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高二（下）期末测试卷（B 卷 能力提升）
理科数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））已知集合 ， ，
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分别求的 中的x的取值范围，得到 ,然后利用交集定义求得答案.
【详解】
, , 所以 ,
故选：D.
2．（2016·湖南高二月考（理））已知 是虚数单位，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
试题分析：由题意，得 ；故选C．
考点：复数的运算．
13．（2020·全国高三专题练习（理））秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他
在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给
出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 的值为2，则输出的 值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 ， 的值，当 时，不满足条件 ，跳出循
环，输出 的值．
【详解】
解：初始值 ， ，程序运行过程如下表所示：
，
， ，
， ，
， ，
2， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
跳出循环，输出 的值为
其中 ①
②
①—②得
．
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到 ， 的值是解题的关键，属于
基础题．
4．（2020·全国高二课时练习）已知函数 的图象如图所示(其中 是函数 的导函数)，
则 的图象大致是（ ）
3A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
分别考虑 时 的取值正负，由此判断出 的单调性选择出合适的函数图象.
【详解】
当 时，
∵ ，∴ ，
∴ 在 上为减函数；
当 时，
∵ ，∴ ，
∴ 在 上为增函数，只有C项符合.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：利用导函数 的图象判断原函数 的大致图象时，主要是通过 的取值正负，
4确定出 的单调性，由此选择合适图象.
5．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数 的部分图象如图所
示，M，N分别为图象上相邻的最高点与最低点，且线段MN的长为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据函数f(x)的部分图象求出解析式，再计算 的值.
【详解】
解：由函数 的部分图象知，
解得T=1，所以 ；
根据五点法画图知， 是图象第二个对应点，
5即
解得
又 ，所以 ，
所以 ，
计算
故选：A.
【点睛】
本题考查了余弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力与数形结合思想，考查了学生分
析问题解决问题的能力.
6．（2019·福建省永春第一中学高三其他模拟（理））在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的
求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体的体积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
6【分析】
根据三视图作出几何体的直观图，然后根据几何体的结构特征，利用分割法可求得几何体的体积.
【详解】
根据三视图还原原几何体的直观图如下图所示：
其中，底面 为直角三角形，且 ， ， ，
侧棱 、 、 与底面 垂直，且 ， ，
过点 分别作 、 分别交 、 于点 、 ，
则三棱柱 为直棱柱，四棱锥 的底面为矩形 ，高为 ，
所以， .
故选:C.
【点睛】
方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：
（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的
位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；
（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
7．（2021·浙江高一期末）为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进
行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示，
7记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为 ，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由于标准差是衡量数据的离散程度，数据越集中，标准差越小，从而可判断结果
【详解】
解：由图可知，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端，数据偏离平均数远，最分散，所
以其标准差最大；
第二组数据，每一个小长方形的高差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数远，标准差比
第一组数据的标准差小；
第三组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，所以其标准差最小，
所以 ，
故选：A
8．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（理））已知函数 ，若函数
与 的图像相交于 ， 两点，且 ， 两点的横坐标分别为 ， ，
则 的取值范围是（ ）
8A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出图象，求出 ，利用对称性把 转化为 ，结合函数
的单调性可求范围.
【详解】
作出函数 ， 的图象如图，不妨设 ，
当 经过点 时， ，
联立 得 ，所以 ；
因为 与 的图象关于直线 对称，而 与 垂直，
所以 ，且 .
令 ，且 ，
则易知 为增函数，所以 ，
因为 ，
9所以 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查函数的性质，综合了分段函数的图象问题，函数的对称问题，范围问题等，难度较大，综合
性较强，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.本题解题的关键在于利用指对数函数关于直线y=x对称
进行转化.
二、多择题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.
9．（2021·全国高三其他模拟）已知 的展开式中各项系数的和为 ，则下列结论正确的
有（ ）
A．
B．展开式中常数项为
C．展开式中含 项的系数为
D．展开式中各项系数的绝对值的和为
【答案】ACD
【分析】
利用赋值法判断A,D;利用通项公式判断BC
【详解】
10∵ 的展开式中各项系数的和为 ，令 ，
∴ ，解得 ，故A正确；
∵ ，
展开式的通项为 ，
令 ，得 ，可得展开式中常数项为： ，
令 ，得 ，可得展开式中含 项为： ，
，
令 ，得 (舍去)，令 ，得 (舍去).
故 的展开式中常数项为 ，
展开式中含 项的系数为 .故B错误，C正确；
∵ 其展开式中各项系数的绝对值的和
与 展开式中各项系数的和相等，
在 中，令 ，可得：
.
11故D正确.
故选:ACD.
10．（2021·重庆市长寿中学校）已知 是 的前 项和， ， ，则下列选项
错误的是（ ）
A． B．
C． D． 是以 为周期的周期数列
【答案】AC
【分析】
推导出 ，利用数列的周期性可判断各选项的正误.
【详解】
因为 ， ，则 ， ， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，D选项正确；
，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误.
故选：AC.
11．（2021·浙江高一期末）关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最大值为
C． 的单调递减区间为 D． 的一个对称中心为
12【答案】ABC
【分析】
化简 解析式，根据三角函数最小正周期、最值、单调区间，对称中心的知识确定正确选项.
【详解】
.
所以 的最小正周期为 ，A正确，
的最大值为 ，B正确，
由 解得 ，所以 的单调递减区间为
，C正确.
，所以 的一个对称中心为 ，D不 正确.
故选：ABC
12．（2021·辽宁朝阳市·高三一模）关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数 的极小值为
B．函数 有且只有 个零点
C．存在负实数 ，使得 恒成立
D．对任意两个正实数 、 ，且 ，若 ，则
【答案】ABD
【分析】
13利用导数求函数的极值可判断A选项的正误；利用导数分析函数 的单调性，结合零点存在
定理可判断B选项的正误；分析函数 的单调性，可判断C选项的正误；构造
函数 ，利用函数 和 的单调性可判断D选项的正误.
【详解】
对于A，函数 的定义域是 ，且 ， ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 递减，在 递增， ，故A正确；
对于B，令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 递减，在 递增，
故 ，
故 ，故函数 在 上单调递减，
又 ， ，
故函数 有且只有 个零点，故B正确；
对于C，设 ，
14若 时， ，
记 ，由二次函数的基本性质可知，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
当 时， ，
因此，不存在实数 ，使得 恒成立，C选项错误；
对于D：设 ， ，结合A选项可知 ， ，
构造函数 ，其中 ，
则 ，
所以，函数 在 上单调递减，
， ，则 ，所以， ，
即 ，
因为函数 在 上单调递增，所以， ，因此， ，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
1516三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2020·河南周口市·项城市第三高级中学高二月考（理））若定义在 上的函数
，则 ________．
【答案】
【解析】
由定积分的几何意义可得， 是以原点为圆心，以 为半径的圆的面积的一半，
， ，故
答案为 .
14．（2021·四川成都市·树德中学高二月考（理））设椭圆 的左、右顶点分别为
， ， 是椭圆上不同于 ， 的一点，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则当
取得最小值时，椭圆 的离心率是______.
【答案】
【分析】
设出 的坐标,得到 (用 , 表示)，求出 ，令 ，则
17，利用导数求得使 取最小值的 ，可得 ，则椭圆离心率可求 ．
【详解】
解： ， ，设 ， ，则 ，
则 ， ， ，
，
令 ，则 ． ，
当 时， 函数 取得最小值 ． ． ，
故答案为： ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、关键利用导数研究函数的单调性极值与最值．
15．（2021·河南郑州市·高三三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多
长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建
立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明
它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图
1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得 ，以CD为一边在线段AB的
上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得
18到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为 ，对任意的正整数n，都有 ，则a的
最小值为__________．
【答案】2．
【分析】
根据图形之间的关系可得 的递推关系，从而可求 的通项公式，故可求a的最小值.
【详解】
设第 个图形中新出现的等边三角形的边长为 ，则当 时， ，
设第 个图形中新增加的等边三角形的个数为 ，则当 时， ，
故 ，其中 ，
由累加法可得
，
时， 也符合该式，故 ，
故 对任意的 恒成立，故 即a的最小值为2.
故答案为：2.
【点睛】
方法点睛：与图形相关的数列的计算问题，一般根据相邻图形的变化关系寻找目标数列的递推关系，再根
据其形式得到通项，从而解决图形的计算问题.
1916．（2020·湖北宜昌市·高三期末（文））艾萨克·牛顿（1643-1727），英国皇家学会会长，英国著名物理
学家，在数学上也有许多杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数 的零点时给出了一个数列 ：
，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数 有两个零点1和3，
数列 为牛顿数列， ，且 ， ，则数列 的通项公式为 __________．
【答案】
【分析】
根据函数 有两个零点1和3可将 写成零点式,再利用 求
得关于 的地推公式,进而根据 求得 的通项公式即可.
【详解】
函数 有两个零点1和3可得
.故 .由题意得
.
故 .
故 .
20故数列 是以 为首项, 公比为2的等比数列.故 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了新定义的问题方法,需要根据题意找到对应的数列的递推关系,从而推导出 为等比数列.属
于难题.
21四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2020·全国高二课时练习）函数 在点 处的切线斜率为 ．
（1）求实数a的值；
（2）求 的单调区间和极值．
【答案】（1）3；（2）增区间为 ，减区间为 ．极小值 ，无极大值．
【分析】
（1）根据导数的几何意义，导数值为切线的斜率求出实数 的值；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值.
【详解】
解：（1）函数 的导数为 ，
在点 处的切线斜率为 ，
，即 ， ；
（2）由（1）得， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
即 的增区间为 ，减区间为 ．
在 处取得极小值 ，无极大值．
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值问题，属于容易题．
18．（2019·昆明市·云南师大附中（理））某果园种植“糖心苹果”已有十余年，根据其种植规模与以往
的种植经验，产自该果园的单个“糖心苹果”的果径（最大横切面直径，单位： ）在正常环境下服从
正态分布 .
（1）一顾客购买了20个该果园的“糖心苹果”，求会买到果径小于56 的概率；
（2）为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进.如图是
222009年至2018年，该果园每年的投资金额 （单位：万元）与年利润增量 （单位：万元）的散点图：
该果园为了预测2019年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了 关于 的两个回归模型；
模型①：由最小二乘公式可求得 与 的线性回归方程： ；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线： 的附近，对投资金额 做交换，
令 ，则 ，且有 ， ， ， .
（I）根据所给的统计量，求模型②中 关于 的回归方程；
（II）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数 ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测
投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）.
回归模型 模型① 模型②
回归方程
102.28 36.19
附：若随机变量 ，则 ，
23；样本 的最小乘估计公式为
， ；
相关指数 .
参考数据： ， ， ， .
【答案】（1）0.3695；（2）（I） ,（II）模型①的 小于模型②，说明回归模型②刻画
的拟合效果更好，当 时，模型②的年利润增量的预测值为 （万元），
【分析】
（1）由已知满足正态分布，则可知 ， 的值，由正态分布的对称性可知，可求得买一个苹果，其果径
小于56 的概率 ，由独立重复试验概率的运算方式，求
得购买20个“糖心苹果”中有果径小于56 的苹果概率；
（2）（I）由最小二乘法求得模型②中 关于 的回归方程；
（II）分别计算两种模型的相关系数的平方，得模型②的相关系数的平方更大其拟合程度越好，再代
进行计算，求得预测值.
【详解】
（1）由已知，当个“糖心苹果”的果径 ，
则 ， .
24由正态分布的对称性可知，
设一顾客购
买了20个该果园的“糖心苹果”，其中果径小于56 的有 个，则 ，
故 ，
所以这名顾客所购买20个“糖心苹果”中有果径小于56 的苹果概率为0.3695.
（2）（I）由 ， ，可得 ， ，
又由题，得 ，
则
所以，模型②中 关于 的回归方程 .
（II）由表格中的数据，有 ，即 ，
所以模型①的 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，
当 时，模型②的年利润增量的预测值为
（万元），
这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠.
【点睛】
本题考查统计案例的综合问题，涉及正态分布求概率、独立重复试验的概率运算以及利用最小二乘法求回
归直线方程，还考查了由相关系数的平方比较模型的拟合程度，属于难题.
19．（2021·天津高三期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
点 是棱 上一点，且 ， ．
25（1）若 ，求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）
【分析】
（1）连接 交 于点 ，连接 ，证明 ；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角正弦值；
（3）设 ，用 表示点 坐标，利用线面夹角，求得 得值及 得长.
【详解】
（1）证明：如图，连接 交 于点 ，连接 ，
， ，
又 ，
，
又 平面 ， 平面
平面
26（2）如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
， ，
设平面 法向量 ，
，令 ， ，即 ，
又平面 的法向量 ，
，
故二面角 的正弦值为 .
（3）设 ，
，点 ，
，
27由（2）得平面 法向量 ，且直线 与平面 所成角的正弦值为
，
解得 ，
即 ，
又 ，
故 .
【点睛】
本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：
(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量
运算，要认真细心，准确计算．
(2)设 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与 互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形
28判断所求角是锐角还是钝角．
20．（2021·浙江高三月考）如图，椭圆 的离心率为 ， ， 分别是其左､右
焦点，过 的直线 交椭圆于点 ， ， 是椭圆上不与 ， 重合的动点， 是坐标原点.
（1）若 是 的外心， ，求 的值；
（2）若 是 的重心，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）求出A点坐标，由 可得 关系即可求解；
（2）设直线 的方程是 ，联立椭圆方程求出 ， 再由重心公式求出 代入椭圆
方程，根据方程有解即可求出离心率的范围.
【详解】
（1）由椭圆的对称性得 轴， ，
由 ， 得 ，
29解得 .
（2）设 ， ， ，直线 的方程是 .
将直线 的方程代入椭圆 得
，
所以 ， .
由 ， 得
， .
将 的坐标代入椭圆 得
，
令 ，则 .
该方程在 内有解，而 ，
因此 或 或 ，
解得 .
【点睛】
关键点点睛：设出直线 的方程是 ，联立方程求出 ， 横纵坐标之和，利用
重心坐标公式求出P点坐标，再代入椭圆方程根据方程有解确定a,b,c关系，求离心率范围，属于中档题.
3021．（2021·浑源县第七中学校高三其他模拟（理））已知函数 ，其中 为自
然对数的底数．
（1）求 的单调区间；
（2）若 对 恒成立，记 ，证明： ．
【答案】（1）函数 的增区间为 、 ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）求得 ，证明出 对任意的 恒成立，由此可得出结果；
（2）由题意可知不等式 对任意的 恒成立，令 ，将所证不等
式等价转化为 ，利用导数证明即可.
【详解】
（1）函数 的定义域为 ，且 .
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递减；
当 时， ，此时函数 单调递增.
所以，当 时， ，则 .
综上所述，函数 的增区间为 、 ；
（2）由题意得不等式 对任意的 恒成立，
31令 ，要证 ，即证 .
.
令 ，其中 ，则 ， ，
所以 在 上单调递增，
又 ， ，故 ，使得 ，
即 .
所以，当 时，有 ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
所以 且 ，
， ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
且满足 ， ，函数 单调递减；
， ， 单调递增；
所以 .
令 ， ，则 ，即函数 在 上单调递减.
32又 ，则 ，则只需证明 ，
即 ，即 ，即 ，
，可先证明 ，
， ，则 ，所以， ，可得 ，
而 ，所以， ，证毕.
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22．（2019·吉林长春市·长春外国语学校高二月考）在极坐标系中，已知曲线 ，将曲线
上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线 ，又已知直线
（ 是参数），且直线 与曲线 交于 ， 两点.
（1）求曲线 的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；
33（2）设定点 ，求 .
【答案】(1) ，表示焦点坐标为 ，长轴长为4的椭圆.
(2) .
【分析】
（1）先把曲线 的极坐标方程化成直角方程，在利用变换得到曲线 ，它是椭圆．
（2）点 在直线 上，可用直线参数方程中参数的几何意义来求 ．
【详解】
（1）曲线 的直角坐标方程为： 即 ．
∴曲线 的直角坐标方程为 ，
∴曲线 表示焦点坐标为 ，长轴长为 的椭圆．
（2）将直线 的参数方程代入曲线 的方程 中，得 ．
设 两点对应的参数分别为 ，
∴ ，∴ ．
【点睛】
如果直线 的参数方程是 （ 是参数且 ， 是直线的倾斜角），那么 表示
与 之间的距离．因此，在参数方程中，针对直线上的动点到定点的距离和、积或差等问
34题（动点和定点都在该直线上），可用直线的参数方程结合韦达定理来考虑．
35
