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专题5. 2导数在研究函数中的应用（1）（A卷基础篇）
（新教材人教A版,浙江专用）
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（2020·全国高二课时练习）设函数 的图象如图所示，则导函数 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
∵ 在 ， 上为减函数，在 上为增函数，
∴当 或 时， ；当 时， ．
故选：C．
2．（2020·河北张家口市·高三月考）下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】
对于A选项，函数 为偶函数，在 上递增，在 上递减；
对于B选项，函数 在 上递减；
对于C选项， 在 上恒成立，则函数 在其定义域 上递增；
对于D选项，函数 在 上递减.
故选：C．
3．（2020·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知函数 ，则其单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由 ，函数定义域为 ，
求导 ，令 ，得 或 （舍去）
所以 单调增区间是
故选：A.
4．（2020·张家界市民族中学高二月考）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，由 得 ，即 ，所以函数 的单调递增区间为 .
故选：C
5．（2020·全国高三专题练习）如图所示为 的图象，则函数 的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由导函数图象，知 或 时， ，∴ 的减区间是 ， ．
故选：C．
6．（2019·江西九江市·高二期末（理））函数 的递增区间是（ ）
A． B． 和
C． D． 和
【答案】C
【解析】
因为 的定义域为 ， ，
由 ，得 ，解得 ，所以 的递增区间为 .
故选：C.
7．（2020·四川内江市·高三三模（文））函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
，当 时， ，当 时， ，所以函数 在
上单调递增，在 上单调递减.
故选：C
8．（2020·广东深圳市·高三开学考试）已知函数 与 的图象如图所示，则不等式组
解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
由导函数与原函数单调性关系知图中实线是 的图象，虚线是 的图象，不等式组
解集是 ．
故选：B．
9．（2020·全国高三专题练习）已知 是定义在 上的函数 的导函数，且满足 对
任意的 都成立，则下列选项中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
令 ，则 ，故 为 上的增函数，
所以 即 ，
故选：D.
10．（2020·黄梅国际育才高级中学高二期中）已知函数 在 内不是单调函数，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵ ， 在 内不是单调函数，
故 在 存在变号零点，即 在 存在零点，
∴ .故选：A.
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）
11．（2020·长顺县文博高级中学有限公司高三月考）函数 的单调减区间是__________.
【答案】
【解析】
，令 ，解得 ，
所以函数的单调减区间为 .
故答案为：
12．（2020·全国高三专题练习）函数 的单调递减区间是______．
【答案】
【解析】
的定义域是 ，
，
令 ，解得： ，
所以 在 递减，故答案为
13．（2019·全国高三月考（文））已知 ，函数 在 上是单调增函数，则 的
最大值是_______．
【答案】6
【解析】，令 ，得 或 ，所以 ，解得 ．
故答案为：6
14．（2018·全国高二专题练习） 函数 在区间______上是增函数，在区间______
上是减函数．
【答案】 和
【解析】
= ，令 ，解得： ，
令 ，解得： 或 .函数 在区间 , 上是增函数，在区
间 上是减函数．
15．（2020·浙江高一期末）已知 是定义在 上的偶函数，则实数 _____，写出函
数 在 的单调递增区间是______
【答案】3
【解析】
是定义在 上的偶函数，
， ，解得 ，
，
令 ，解得 ，
的单调递增区间是 .
故答案为：3； .16．（2020·全国高三专题练习）已知 ，那么 单调递增区间__________； 单调递减
区间__________.
【答案】
【解析】
因为 ,故 .
令 可得 ,即 .
又 为增函数,故当 时, , 单调递减；
当 时, , 单调递增.
故答案为：(1) ；(2)
17．（2019·山西运城市·高三期中（文））设函数 （a为常数）.若 为奇函数，则
________；若 是 上的减函数，则a的取值范围是________.
【答案】1
【解析】
（1）若 为奇函数
则 ，则
（2）若 是 上的减函数，则 在 上小于或者等于零，即在 上恒成立， ，可知 在 上单调递增，所以 .
三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）
18．（2020·甘肃省岷县第二中学高二期中（理））求函数 的递减区间.
【答案】
【解析】
∵ ，
∴令 ，解得 .
∴函数 的递减区间为 .
19．（2019·甘肃省武威第一中学高二月考（理））求函数 的单调区间．
(0，e) (e，)
【答案】增区间为 ，减区间为 .
【解析】
由 得 ，
令 ，即 ，得 ，从而 ，
令 ，即 ，得 ，此时 为增函数，又 ，得增区间为 ，
令 ，即 ，得 ，此时 为减函数，减区间为 .
20．（2020·横峰中学月考（文））已知 .
（1）当 时，讨论 的单调区间；（2）若 在定义域R内单调递增，求a的取值范围.
【答案】（1） 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2）
【解析】
（1）当 时，
则 ，
令 ，得
令 ，得
所以 的单调递增区间为
单调递减区间为
（2）由题可知： 在定义域R内单调递增
等价于
由 在 上单调递增，又
则
21．（2020·西宁市海湖中学高二月考（文））已知函数 .
（1）若 在区间 上为增函数，求a的取值范围.
（2）若 的单调递减区间为 ，求a的值.
【答案】（1） ；（2）3.
【解析】
（1）因为 ，且 在区间 上为增函数，
所以 在 上恒成立，即 在(1，+∞)上恒成立，所以 在 上恒成立，所以 ，即a的取值范围是
（2）由题意知 .因为 ，所以 .
由 ，得 ，
所以 的单调递减区间为 ，
又已知 的单调递减区间为 ，
所以 ，
所以 ，即 .
22.已知函数 ，其中 .
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求 的单调区间.
【答案】（Ⅰ） ．
（Ⅱ）① 当 时， 的单调递减区间为 ；单调递增区间为 ， ．
② 当 时， 的单调递减区间为 ， ；单调递增区间为 ，
．
③ 当 时， 为常值函数，不存在单调区间．④ 当 时， 的单调递减区间为 ， ；单调递增区间为 ， ．
【解析】
（Ⅰ）解：当 时， ， ．……2分
由于 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程是 ． ……4分
（Ⅱ）解： ， ． …………6分
① 当 时，令 ，解得 ．
的单调递减区间为 ；单调递增区间为 ， ．…8分
当 时，令 ，解得 ，或 ．
② 当 时， 的单调递减区间为 ， ；单调递增区间为 ，
． ……10分
③ 当 时， 为常值函数，不存在单调区间． ……………11分
④ 当 时， 的单调递减区间为 ， ；单调递增区间为 ， ．
…………14分
