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专题5.3.1 函数的单调性
知识储备
1.函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；
(3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．
讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原
则.
2.常用结论汇总——规律多一点
(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且
f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
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注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字
笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．（2020·全国高二课时练习）设函数 的图象如图所示，则导函数 的图象可能为（
）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】∵ 在 ， 上为减函数，在 上为增函数，
∴当 或 时， ；当 时， ．故选：C．
2．（2020·全国高二专题练习）设奇函数 在R上存在导函数 ，且在 上
，若 ，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，
即 ，
构造函数 ，
由题意知：在 上， ，
故 在 上单调递减，
为奇函数，，
即 为奇函数，
故 在R上单调递减，
因此原不等式可化为： ，即 ，解得 .故选：D．
3．（2020·全国高二课时练习）函数 为 的导函数，令
，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得， ， ，
解得 ，所以 ．
所以 ，所以 为减函数．
因为 ，所以 ，故选：B．
4．（2020·全国高二课时练习）若函数 的导函数 的图象如图所示，则函数
的图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设导函数 的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为 ，其中
，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，在
单调递增．故选：D．
5．（2020·全国高二课时练习）若函数 恰好有三个不同的
单调区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ，
函数 恰好有三个不同的单调区间， 有两个不同的零点，
所以， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .故选：D.
6．（2020·全国高二课时练习）函数 的单调递减区间为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，函数 的定义域为 ，
．
令 ，得 ，解得 ，
故函数 的单调递减区间为 ．故选：D
7．（2020·江苏南通市·高三期中）设 是定义在 上的函数，其导函数为 ，若
， ，则不等式 （其中 为自然对数的底数）的解
集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 满足 ，，
令 ，
则 ，
所以 在R上是增函数，
又 ，则 ，
不等式 可化为 ，即 ，
所以 ，
所不等式的解集是 ，故选：C
8．（2020·洛阳理工学院附属中学高三月考（理））已知奇函数 的定义域为 ，其图
象是一段连续不断的曲线，当 时，有 成立，则关于 的不
等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则
当 时，有 成立，此时
所以 在 上单调递增.
又 为奇函数，则 ，则 为奇函数，又
则 在 上单调递增，所以 在 上单调递增.当 ，恒有
可化为 ，即 ，
由 在 上单调递增，所以 故选：A
二、多选题
9．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知函数 的定义域为R，其导函数 的图象如图
所示，则对于任意 ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由题中图象可知，导函数 的图象在x轴下方，即 ，且其绝对值越来越小，
因此过函数 图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，
由此可得 的大致图象如图所示．A选项表示 与 异号，即 图象的割线斜率 为负，故A正
确；B选项表示 与 同号，即 图象的割线斜率 为正，故B
不正确； 表示 对应的函数值，即图中点B的纵坐标， 表示当
和 时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有
，故C不正确，D正确．故选:AD．
10．（2020·全国高二课时练习）（多选）如图是函数 的导函数 的图象，则下面判
断正确的是（ ）
A． 在 上是增函数 B． 在 上是减函数C． 在 上是增函数 D．当 时， 取得极小值
【答案】CD
【解析】 的图象在 上先小于0，后大于0，故 在 上先减后增，因此A错误；
的图象在 上先大于0，后小于0，故 在 上先增后减，因此B错误；
由图可知，当 时， ，所以 在 上单调递增，因此C正确；
当 时， ，当 时， ，所以当 时， 取得极小值，因
此D正确．故选：CD．
11．（2020·全国高二课时练习）(多选)已知函数 ，则下列结论正确的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】当 时， ，函数的定义域为 ，
，
令 ，得 ，当 时， ，此时函数单调递增，
当 时， ，此时函数单调递减，
故当 时，函数 取得极小值，也是最小值， ，
则 ，故选项A正确；
当 时， ，则 ，
故 ，故选项B正确，选项C错误；
因为 ，所以 ，使 成立，因此选项D
正确.故选：ABD.
12．（2020·广东揭阳市·高三期中）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A， 既不是奇函数也不是偶函数，且单调递增，故A错误；
对于B， 的定义域为 ，且 ， 是奇函
数，又 恒成立，故 是减函数，故B正确；
对于C， 的定义域为 ，且 ， 是奇函数，
，故 是减函数，故C正确；
对于D， 的定义域为 ，且 ， 是奇函数，又
是减函数，故D正确.故选：BCD.
三、填空题
13．（2020·全国高二课时练习）已知函数 与 的图象如图所示，则函数
的单调递减区间为___________．【答案】 、
【解析】由图象可知，不等式 的解集为 ，
， ，
由 ，可得 ，解得 .
因此，函数 的单调递减区间为 、 ．
故答案为： 、 .
14．（2020·山西高三期中（理））已知 在 单调递减，则 的取
值范围为______．
【答案】
【解析】 在 单调递减， 在 恒成立，
又 是开口向上的二次函数，为使 在 恒成立，
只需 ，即 ，则 .故答案为： .15．（2020·全国高二单元测试）设 是函数 在 的导函数，对 ，
，且 ， ， ．若 ，则实数 的取
值范围为__．
【答案】 ，
【解析】 ，
，
令 ，
，
函数 为奇函数．
时， ．
时， ，
故函数 在 上是增函数，
故函数 在 上也是增函数，
由 ，可得 在 上是增函数．
，等价于 ，
即 ，
，解得 ．故答案为： ， ．
四、双空题16．（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知函数 的图象在点
处的切线与直线 垂直，则 与 的关系为_______(用 表示)，若函数 在区
间 上单调递增，则 的最大值等于______.
【答案】
【解析】由题意，函数 ，可得 ，所以 ，
即函数 的图象在点 处的切线的斜率为
又由函数 的图象在点 处的切线与直线 垂直，
所以 ，可得 ，
即 与 的关系为 ；
又由函数 在区间 上单调递增，
可得 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，整理得 在区间 上恒成立，
又由 ，所以 ，解得 ，
所以 的最大值等于 .故答案为： ， .
