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高二（下）期末测试卷（B 卷 能力提升）
理科数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））已知集合 ， ，
（ ）
A． B． C． D．
2．（2016·湖南高二月考（理））已知 是虚数单位，则
A． B． C． D．
3．（2020·全国高三专题练习（理））秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他
在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给
出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 的值为2，则输出的 值为
1A． B． C． D．
4．（2020·全国高二课时练习）已知函数 的图象如图所示(其中 是函数 的导函数)，
则 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数 的部分图象如图所
示，M，N分别为图象上相邻的最高点与最低点，且线段MN的长为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2019·福建省永春第一中学高三其他模拟（理））在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的
求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体的体积为
（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·浙江高一期末）为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进
行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示，
3记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为 ，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（理））已知函数 ，若函数
与 的图像相交于 ， 两点，且 ， 两点的横坐标分别为 ， ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多择题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.
9．（2021·全国高三其他模拟）已知 的展开式中各项系数的和为 ，则下列结论正确的
有（ ）
A．
B．展开式中常数项为
C．展开式中含 项的系数为
D．展开式中各项系数的绝对值的和为
410．（2021·重庆市长寿中学校）已知 是 的前 项和， ， ，则下列选项
错误的是（ ）
A． B．
C． D． 是以 为周期的周期数列
11．（2021·浙江高一期末）关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最大值为
C． 的单调递减区间为 D． 的一个对称中心为
12．（2021·辽宁朝阳市·高三一模）关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数 的极小值为
B．函数 有且只有 个零点
C．存在负实数 ，使得 恒成立
D．对任意两个正实数 、 ，且 ，若 ，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2020·河南周口市·项城市第三高级中学高二月考（理））若定义在 上的函数
，则 ________．
14．（2021·四川成都市·树德中学高二月考（理））设椭圆 的左、右顶点分别为
5， ， 是椭圆上不同于 ， 的一点，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则当
取得最小值时，椭圆 的离心率是______.
15．（2021·河南郑州市·高三三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多
长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建
立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明
它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图
1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得 ，以CD为一边在线段AB的
上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得
到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为 ，对任意的正整数n，都有 ，则a的
最小值为__________．
16．（2020·湖北宜昌市·高三期末（文））艾萨克·牛顿（1643-1727），英国皇家学会会长，英国著名物理
学家，在数学上也有许多杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数 的零点时给出了一个数列 ：
，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数 有两个零点1和3，
数列 为牛顿数列， ，且 ， ，则数列 的通项公式为 __________．
6四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2020·全国高二课时练习）函数 在点 处的切线斜率为 ．
（1）求实数a的值；
（2）求 的单调区间和极值．
18．（2019·昆明市·云南师大附中（理））某果园种植“糖心苹果”已有十余年，根据其种植规模与以往
的种植经验，产自该果园的单个“糖心苹果”的果径（最大横切面直径，单位： ）在正常环境下服从
正态分布 .
（1）一顾客购买了20个该果园的“糖心苹果”，求会买到果径小于56 的概率；
（2）为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进.如图是
2009年至2018年，该果园每年的投资金额 （单位：万元）与年利润增量 （单位：万元）的散点图：
该果园为了预测2019年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了 关于 的两个回归模型；
模型①：由最小二乘公式可求得 与 的线性回归方程： ；
7模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线： 的附近，对投资金额 做交换，
令 ，则 ，且有 ， ， ， .
（I）根据所给的统计量，求模型②中 关于 的回归方程；
（II）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数 ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测
投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）.
回归模型 模型① 模型②
回归方程
102.28 36.19
附：若随机变量 ，则 ，
；样本 的最小乘估计公式为
， ；
相关指数 .
参考数据： ， ， ， .
8919．（2021·天津高三期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
点 是棱 上一点，且 ， ．
（1）若 ，求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长．
1020．（2021·浙江高三月考）如图，椭圆 的离心率为 ， ， 分别是其左､右
焦点，过 的直线 交椭圆于点 ， ， 是椭圆上不与 ， 重合的动点， 是坐标原点.
（1）若 是 的外心， ，求 的值；
（2）若 是 的重心，求 的取值范围.
1121．（2021·浑源县第七中学校高三其他模拟（理））已知函数 ，其中 为自
然对数的底数．
（1）求 的单调区间；
（2）若 对 恒成立，记 ，证明： ．
1222．（2019·吉林长春市·长春外国语学校高二月考）在极坐标系中，已知曲线 ，将曲线
上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线 ，又已知直线
（ 是参数），且直线 与曲线 交于 ， 两点.
（1）求曲线 的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；
（2）设定点 ，求 .
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