乙，分步相乘，总情况数=6*3=18。P=11/18，对应 B项。【选B】
【知识点】给概率求概率：
1.分类加和：概率=各类概率的和（要么……要么……）。
2.分步相乘：概率=各步概率的乘积（既……又……）。
3.例：钥匙丢了，丢在路上、丢在单位的概率分别为 30%和 40%，在路上和
单位能够找到的概率分别为 20%和70%，问：钥匙能找到的概率是多少？
答：题中给的都是概率，问的也是概率，属于给概率求概率，要想钥匙能找
到，要么在路上找到，要么在单位找到，要么……要么，分类相加。
（1）要想在路上找到，既要丢在路上，又要在路上找到，分步相乘，在路
上找到的概率=30%*20%=6%。
（2）要想在单位找到，既要丢在单位，又要在单位找到，分步相乘，在单
位找到的概率=40%*70%=28%。
分类相加，6%+28%=34%。
【例 8】（2019 联考）某单位派甲、乙两名选手组队参加乒乓球比赛，其中
甲每场比赛均有 40%的可能性获胜，乙每场比赛均有 70%的可能性获胜。现安排
甲参加1场比赛，乙参加 2场比赛，总计获胜 2场及以上即可出线。问该单位代
表队出线的概率为（ ）。
A.48.8% B.56.4%
C.61.4% D.65.8%
【解析】例 8.题中给了概率，属于给概率求概率。已知“总计获胜 2 场及
以上即可出线”，问出线的概率，从场次上看，有两类情况，要么获胜 3 场、要
么获胜2场，要么……要么，分类相加。甲参加 1场比赛，用甲表示；乙参加 2
场比赛，用乙 、乙 表示。
1 2
（1）获胜 3场：既要满足甲胜，又要满足乙 、乙 均获胜，分步相乘，即
1 2
1940%*70%*70%。
（2）获胜 2场：
①甲输、乙 、乙 均获胜：概率=（1-40%）*70%*70%。
1 2
②甲赢、乙 输、乙 获胜：概率=40%*（1-70%）*70%。
1 2
③甲赢、乙 获胜、乙 输：概率=40%*70%*（1-70%）。
1 2
分类相加，40%*70%*70%+（1-40%）*70%*70%=49%，40%*（1-70%）*70%+40%*70%*
（1-70%）=16.8%，49%+16.8%=65.8%，对应 D项。【选D】
【注意】当反向思考简单时才用反向思考，本题如果反向思考，反向为获胜
0场、获胜1场，反向考虑也比较麻烦。
【知识点】正难则反：正向分类较多或不好考虑时，考虑反向。
1.逆向公式：概率=1-不满足条件的概率。
2.例：3个绿球、2个黄球、5个红球，随便摸三个，摸到绿球的概率？
答：正向思考，可能是摸到 1个绿球、摸到 2个绿球、摸到 3个绿球，有三
类，考虑反向。“摸到绿球”的反向是没有摸到绿球，即摸到的都是非绿色的球，
反面只有一种情况。用 1-没有摸到绿球的概率。没有摸到绿球：从剩下的 2+5=7
个球中摸三个，为 C（7,3）；总情况：一共 3+2+5=10个球，从 10个球中中摸三
个，为 C（10,3），没有摸到绿球的概率=C（7,3）/C（10,3），即 1-没有摸到绿
球的概率=1-C（7,3）/C（10,3）。
【例 9】（2019 桂林）小王开车上班需要经过 4 个交通路口，假设经过每个
路口遇到红灯的概率分别是 0.1，0.2，0.25，0.4，他上班经过的 4 个路口至少
20有一处遇到绿灯的概率是多少？（ ）
A.0.899 B.0.988
C.0.989 D.0.998
【解析】例 9.给概率求概率，正向思考，至少有一处遇到绿灯可能是遇到 1
个绿灯、遇到2 个绿灯、遇到3个绿灯、遇到 4个绿灯，一共有 4类，分类数较
多，考虑反向。“至少有一处遇到绿灯”的反向是没有遇到绿灯，即 4 个路口遇
到的全是红灯，只有一种情况，用“1-4 个路口均遇到红灯的概率”。既要第一
个路口遇到红灯，又要第二个路口遇到红灯，又要第三个路口遇到红灯，又要第
四个路口遇到红灯，既……又……，分步相乘，4 个路口均遇到红灯的概率
=0.1*0.2*0.25*0.4，所求=1-0.1*0.2*0.25*0.4=0.998，对应 D项。【选D】
【注意】排列组合与概率：
1.排列组合：
（1）基础概念：
①有序用排列（打乱顺序有影响）。
②无序用组合（打乱顺序无影响）。
③分类用加法（要么……要么……）。
④分步用乘法（既……又……）。
（2）常用方法：
①捆绑法：特征——必须相邻；方法——先捆绑再排列组合。
②插空法：特征——不能相邻；方法——先排列组合再插空。
③正难则反（逆向）：满足条件的=总数-不满足条件的。
212.概率：
（1）给情况数求概率：概率=满足条件的情况数/总情况数。
（2）给概率求概率：分类用加法，分步用乘法。
（3）正难则反（逆向）：概率=1-不满足条件的概率。
【注意】
1.知而不行，只是未知。学习理论之后如果不练习，与没有学理论没有什么
差别，要想掌握知识点，一定要多练习。
2.预习范围：第八节最值问题、第九节容斥原理问题。
3.预习要求：原则上要做完每个章节至少 50%的题目，实在不会做的话，对
每节前几题要有充分的思考，熟悉题型和题意。
【答案汇总】第六节经济利润问题：1-5：CBDCA；6：A
第七节排列组合与概率：1-5：CCDAD；6-9：CBDD
22遇见不一样的自己
Be your better self
23
